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Tiempo actual: 0:00Duración total:7:30

Transcripción del video

ahora sí vamos a entrar a la demostración y en el último mobile video dijimos que sí podíamos ver que cada sumando era igual a su correspondiente entonces esencialmente habríamos terminado la demostración lo que teníamos en amarillo era simplemente una expresión de lo que es el flujo el flujo a través de la superficie del campo vectorial y lo que está en verde esto que está en verde es la integral de la divergencia df la ley integral triple a lo largo de nuestra región r lo que quiero hacer en este vídeo y probablemente en el siguiente es demostrar que estos son equivalentes estos dos estos dos de estas dos expresiones son equivalentes esencialmente es lo mismo y lo voy a hacer usando el hecho de que la región es simple y sólida en particular que es de tipo 1 o que entonces voy a utilizar que es de tipo 1 para demostrar esta equivalencia pueden usar los mismos argumentos para demostrar que los otros también son equivalentes por ejemplo para éstos este par se utiliza que es de tipo 2 y para demostrar que estos dos son equivalentes y utiliza que es de tipo 3 entonces voy a pasar a aprobar el último y les quedará todos ustedes probar los dos primeros entonces antes que nada a bajar un poco y vamos a recordar vamos a recordar que es una región de tipo 1 porque una región de tipo 1 la región de tipo 1 que digamos sea r es simplemente un conjunto de ternas de de puntos en el espacio x10 eta tales que necesitamos que la pareja xvii es decir como punto se encuentra en cierto dominio y además vamos a necesitar que nuestra variable z se encuentra acotada por dos funciones digamos que la inferior sea f1 de x com aie es decir que se está sea mayor o igual que esto pero al mismo tiempo sea menor o igual que otra función que vamos a llamarle f2 x com hay y muy bien y entonces vamos a cerrar este conjunto ok vamos a hacer un dibujo rápidamente de más o menos como se ve en las regiones tipo 1 para ir recordando por ejemplo si aquí tenemos ni en los ejes ok más o menos derecho éste es el eje z a pintar otro eje elegí y finalmente el eje x ok quedaron ahí los ejes vamos a dibujar entonces un dominio para los puntos x com ayer aquí vamos a tener cierto dominio que éste es el que le vamos a llamar el dominio de sí queda claro que estos es de los punto el dominio de se encuentra contenido en el plano ekije aquí son sólo puntos de la forma x com allí y ahora vamos a tener dos funciones que esencialmente las funciones las podemos ver como gráficas entonces por ejemplo tenemos nuestra función f1 que quién sabe cómo sea pero ahí la tenemos ok podemos verla como una superficie con una gráfica de una función y también vamos a tener deber de nuestra función f2 quién sabe cómo se ve más o menos podría ser de esta forma esta es nuestra función es de dos o keith de gm déjeme quitarlo nueva estorbar más de lo que quiero ok y ahora tenemos que nuestra nuestra variable zetas se puede mover a lo largo de todo esto de de estos posibles valores dados por las funciones entonces nuestra variable zeta se va a mover en esta especie de cilindro que no necesariamente se debe ver como como un cilindro pero pero al menos esto ejemplo ejemplifique efsf perdón ejemplifica muy bien lo que quiero decir con las regiones e de tres dimensiones de tipo 1 que esta es una muy buena idea de lo que es una región de tipo 1 pueden variar las formas por supuesto pero lo importante es que cómo vamos a querer cálculo una integral de superficie es decir vamos a calcular la integral de superficie de la función r pues necesitamos partir de esta región en tres superficies y esencialmente está dada por 3 está de aquí arriba que vamos a llamarla s2 podemos tomar esta de aquí abajo que le podemos llamar s1 y podemos tomar ésta que es digamos como la parte lateral de la región que la vamos a llamar s3 ok s1 y s2 son como las tapas 10 c 3 como el cuerpo de una especie como de cilindro en este caso entonces qué es lo que ocurre vamos a tener que calcular la integral de superficie la integral de superficie de ere que multiplica a cada punto n como esta superficie la pudimos partir en tres distintas entonces vamos a escribir esta integral como tres sumas por ejemplo la primera que es la integral sobre ese 2 de rr de cada punto n de ese aquí por supuesto que me faltó un ds déjeme ver si lo puedo acomodar bien aquí va de ese debe ser igual a este primer sumando y ahora vamos a sumar también la integral de superficie sobre esta superficie se 1 entonces vamos a tener la integral sobre ese 1 de ere por cada punto n de ese keith íbamos a final al final vamos a sumar la integral sobre ese 3d r por cada punto n de ese muy bien qué es lo importante de haber descompuesto de esta forma vamos a fijarnos precisamente en ese 3 aquí cómo se mueve el vector normal pueden ir apuntando así de esta forma siempre siempre de esta forma lo importante de los vectores normales en ese 3 es que no tienen ninguna inclinación hacia arriba o hacia abajo es decir se mantienen paralelos al plano x entonces cada punto n lo que nos media era la magnitud de la componente z del vector normal unitario pero si no tiene ninguna componentes eta quiere decir que cada punto n déjenme incluso escribir lo quiere decir que cada punto n al menos en el c3 vale cero y por lo tanto toda esta parte toda esta toda esta integral la podemos suprimir o elimina entonces esto se simplifica simplemente a dos únicos suman dos en el próximo video lo que vamos a hacer es re expresar todo esto en términos integrales dobles sobre el dominio de vamos a tratar de evaluar estas integrales de superficie y llegar a la al resultado de que debe ser igual a integral sobre nuestra región rr de la parcial de la función r respecto de zeta