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Contenido principal
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Transcripción del video

vamos ahora a calcular este integral verde que tenemos aquí y para hacer eso vamos a parametrizar la superficie s2 entonces vamos a tener nuestra superficie s2 que la vamos a parametrizar con una función de posición vamos a llamarle por ejemplo de una función te que depende de keys y jay que es una función victoria ley esto esté esta función se va a encontrar en r3 en el espacio de tres dimensiones ahora sí estamos parametrizado esta superficie se dos pues estamos pensando que los puntos se encuentran en en la región de nuestro dominio de y después lo subimos hacia la superficie de 2 estamos pensando en la gráfica de la función de f2 verdad entonces nuestra primera coordenadas simplemente va a ser el valor x y esto va en la dirección del vector unitario y y la segunda coordenada va a ser la posición de verdad que eso va x el vector de posición j más nuestra última coordenada será simplemente pues el valor de f2 evaluado en x llegue y esto multiplicado por el vector unitario acá y esto será para aquellos puntos x com aie que se encuentra injustamente en nuestro dominio de ok entonces ya tenemos la parametrización de s2 y ahora vamos a calcular quienes cada punto n porque cada punto n tenemos acá punto n que es justo de lo que queremos calcular aquí a perdón a quien en nuestra integral verde y que multiplica de s eso simplemente va a ser nuestro vector unitario acá nuestro vector unitario k que va a multiplicar que va a ser un producto punto con la la derivada parcial dt respecto de x cruz la derivada parcial dt respecto de ye verdad ahora lo único que tenemos que checar aquí por supuesto hay que multiplicar por de a lo que tenemos que revisar es hay que asegurarnos de que esté bien ory estado porque los vectores normales exteriores deben apuntar hacia fuera de la superficie entonces por ejemplo aquí debe apuntar hacia fuera más o menos ok sobre sobre esta superficie lateral que bueno eso ya habíamos visto que la integral sobre esto vale cero pero debería apuntar en esta dirección y a quienes eeuu no debería apuntar hacia abajo correcto entonces sólo hay que revisar que en ese 2 apuntan en efecto hacia arriba y pensemos en que como cámbiate al aumentar x pues simplemente se mueve en esta dirección verdad y si aumenta ahora la dirección ya pues aumenta en esta otra y si nos fijamos en en la regla de la mano derecha si se acuerdan aquí tenemos a nuestro primer vector tenemos a nuestro segundo vector de este lado y apunta hacia dónde estaría el pulgar verdad más o menos ésta es una mano derecha entonces en efecto aquí en s2 apunta hacia arriba entonces tenemos una muy buena orientación de lo que estamos haciendo ok entonces vamos a calcular esto esto simplemente será cada punto el determinante una especie de determinante verdad ya sabemos que no es un determinante como tal pero al menos nos ayuda a recordar cuál es la expresión del producto cruz y ponemos en la en el primer renglón a los vectores y j y k ok y luego en el segundo renglón va a la deriva dt respecto de x que dejen de ponerlo de color azul la deriva dt respecto de equipos en la primera coordenadas sería uno en la segunda sería cero y en la tercera pues la parcial de f2 con respecto a x ok eso es tomándonos la deriva dt respecto de x ahora vamos a tomarnos la deriva de té con respecto de yee y la deriva de aquí con respecto de 10-0 la deriva de aquí con respecto de yenes 1 y la deriva de este con respecto de yepes es simplemente eso la derivada parcial de 12 2 respecto de ye mui bien entonces si nos damos cuenta estamos haciendo producto punto con el vector acá entonces vamos a ponerlo esto será igual al vector k que multiplica a pues en realidad no nos interesa saber todo sino la última coordenada de este producto cruz verdad porque éste tiene coordenadas 001 entonces lo único que me va a quedar es la última coordenada de hecho tenemos quién sabe qué cosa por el vector y menos quién sabe qué cosa por el vector j más y ahora vamos a ver qué nos resulta en la coordenada casi tomamos a kika quitamos este renglón y esta columna y nos queda esta matriz que hay que obtener su determinante y es el determinante simplemente es uno entonces nos queda el vector y entonces cuando hacemos este producto punto esto se cancelan y simplemente me acaban aquí faltaría multiplicar por por de a verdad y esto simplemente me quedaría de a esto sólo me queda nada porque cada punto y es cero cada punto o tercero y cada punto acá es uno entonces ya aquí tenemos ya podemos reescribir la integran la integral pero en términos de la región de los parámetros vamos un poquito más abajo y entonces tenemos que no está integral que queríamos calcular que era ésta la integral de heres sobre la superficie se dos años escribirlo la integral sobre la superficie elegida otro verde que no es el que está usando ahora sí la integral de la función ere que depende de equis o ye iceta sobre nuestra superficie se dos por la diferencia de superficie pues simplemente como cada punto n el bea entonces vamos a tener bueno aquí aquí habría que escribirlo también verdad la elca punto n ahora sí por d esto simplemente será la integral doble ahora ya sobre la región de los parámetros la región de de nuestra función r que depende de x teie y en este caso se está es f2 de x com allí ok y cada punto n/d bs dijimos que simplemente era de a esto simplemente es de a entonces quizás esto no es una gran simplificación pero ya está en términos de la de los parámetros ya está en nuestra región de en el próximo video haremos exactamente lo mismo con ese 1 sólo debemos cuidar que todo esté muy bien orientado y luego pensaremos en que ocurre con la triple integral que tenemos de este lado vamos a pensar qué ocurre con esa triple integral que queda pendiente para ver que son iguales