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Transcripción del video

vamos ahora a calcular esta integral verde que tenemos aquí y para hacer eso vamos a parametrizar la superficie ese 2 entonces vamos a tener nuestra superficie ese 2 que la vamos a parametrizar con una función de posición vamos a llamarle por ejemplo de una función t que depende de x y jay que es una función vectorial y esto es de esta función se va a encontrar en r3 en el espacio de tres dimensiones ahora sí estamos parametrizado esta superficie de ese 2 pues estamos pensando que los puntos se encuentran en la región de nuestro dominio de y después lo subimos hacia la superficie de ese 2 estamos pensando en la gráfica de la función de f 2 verdad entonces nuestra primera coordenada simplemente va a ser el valor x y esto va en la dirección del vector unitario y y la segunda coordenada va a ser la posición de verdad que eso va multiplicado por el vector de posición j nuestra última coordenada será simplemente pues el valor de f2 evaluado en x y esto multiplicado por el vector unitario acá y esto será para aquellos puntos x coma que se encuentren justamente en nuestro dominio de ok entonces ya tenemos la parametrización de ese 2 y ahora vamos a calcular quién es cada punto n porque cada punto n tenemos acá punto n que es justo de lo que queremos calcular aquí perdón a quien en nuestra integral verde y que multiplica de s eso simplemente va a ser nuestro vector unitario acá nuestro vector unitario acá que va a multiplicar que va a ser un producto punto con la derivada parcial de t respecto de x cruz la derivada parcial de t respecto de y verdad ahora lo único que tenemos que checar aquí por supuesto hay que multiplicar por de a lo que tenemos que revisar es hay que asegurarnos de que esté bien orientado porque los vectores normales exteriores deben apuntar hacia fuera de la superficie entonces por ejemplo aquí debe apuntar hacia afuera más o menos ok sobre sobre esta superficie lateral que bueno eso ya habíamos visto que la integral sobre esto vale 0 pero debería apuntar en esta dirección y aquí en ese uno debería apuntar hacia abajo correcto entonces sólo hay que revisar que en ese dos apuntan en efecto hacia arriba y pensemos en que como cámbiate al aumentar x pues simplemente se mueve en esta dirección verdad y si aumenta ahora la dirección pues aumenta en ésta y si nos fijamos en en la regla de la mano derecha si se acuerdan aquí tenemos a nuestro primer vector tenemos a nuestro segundo vector de este lado y apunta hacia donde estaría el pulgar verdad más o menos este es una mano derecha entonces en efecto aquí en ese dos apunta hacia arriba entonces tenemos una muy buena orientación de lo que estamos haciendo ok entonces vamos a calcular esto esto simplemente será cada punto el determinante una especie de determinante verdad ya sabemos que no es un determinante como tal pero al menos nos ayuda a recordar cuál es la expresión del producto cruz y ponemos en el primer renglón a los vectores y j ica ok y luego en el segundo renglón va a la derivada de t respecto de x que déjenme ponerlo de color azul la derivada de t respecto de x pues en la primera coordenada sería 1 en la segunda sería 0 y en la tercera pues es la parcial de f 2 con respecto a x ok eso es tomándonos la derivada de t respecto de x ahora vamos a tomarnos la derivada de t con respecto de ye y la derivada de aquí con respecto del 0 la derivada de aquí con respecto de yes 1 y la derivada de éste con respecto de ye pues es simplemente eso la derivada parcial de f 2 con respecto de y muy bien entonces sí no damos cuenta estamos haciendo producto punto con el vector k entonces vamos a ponerlo esto será igual al vector k que multiplica a pues en realidad no nos interesa saber todo sino la última coordenada de este producto cruz verdad porque éste tiene coordenadas 0 0 1 entonces lo único que me va a quedar es la última coordenada de hecho tenemos quién sabe qué cosas por el vector y menos quién sabe qué cosa por el vector j y ahora vamos a ver que nos resulta en la coordenada k si tomamos aquí acá quitamos este renglón y esta columna y nos queda esta matriz que hay que obtener su determinante y es el determinante simplemente es 1 entonces nos queda el vector acá y entonces cuando hacemos este producto punto estos se cancelan y simplemente me bueno aquí faltaría multiplicar por x de a verdad y esto simplemente me quedaría de a esto sólo me queda porque cada punto y es cero cada punto js cero y apuntó que es 1 entonces ya aquí tenemos ya podemos reescribir la integran la integral pero en términos de la región de los parámetros vámonos un poquito más abajo y entonces tenemos que nuestra integral que queríamos calcular que era ésta la integral de r sobre la superficie s 2 escribirlo la integral sobre la superficie elegido otro verde que no en el que estaba usando ahora si la integral de la función r que depende de x y y z sobre nuestra superficie s 2 por la diferencial de superficie pues simplemente como k punto n es es vea entonces vamos a tener bueno aquí aquí habría que escribirlo también verdad la elca punto n ahora sí por de s esto simplemente será la integral doble ahora ya sobre la región de los parámetros la región de de nuestra función r que depende de x de iu y en este caso z es f 2 de x de ok y cada punto nds o dijimos que simplemente era de a esto simplemente es d entonces quizás esto no es una gran simplificación pero ya está en términos de los parámetros y está en nuestra región de en el próximo vídeo haremos exactamente lo mismo con ese 1 solo debemos cuidar que todo esté muy bien orientado y luego pensaremos en qué ocurre con la triple integral que tenemos de este lado vamos a pensar qué ocurre con esa triple integral que queda pendiente para ver que son iguales