If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:09

Transcripción del video

a veces cuando uno hace demostraciones largas y en muchos pasos es muy fácil perder la noción de a dónde queremos llegar exactamente y queríamos tratar de probar el teorema de la divergencia y empezamos por reescribir el flujo a través de la superficie y también reescribiendo la integral triple de la divergencia del campo vectorial y dijimos bueno si podemos probar que cada uno de estos suman dos que nos aparecieron aquí es igual al otro que de hecho así los marcamos entonces ya tendríamos demostrado el teorema y dije que vamos a usar el hecho de que las regiones de tipo 1 para demostrar esta equivalencia que es de tipo 2 para demostrar esta igualdad y que es de tipo 3 para demostrar esta última en particular vamos a demostrar esta de aquí y puedes usar exactamente los mismos argumentos para probar los otros dos y así el teorema sería cierto entonces qué fue lo que empezamos a hacer tomamos la integral sobre la superficie de la función r por cada punto n ok y la superficie la partimos en 3 s1 s2 y s3 y la integral entre sumandos el detalle aquí es que cuando tomamos ese 3 nos fijamos que el vector normal el exterior simplemente no tiene componentes en la dirección acá por lo tanto acá punto n se anula esto se hace cero verdad entonces esto nos lo limitó a sólo dos sumandos nos tomamos en el último vídeo el esta integral la integral sobre ese 2 ok lo llevamos a una integral doble sobre el dominio de el dominio de los parámetros ahora haremos exactamente lo mismo pero con nuestra superficie ese 1 entonces vamos a reescribir eso queremos calcular ahora la integral sobre ese 1 de nuestra función r que depende de x y z por cada punto n de ese muy bien entonces como empezamos pues necesitamos parametrizar nuestra superficie ese 1 entonces ese 1 estará dado por todos aquellos puntos que estén dados de la siguiente forma con una función aunque depende de nuestros dos parámetros y cómo es la gráfica de una función aquí tenemos en ese uno está es la gráfica de la función vamos a necesitar que la función esté dada como x por y massieu en la coordenada j más f 1 de xy en su coordenada k muy bien entonces esta es la parametrización que vamos a utilizar y esto es válido para todos aquellos puntos x que se encuentren en nuestro dominio de ok ahora ya con esto dicho ya podemos ver quiénes nds nds porque bueno esta es la otra forma de decir de esa flechita verdad eso es como lo hemos estado escribiendo en otros vídeos es un vector normal exterior a la superficie entonces yo puedo garantizarles que éste es de la forma la derivada de respecto de y cruz la derivada de respecto de x ok y esto multiplicado por una diferencial de área esto se puede intuir del caso anterior que el vector normal apunta hacia arriba hacia sí si invertimos en el orden de los vectores pues apuntará hacia abajo pero bueno vamos a verlo esto en términos de la regla de la mano derecha porque si aumentamos en y aumentamos en esta dirección y si aumentamos en x aumentamos en esta otra dirección entonces este va a ser nuestro dedo índice este va a ser nuestro dedo índice ok el dedo el dedo del medio va a estar en esta dirección que hay más o menos incluso estoy viendo mi mano para que pueda salir un poquito mejor el dibujo aquí va a estar el dedo índice en los otros dedos y por lo tanto mi dedo pulgar apunta hacia abajo ok entonces esto me estaría diciendo que el vector normal exterior en efecto apunta hacia donde estoy pensando y si está bien orientado esto ahora como calculamos este producto cruz bueno es fácil si lo pensamos como el determinante de una matriz que en el primer renglón tiene a los vectores canónicos y jk ok ya que hay que multiplicar por nuestra diferencial de área y vemos quién es la derivada de respecto de y entonces la derivada de x es 0 la derivada de y es 1 y la derivada de f 1 hay que ponerlo como la parcial de f1 respecto de y ahora quién es la derivada de con respecto de x bueno aquí va a ser 10 y la parcial de f 1 con respecto de x vamos a poner aquí una pequeña separación porque esto simplemente va a ser bueno hay que fijarnos que vamos a hacer un producto punto con el vector k así que no nos interesa saber qué es lo que tienen en la dirección y ni tampoco en la dirección j ya sabemos que va a ser algo en la dirección y menos algo en la dirección j y solo nos falta ver qué es lo que va a haber en la dirección que entonces quitamos la columna y el renglón y hay que sacar el determinante de esta pequeña matriz que es 0 x 0 0 menos uno por uno y nos queda menos 1 que multiplica al vector k por la diferencial de área entonces sustituyendo esto ya podemos ver perfectamente ya podemos ver perfectamente quién es la integral que tenemos que calcular porque de gm si voy a seguir con este con este color con el el morado que tenía ok entonces vamos a tener que la integral la integral va a ser la integral pero ya no sobre ese uno sino sobre la región de los parámetros verdad esto va a ser igual a esta integral de nuestra función r que depende de x ya pero aquí la zeta es la función f 1 evaluado en x ok y cada punto n bueno acá punto n si esto es n de ã entonces perdón esto es nds esto es nds y acá punto nds es cada punto esto cada punto y se hace 0 apuntó j se hace 0 y simplemente me queda acá punto acá que es 1 pero con este menos el menos lo podemos expresar fuera de la integral y me queda simplemente diferencial de área muy bien entonces vamos a remarcar estos resultados que ya tenemos tenemos este resultado de aquí y tenemos este resultado de acá abajo entonces estos dos son son la expresión de la integral de superficie que teníamos que calcular entonces déjenme escribirlo finalmente tenemos que la integral de superficie de nuestra función r es voy a omitir ahorita el x que depende de que depende simplemente voy a poner que multiplicaba acá punto n por la diferencial de superficie ahora lo pudimos expresar como una integral sobre la región de los parámetros de verdad ambos están dados en la en la región d y en esta parte verde tenemos aire evaluado en x y f2 entonces tenemos r evaluado en xy y en f2 de x como ok esto menos este que obtuvimos verdad aquí está el menos menos ere de x de f1 de x coma muy bien y ahora todo esto simplemente hay que multiplicarlo por nuestra diferencial de área y ya lo tenemos acabamos de probar esta igualdad todo lo que tenemos que probar ahora es que esta integral esta integral es también equivalente con esta integral triple que teníamos aquí arriba la integral triple sobre la región r de la parcial de r respecto de z ok y así tendríamos válido el resultado para el caso de tipo 1 y con el mismo razonamiento se pueden demostrar los otros dos casos y estar tranquilitos de que el teorema de la divergencia es cierto para regiones simples y sólidas