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Transcripción del video

a veces cuando uno hace demostraciones largas y en muchos pasos es muy fácil perder la noción de a dónde queremos llegar exactamente y queríamos tratar de probar el teorema de la divergencia y empezamos por reescribir el flujo a través de la superficie y también reescribiendo la integral triple de la divergencia del campo vectorial y dijimos bueno si podemos probar que cada uno de estos humanos que nos aparecieron aquí es igual al otro que de hecho así los marcamos entonces ya tendríamos demostrado el teorema y dije que vamos a usar el hecho de que la región es de tipo 1 para demostrar esta equivalencia que es de tipo 2 para demostrar esta igualdad y que es de tipo 3 para demostrar esta última en particular vamos a demostrar esta de aquí y puedes usar exactamente los mismos argumentos para probar los otros dos días y el problema sería cierto entonces qué fue lo que empezamos a usar a hacer tomamos la integral sobre la superficie del de la función r por cada punto n ok y la superficie la party mohsén 3 s1 s2 y s3 y la integral se divide en 3 humanos el detalle aquí es que cuando tomamos ese 3 nos fijamos que el vector norma el exterior simplemente no tiene componentes en la dirección acá por lo tanto cada punto n se anula esto se hace a cero verdad entonces esto no lo limitó a sólo dos suman dos nos tomamos en el último vídeo él está integral la integral sobre ese 2 y lo llevamos a un integral doble sobre el dominio de el dominio de los parámetros ahora haremos exactamente lo mismo pero con nuestra superficie f1 entonces vamos a reescribir eso queremos calcular ahora la integral sobre ese 1 de nuestra función r que depende de x y z por cada punto n de ese muy bien entonces cómo empezamos pues necesitamos parametrizar nuestra superficie se 1 entonces ese 1 estará dado por todos aquellos puntos que estén dados de la siguiente forma con una función de posición que depende nuestros dos parámetros y como es la gráfica de una función aquí tenemos ese uno es la gráfica de la función vamos a necesitar que la función esté dada como x x y más llegue en la coordenada j más f1 de equis o ye en su coordenada acá muy bien entonces esta es la parametrización que vamos a utilizar y esto es válido para todos aquellos puntos x com aie que se encuentren en nuestro dominio de ok ahora ya con esto dicho ya podemos ver quién es n d bs as n d s aunque bueno esto es de otra forma de decir de ese flechita verdad eso es como lo hemos estado escribiendo en otros vídeos es un vector normal exterior a la superficie entonces yo puedo garantizarles que éste es de la forma la deriva de respecto de ye cruz la deriva de respecto de x ok y esto multiplicado por una diferencial de área esto se puede intuir del caso anterior que el vector normal apunta hacia arriba cia si invertimos la el orden de los vectores pues apuntar hacia abajo pero bueno vamos a verlo esto en términos de de la regla de la mano derecha porque si aumentamos en ch aumentamos en esta dirección y si aumentamos en x aumentamos en esta otra dirección entonces este va a ser nuestro dedo índice este va a ser nuestro dedo índice nikkei el dedo el dedo de medio va a estar en esta dirección que y más o menos incluso estoy viendo mi mi mano para que pueda salir un poquito mejor el dibujo aquí va a estar el dedo índice nikkei que están los otros dedos y por lo tanto mi dedo pulgar apunta hacia abajo que entonces esto no estaría diciendo que el vector normal exterior en efecto apunta hacia dónde estoy pensando y si está bien orientado esto ahora cómo calculamos este producto cruz bueno es fácil si lo pensamos como el determinante de una matriz que en el primer renglón tiene a los vectores canónicos y j y k o que ya que hay que multiplicar por nuestra diferencial de área y vemos quiénes la deriva de respecto de ye entonces la deriva de x 0 la deriva de ye es uno y la deriva de f1 hay que ponerlo como la parcial de f1 respecto de ye ahora quién es la derivada de con respecto de x bueno aquí va a ser 10 y la parcial de f1 con respecto de x a poner aquí una pequeña separación porque esto simplemente va a ser bueno hay que fijarnos que vamos a hacer un producto punto con el vector acá así que no nos interesa saber qué es lo que tienen la en la dirección y ni tampoco en la dirección j va sabemos que va a ser algo en la dirección y menos algo en la dirección cota y sólo nos falta ver qué es lo que va a haber en la dirección que entonces quitamos la columna y el renglón y hay que sacar el determinante de esta pequeña matriz que es cero por cero cero menos uno por uno y nos queda menos uno que multiplica el vector acá por la diferencial de al entonces sustituyendo esto ya podemos ver perfectamente ya podemos ver perfectamente quién es la integral que tenemos que calcular porque déjeme si voy a seguir con este con este color con él el morado que tenía ok entonces vamos a tener que la integral la integral va a ser la integral pero ya no sobre ese uno sino sobre la región de los parámetros verdad esto va a ser igual a éste integral de nuestra función r que depende de equis o ye pero aquí la z es la función f1 evaluado en x com aie key y cada punto n bueno acá punto n esto es n vea entonces perdón esto es en edf esto es nds y que apuntó nds es cada punto esto apuntó y sea cero cada punto jotas y acero y simplemente me queda cada punto acá que es uno pero con este - el menos lo podemos expresar fuera de ley integral y me queda simplemente diferencial de área muy bien entonces vamos a remarcar estos resultados que ya tenemos tenemos este resultado de aquí y tenemos este resultado de acá abajo entonces estos dos son son la expresión de la integral de superficie que teníamos que calcular entonces déjeme escribirlo finalmente tenemos que la integral de superficie de nuestra función r voy a omitir ahorita él y que depende de qué depende simplemente voy a poner que multiplicada acá punto n por la diferencial de superficie ahora lo pudimos expresar como una integral sobre la región de los parámetros de verdad ambos están dados en la en la región de iu en esta parte verde tenemos aérea evaluado en xl y f-22 tenemos rr evaluado en equis o ye y en f2 de x com aie ok esto - éste que obtuvimos verdad aquí está el menos - r de equis o ye f1 dx coma muy bien y ahora todo esto simplemente hay que multiplicarlo por nuestra diferencial de área y ya lo tenemos acabamos de probar esta igualdad todo lo que tenemos que probar ahora es que esté integral est e integral es también equivalente con este integral triple que teníamos aquí arriba integral triples sobre la región rr de la parcial de r respecto de zeta ok y así tendríamos válido el resultado para el caso de tipo 1 y con el mismo razonamiento se pueden demostrar los otros dos si estar tranquilitos de que el teorema de la divergencia es cierto para regiones simples y sólidas