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Transcripción del video

ya hemos explorado la versión bidimensional del teorema de la divergencia donde sí teníamos una región digamos rr digamos una región r de esta forma y también deberíamos tener bueno esta frontera que vamos a llamarse y déjenme ponerla con color verde esta es nuestra frontera de nuestra región y también para usar el teorema de la divergencia necesitamos un campo vectorial definido sobre todo todo el espacio ok entonces teníamos un campo vectorial donde que fuera digamos cubriendo de esta forma y como lo pinta aquí más o menos podríamos decir que su divergencia es positiva verdad el punto es que aquí tenemos un campo vectorial y lo que nos decía es que el flujo que es no es otra cosa más que tomarnos el campo vectorial y multiplicarlo hacer el producto punto con el vector normal unitario que o un vector normal exterior digamos que puede ser este de aquí si éste que es ortogonal a la curva frontera este es al que le llamamos vector normal y después de eso tomamos que multiplicamos por una pequeña fracción de rr ok y aquí sumamos todo esto si lo sumamos todo esto a lo largo de nuestra curva c entonces aquí estamos definiendo el flujo del campo vectorial a lo largo oa través de la de la frontera va a ser igual a a la suma si sumamos todas todas las todas dejen de gm lo escribo si sumamos todas la divergencia que hay aquí adentro y después lo multiplicamos por un pedacito de área de esta región ok digamos esta es la porción de área entonces qué es lo que vamos a sumar vamos a sumar toda la divergencia de nuestro campo vectorial sobre toda la región r eso es lo que nos está dando el teorema de la divergencia y que esencialmente pudimos obtener a través del teorema de grimm obtuvimos eso de el teo madryn entonces por ejemplo también podríamos dejen de construir otro ejemplo si tuviéramos una región aquí rr una nueva región rr y vamos a pintar otro campo vectorial que digamos que fuera constante en todas en todo punto sale entonces tenemos un campo vectorial que es constante en todos lados entonces como pensaríamos el teorema de la divergencia bueno veamos que de este lado el flujo o la cantidad digamos como de de masa o de materia que está saliendo a través de esta curva frontera que le voy a llamar otra vez c ok entonces el flujo es positivo verdad de este lado como que las materias y está saliendo sin embargo de aquí hasta digamos por aquí la materia está entrando entonces el flujo es negativo en este caso podríamos pensar cómo que en realidad e el flujo que hay a lo largo de toda esta curva de cero y eso tiene que ver porque la divergencia de este campo vectorial pues también es cero no por ejemplo también podríamos pensar que si tenemos esta otra región rr ok no importa el chiste es que sean regiones pues digamos bonitas para fines de lo que queremos y pintamos un campo vectorial que este digamos más que más que pensar en una divergencia hay que pensar cómo en una convergencia es decir como que se está aproximando de esta forma caja más o menos amigos no es que así se le llame convergencia sino a lo mejor para fines de este dibujo común sería conveniente llamarle así aquí en realidad el flujo a través de ésta o a través de esta frontera es es negativo está entrando verdad y eso hará que si sumamos la divergencia sobre el caso del del campo vectorial a lo largo de toda esta región pues en realidad la divergencia va digamos que está apuntando hacia adentro no en el campo vectorial entonces sus divergencias negativa entonces todo esto coincide y en realidad coincide porque el campo vectorial con respecto al albergue normal unitario pues tienen direcciones opuestas digamos tienen forman ángulos mayores a 90 grados opi medios en radiales ok entonces qué es lo que vamos a tratar de hacer en los próximos videos vamos a tratar de extender este concepto del teorema de la divergencia pero no a dos dimensiones sino a tres entonces vamos a pensar déjenme dibujarlo de esta forma vamos a pensar en una región del espacio que igual vamos a llamar rr que sea una región sólida simple y digo vamos vamos a definir mejor estoy en otros vídeos pero esencialmente es que esta región como que no se doble en sí misma aja como que no se no se auto intercepte que no tenga o no tenga formas muy extrañas digamos como que que fuera como esto digamos más o menos podemos pensar que esto es como de alguna forma ilítico a hamás o menos pero se entienda que estas son como como una especie de meridianos y de paralelos ok entonces que sea más o menos de esta forma o al menos que la la región la podemos separar en otras en otras regiones ajenas digamos que no se auto interfecto en que no se doblan en sí mismas que sean en esencia regiones sólidas y simples ok y además de ésta r vamos a tener que definir a la frontera a una frontera s s va a ser la frontera la frontera de nuestra región r ok que es esencialmente la cáscara de ésta de esta región también vamos a necesitar una un vector normal exterior bueno vamos a orientar la la la la la región o la superficie de esta región de tal forma que nuestro vector normal sea exterior qué quiere decir eso es que justamente apunta hacia fuera hacia fuera de la de la superficie ok entonces qué es lo que vamos a hacer para usar el ok para deducir un teorema de la divergencia bueno esta idea que tenemos aquí tras en dos dimensiones la vamos a llevar a tres entonces aquí si nos damos cuenta esta es la integral sobre una frontera entonces vamos a hacerla integral sobre la frontera donde la frontera es ese vamos a sumar el campo vectorial o el flujo a lo largo de esta frontera es decir tenemos el campo vectorial vamos a definir un campo vectorial no se puede ser de muchas formas raras esto está definido incluso desde adentro aquí como estoy pintando otra vez pues estoy como pensando en un en un en que su divergencia es positiva es decir están se está saliendo de aquí adentro estamos entonces este campo vectorial vamos a hacer el producto punto con nuestro vector normal exterior para más o menos ir midiendo el que tanto que tanto varía varias o que tanto se diferencian sus direcciones y después vamos a multiplicar por una pequeña porción de área digamos que tenemos aquí sobre la cáscara una porción de área de efe ja ja y todo esto lo vamos a sumar a lo largo de nuestra frontera que es la superficie s y esto siguiendo esta idea anterior debería ser la la suma de la divergencia pero en toda la región completa es decir vamos a tener la suma sobre toda la sobre toda la región rr que esto ya es un cuerpo sólido entonces es una integral triple de la divergencia de la divergencia del campo vectorial por una pequeña porción de volumen de volumen de éste de sólido entonces vamos a pensar en este volumen sale entonces aquí vamos a sumar la divergencia y coincide más o menos la idea que teníamos en dos dimensiones con ésta es decir por ejemplo aquí el campo vectorial pues más o menos apunta en dirección del del vector normal exterior eso quiere decir eso querría decir que esta parte sería positiva de otra forma también la divergencia en este caso pues es positiva en efecto cumple con esa idea de hacer una divergencia de salir como que pretende salir al campo victoria entonces esta parte de aquí está parte de aquí es el flujo es el flujo a través a través de la frontera o de la superficie de la superficie muy bien también tenemos ese concepto acá arriba en el enel enel en el caso de dos dimensiones porque esto de acá esto de aquí es el flujo es el flujo pero a través a través de la curva de la curva en ambos casos es la frontera y aquí del lado derecho pues estamos sumando la divergencia del campo vectorial en toda la región interior ok entonces espero esto les les dé mucha intuición de lo que el teorema de la divergencia nos dice esto espero que sea claro y que al menos haya extendido nuestro sentido común en los próximos videos haremos haremos ejemplos para manipular estas integrales de aquí abajo y y en otro par de vídeos vamos a tratar de demostrar el teorema de la divergencia