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Transcripción del video

veamos si podemos sacar un poco de provecho al teorema de la divergencia así que tenemos esta región r un sólido simple donde aquí nuestra variable x se mueve entre menos uno y uno acepta la podemos ver digamos acotada por abajo por cero y por arriba por la parábola 1 - x cuadrada ok ahora ya también la podemos pensar que está acotada por cero y la el plano 2 - z éste es igual a 2 - eta es un plano también tenemos este campo vectorial de aquí que se ve muy loco tiene exponenciales tangentes logaritmos naturales en fin así que nos piden de este campo vectorial calcular el flujo a través de esta superficie la la frontera de esta región nos piden calcular el flujo y las integrales de superficie pueden ser muy engorrosas muy muy complicadas especialmente en este caso que tenemos un campo vectorial tan complicado pero ya podrás pensar que hay una forma de simplificarlo y una de ella es usando el teorema de la divergencia que nos dice el teorema de la divergencia que este flujo de aquí debería ser igual a la integral triple es decir la integral sobre nuestra región r nuestro sólido r de quien de la divergencia del campo vectorial de la divergencia del campo vectorial por una diferencial de volumen es decir por un por la multiplicación de de x de jay de z donde eso esencialmente es un infinitésimo de área estamos entonces vamos a vamos a calcular esto vamos a empezar a utilizar la divergencia y quien es la divergencia de cualquier campo vectorial la divergencia de un campo vectorial no es otra cosa más que la derivada parcial de la primera entrada respecto de x mas la derivada de la segunda entrada respecto de ye más la derivada de la tercera entrada respecto de z entonces si derivamos esta primera con respecto a x tenemos la derivada de un medio de x cuadradas simplemente es x porque la derivada de x cuadrada es 2x por un medio simplemente es x este término no depende de x así que al derivar lo respecto de x se hace 0 ahora de la segunda entrada derivamos respecto de y la derivada de esto respecto de ye simplemente es x verdad esto no depende de ella por lo tanto al derivar los se cancela y finalmente si derivamos esta parte respecto de z nos queda 0 nos queda 0 porque esto depende de xy de iu y no de zeta así que en la divergencia nos quedó simplemente x mas x x mas x perdón que es 2x y esto es lo que vamos a integrar ahora bien en la pregunta es cómo vamos a hacer el orden de integración porque llegue a digamos se mueve entre 0 y 2 - zeta ceta se mueve entre entre 0 y 1 - x cuadrada y x se mueve entre 1 y menos 1 entonces esto nos va a dar una muy buena idea de cómo ir integrando fíjense podemos pensar entonces que que se mueve entre 0 2 - z 2 - z entonces al integrar primero respecto de iu nos va a dar una función que depende de z verdad ahora zeta ceta se mueve entre 0 dijimos que se mueve entre 0 y 1 - x cuadrada entonces al integrar después respecto de z nos va a quedar una función que depende de x y finalmente x sabemos que se mueve entre menos uno y uno por lo tanto este es un buen orden para integrar este es uno muy bueno como vamos a integrar pues simplemente este 2x vamos a esta es la divergencia entonces integramos en este orden vamos a tener esta integral respecto de y respecto de iu y va desde cero hasta dos menos zeta luego vamos a integrar respecto de vamos a integrar respecto de z que se mueve entre 0 y 1 - x cuadrada y finalmente vamos a integrar respecto de x desde menos 1 a 1 aquí va de equis y esta es la integral final que hay que calcular entonces vamos a calcular primero esta integral roja esta parte de aquí esta parte de aquí es muy sencilla verdad porque si estamos integrando respecto de iu y todo esto no depende de ella entonces una primitiva de eso simplemente va a ser va a ser 2x que es constante por la integral de eso que es por una primitiva de 1 que es que y todo esto vamos a evaluarlo de 0 a 2 - z muy bien cuando evaluemos esto que es lo que nos va a quedar lo que nos va a quedar es de gm de este lado va a ser 2x bueno si nos damos cuenta esto cuando lo evaluamos en 0 se hace 0 entonces sólo nos interesa evaluarlo en el límite superior entonces vamos a tener 2x que multiplica a que cuando lo evaluamos en 2 - z entonces simplemente va a ser que multiplicados menos zeta y ahora vamos a tener que seguir con los órdenes de integración como los teníamos planeados primero respecto de z de 0 a 1 - x cuadrada y luego respecto a x de menos 1 a 1 ok vamos ahora a resolver la integral morada esta integral de aquí muy bien entonces realmente 2x es una constante cuando estamos integrando respecto de z así que podría salir de la integral entonces si saliera de la integral aquí tendríamos 2x por la integral de 0 a 1 - x cuadrada de 2 - z quien es la integral de 2 respecto de z déjenme déjenme ponerlo con rojo tendríamos aquí que multiplicar 12 está esa es la integral de 2 respecto de z menos aquí o menos la integral de zeta respecto de z es ce está cuadrada sobre 2 y esto ahora lo evaluamos de déjame ponerlo igual con morado de 0 a 1 - x cuadrada muy bien entonces vamos a tener que evaluar eso vamos a evaluar eso vamos a hacer esto un poquito más abajo entonces esto simplemente va a ser vamos haciéndolo por pasos 2 x que multiplica déjenme voy a ponerlo con el morado que multiplica a bueno si nos damos cuenta esto cuando lo evaluamos en 0 nuevamente se cancela entonces sólo nos va a importar evaluarlo en el límite superior entonces cuando evaluamos esto en 1 - x cuadrada vamos a tener 2 que multiplica a 1 - x cuadrada o dejen ya de una vez hacer la distribución dos por uno es dos menos dos por equis cuadrada es 2x cuadrada ese es el primer sumando y ahora hay que restar un medio un medio de zeta cuadrada pero evaluado en 1 - x cuadrada entonces 1 - x cuadrada al cuadrado es un binomio al cuadrado y nos quedara 11 menos 2x cuadrada más x a la cuarta y eso es simplemente elevar 1 - x cuadrado al cuadrado muy bien vamos a ir simplificando un poco más esta expresión para que podamos resolver la última integral y tendremos 2x que multiplica 2 - 2x cuadrada menos y aquí sería un medio por 1 es un medio menos un medio por menos 2 x cuadrada en los signos se cancelan y el 2 por un medio se cancela también así que nos queda simplemente más x cuadrada y finalmente tenemos menos un medio por x a la cuarta es menos un medio x a la cuarta muy bien y todavía podemos simplificar un poco más porque vamos a tener 2 x 2 x que va a multiplicar a quien el 2 este 2 se puede simplificar o se puede sumar con este menos un medio estos son 4 medios menos un medio nos quedaría aquí tres medios tres medios y ahora tenemos menos 2x cuadrada con esta x cuadrada es decir estos dos términos entonces tendremos menos 2x cuadrada más una x cuadrada nos queda menos x cuadrada y finalmente nos queda sumar o más bien restar un medio de x a la cuarta entonces ya vamos a ir concluyendo porque si utilizamos la propiedad distributiva de éste de esta de esta multiplicación tendremos 2x por tres medios los dos se cancelan y nos queda 3 x 3 x aquí nos quedaría menos 2 x x x cuadradas serían 2 x al cubo 2 x al cubo y aquí sería 2 x x menos un medio de x a la cuarta nos queda menos 2 por un medio se cancelan y nos queda x x x cuarta es x a la 5 y esto es lo que vamos a tener que integrar ahora respecto de x es decir vamos a tener que integrar 3 x menos 2 x al cubo menos x a las 5 todo esto lo vamos a integrar lo vamos a integrar de menos 1 a 1 respecto a x muy bien entonces que es lo que nos queda vamos a tener la integral de 3x respecto de x es 3 x entre 2 x cuadrada perdón 3 x cuadrada entre 2 ahora menos la integral de x al cubo es x a la cuarta entre 4 pero como tenemos aquí un 2 nos va a quedar un medio de x a la cuarta ok ya y finalmente la integral de x a la 5 bueno aquí sería un menos la integral de x a la 5 es x a las 6 sobre 6 y todo esto lo vamos a tener que evaluar finalmente de menos 1 qué es lo que obtenemos aquí bueno cuando evaluamos en uno simplemente nos queda tres medios menos un medio menos un sexto ya esto hay que restarle cuando evaluamos en menos hay que aquí me falta poner menos uno ok pero en menos uno fíjense que en el primero nos queda tres medios menos un medio y menos un sexto verdad porque menos uno ha elevado a cualquier potencia par simplemente es como si sustituto como si fuera con uno y si nos damos cuenta entonces todos estos se cancelan este menos un medio se cancela con este menos un medio porque los están los estamos restando y lo mismo pasa con el menos un sexto entonces qué fue lo que obtuvimos al final 0 0 es lo que obtuvimos de esta integral lo cual fue bastante conveniente y muy bonito porque entonces esta integral triple que por el teorema de la divergencia es el flujo del campo vectorial a través de esta superficie igual a cero