Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:10:45

Transcripción del video

veamos si podemos sacar un poco de provecho al teorema de la divergencia así que tenemos esta región erré un sólido simple donde aquí nuestra variable x se mueve entre menos uno y uno acepta la podemos ver que digamos acotada por abajo por cero y por arriba por la parábola 1 - x cuadrada ok ahora aie también la podemos pensar que está acotada por cero y la el plano 2 - zeta éste es igual a 2 - eta es un plano también tenemos este campo vectorial de aquí que se ve muy loco tiene exponenciales tangentes logaritmos naturales en fin asi que nos piden de este campo vectorial calcular el flujo a través de esta superficie la la frontera de esta región nos piden calcular el flujo y las integrales de superficie pueden ser muy engorrosa es muy muy muy complicadas especialmente en este caso que tenemos un campo vectorial tan complicado pero ya podrás pensar que hay una forma de simplificarlo y una de ellas es usando el teorema de la divergencia que nos dice el teorema de la divergencia que este flujo de aquí debería ser igual a la integra el triple es decir la integral sobre nuestra región rr nuestro sólido ere de quién de la divergencia del campo vectorial en la divergencia del campo vectorial por una diferencia de volumen es decir por un por la multiplicación de dx de jay de z donde eso esencialmente es un infinitésimo de área estamos entonces vamos a vamos a calcular esto vamos a empezar a utilizar la divergencia y quienes la divergencia de cualquier campo vectorial la divergencia de un campo vectorial no es otra cosa más que la derivada parcial de la primera entrada al respecto de x más la derivada de la segunda entrada respecto de ye más la deriva de la tercera entrada al respecto de z entonces sí derivamos a esta primera con respecto a x tenemos la deriva de un medio de x cuadradas simplemente es x porque la deriva de x cuadrada es 2x por un medio simplemente es x y este término no depende de qué así que al derivarlo respecto de x se hace 0 ahora de la segunda entrada derivamos respecto de ye la deriva de este respecto day es simplemente es x verdad esto no depende de ye por lo tanto al derivarlo se cancela y finalmente si derivamos a esta parte respecto de z nos queda a cero nos queda a cero porque esto depende de x ideye y no de zeta así que el la divergencia nos quedó simplemente x mas x x mas x perdón que es 2x y esto es lo que vamos a integrar ahora bien la pregunta es cómo vamos a hacer el orden de integración porque llegué e digamos se mueve entre 0 y 2 - zeta zetas se mueve entre entre 0 y 1 - x cuadrada y x se mueve entre uno y menos uno entonces esto nos va a dar una muy buena idea de cómo ir integrando fíjense podemos pensar entonces que que ye se mueve entre 0 y 2 - eta 2 - eta entonces al integrar primero respecto de ye nos va a dar una función que depende de z verdad ahora zeta ceta se mueve entre 0 dijimos que se mueve entre 0 y 1 - x cuadrada entonces al integrar después respecto de zeta nos va a quedar una función que depende de x y finalmente x sabemos que se mueve entre menos uno y uno por lo tanto este es un buen orden para integrar este es uno muy bueno cómo vamos a integrar pues simplemente es de 2 x vamos a esta es la divergencia entonces integramos en este orden vamos a tener esta integral respecto de ye respecto day e iba desde cero hasta 2 - zeta luego vamos a integrar respecto de vamos a integrar respecto de z que se mueve entre 0 y 1 - x cuadrada y finalmente vamos a integrar respecto de x desde menos uno a uno aquí va de x fiesta es la integra al final que hay que calcular entonces vamos a calcular primero está integral roja esta parte de aquí está parte de aquí es muy sencilla verdad porque si estamos integrando respecto de yee y todo esto no depende de ley entonces una primitiva de eso simplemente va a hacer va a ser 12 x que es constante por la integral de eso que es por una primitiva de uno que es y todo esto vamos a evaluarlo de 0 a 2 - se está muy bien cuando evaluemos esto que es lo que nos va a quedar lo que nos va a quedar es de gm y gm ponerlo de este lado va a hacer 12 x bueno si nos damos cuenta de esto cuando lo evaluamos en cero se acercó entonces sólo nos interesa evaluarlo en el límite superior entonces vamos a tener 12 x que multiplica a ye cuando lo evaluamos en 2 - eta entonces simplemente va a ser que multiplicados - eta y ahora vamos a tener que seguir con los órdenes de integración como lo teníamos planeado primero respecto de z de 0 a 1 - x cuadrada y luego respecto a x de -1 ok vamos ahora a resolver la integral morada está integral de aquí muy bien entonces realmente 2x es una constante cuando estamos integrando respecto de setas y que podría salir de la integral entonces si saliera de la integral aquí tendríamos 12x por la integral de 0 a 1 - x cuadrada de 2 - eta quienes la integral de 2 respecto de zeta déjeme decirle ponerlo con rojo tendríamos aquí que multiplicar por doce está es la integral de 2 respecto de zeta - aquí con menos e integral de z respecto de z es z cuadrada sobre dos y esto ahora lo evaluamos de déjame ponerlo igual con morado de 0 a 1 - x cuadrada muy bien entonces vamos a tener que evaluar eso vamos a evaluar eso vamos a hacer esto un poquito más abajo entonces esto simplemente va a hacer vamos haciéndolo por pasos 12x que multiplica de gm ya ponerlo con el morado que multiplica bueno si nos damos cuenta esto cuando lo evaluamos en cero nuevamente se cancela entonces sólo nos va a importar evaluarlo en el límite superior entonces cuando evaluamos esto en 1 - x cuadrada vamos a tener dos que multiplica a 1 - x cuadrada o dejen ya de una vez a hacer la distribución dos por uno es 2 - 2 x x cuadrada es 2x cuadrada es el del primer sumando y ahora hay que restar un medio medio de z cuadrada pero evaluado en 1 - x cuadra entonces 1 - x cuadrada al cuadrado es un binomio cuadrado y nos quedará 11 - dos equis cuadrada más x a la cuarta y eso es simplemente elevar 1 - x cuadrada al cuadrado muy bien vamos a ir simplificando un poco más esta expresión para que podamos resolver la última integral y tendremos dos equis que multiplica a 2 - 2 x cuadrada menos y aquí sería un medio por uno es un medio menos un medio por menos dos equis cuadrada en los signos se cancelan y el 2 por un medio se cancela también así que nos queda simplemente más x cuadrada y finalmente tenemos menos un medio por ekiza la cuarta es menos un medio x a la cuarta muy bien y todavía podemos simplificar un poco más porque vamos a tener a 2 x 2 x que va a multiplicar a quien el 2 este 2 se puede decir simplificado se puede sumar con este - un medio estos son cuatro medios menos un medio nos quedaría aquí tres medios tres medios y ahora tenemos menos dos equis cuadrada con esta x cuadrada es decir estos dos términos entonces tendremos menos 2x cuadrada más una x cuadrada nos queda menos x cuadrada y finalmente nos queda sumar o más bien restar un medio de x a la cuarta entonces ya vamos a ir concluyendo porque si utilizamos la propiedad distributiva de éste de ésta de esta multiplicación tendremos dos equis por tres medios los 12 cancelan y nos queda 3 x 3 x aquí nos quedaría menos 2 x x x cuadradas serían dos equis al cubo 2x al cubo y aquí sería 2x por menos un medio de quizá la cuarta nos queda menos dos por un medio se cancelan y nos queda x x x cuarta es x a las cinco y esto es lo que vamos a tener que integrar ahora respecto de x es decir vamos a tener que integrar 3 x menos dos equis al cubo - x a las cinco todo esto lo vamos a integrar lo vamos a integrar de menos uno a uno respecto a x muy bien entonces qué es lo que nos queda vamos a tener la integral de 3x respecto de x 63 x entre dos equis cuadrada perdón 3x cuadrada entre dos y ahora menos la integral de x al cubo es x a la cuarta entre cuatro pero como tenemos aquí un 2 nos va a quedar un medio de x a la cuarta ok y finalmente la integral de x a las 5 bueno aquí serían menos la integral de x a las 5 x a las 6 sobre 6 y todo esto lo vamos a tener que evaluar finalmente de menos uno a uno que es lo que obtenemos aquí bueno cuando evaluamos en uno simplemente nos queda tres medios menos un medio menos un sexto ya esto hay que restarle cuando evaluamos en menos hay aquí me faltó poner menos un ok pero en -1 fíjense que en el primero nos queda tres medios menos un medio y menos un sexto verdad porque -1 ha elevado a cualquier potencia par simplemente es como si yo estube como si fuera con uno y si nos damos cuenta entonces todos estos se cancelan esté menos un medio se cancela con este - un medio porque los están los estamos restando y lo mismo pasa con el menos un sexto entonces qué fue lo que obtuvimos al final 0 0 es lo que obtuvimos de esta integral lo cual fue bastante conveniente y muy bonito porque entonces está integral triple que por el teorema de la divergencia es el flujo del campo vectorial a través de esta superficie va a ser igual a cero