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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5
Lección 1: Definiciones formales de la divergencia y el rotacional (lectura opcional)- ¿Por qué preocuparse acerca de las definiciones formales de la divergencia y del rotacional?
- La definición formal de la divergencia en dos dimensiones
- La definición formal de la divergencia en tres dimensiones
- La definición formal del rotacional en dos dimensiones
- La definición formal del rotacional en tres dimensiones
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La definición formal del rotacional en dos dimensiones
Aprende cómo se define en realidad el rotacional, lo cual involucra capturar de manera matemática la intuición de la rotación de un fluido. Esta es una buena preparación para el teorema de Green.
Antecedentes
Si no lo has hecho, puede ser que también quieras leer "¿Por qué preocuparse acerca de las definiciones formales de la divergencia y del rotacional?" para tener un poco de motivación.
Qué vamos a construir
En dos dimensiones, el rotacional se define formalmente como el límite de una integral de línea:
Esto es complicado, pero hará sentido conforme lo construimos, una pieza a la vez.
Formalizar la rotación de un fluido
Supón que tienes un flujo que fluye y cuya velocidad está dada por el campo vectorial , tal como el que vimos en el artículo del rotacional bidimensional.
Si no supieras acerca del rotacional, pero acabaras de aprender sobre integrales de línea a través de un campo vectorial, ¿cómo medirías la rotación del fluido en una región?
Para tomar un ejemplo relativamente sencillo, considera el campo vectorial
Este es el campo vectorial de rotación en dirección contraria a las manecillas del reloj por excelencia.
¿Cómo podemos hacer la idea de la rotación de un fluido de manera matemática (antes de saber acerca del rotacional)? Una manera de hacer esto es imaginar que caminas alrededor del perímetro de alguna región, como un círculo unitario centrado en el origen, y medir si el fluido parecer fluir hacia ti o en contra de ti en cada punto.
Verificación de conceptos: sea que represente la circunferencia de un círculo centrado en el origen, orientado en dirección contraria a las manecillas del reloj. Dado el dibujo del campo vectorial de arriba, considera la siguiente integral de línea:
Sin calcularla, ¿cuál es el signo de esta integral? (Recuerda que el símbolo solo enfatiza que la integral de línea es sobre un circuito cerrado, pero se calcula de la misma manera que cualquier otra integral de línea).
De manera más general, si un fluido tiende a fluir en dirección contraria a las manecillas del reloj alrededor de una región, esperarías que la integral de línea del campo vectorial de la velocidad de ese fluido alrededor del perímetro de la región fuera positiva (cuando está orientada en dirección contraria a las manecillas del reloj).
También podrías imaginar un campo vectorial más complicado, en el cual el fluido fluyera hacia ti en algunos puntos de tu caminata en dirección contraria a las manecillas del reloj, pero en contra de ti en otros.
El valor de será positivo mientras el flujo vaya hacia ti, y negativo cuando vaya contra ti. De cierto modo, la integral es como un sistema de votación que cuenta cuántas veces se cancelan estas diferentes direcciones entre sí y cuál gana en total.
Dejar que cambie el tamaño de la región
Entonces, después de expresar la idea de la rotación de un fluido alrededor de una región de manera matemática, podrías querer capturar la idea más elusiva de la rotación de un fluido en un punto. ¿Cómo podrías abordar eso?
Podrías empezar por considerar regiones más y más pequeñas alrededor de ese punto, como círculos de radios cada vez menores, y ver cómo se ve el flujo del fluido alrededor de esas regiones.
Verificación de conceptos: de regreso a nuestro campo vectorial , en vez de solo mirar el círculo unitario, sea un círculo con centro en el origen y radio . Este círculo seguirá estando orientado en dirección contraria a las manecillas del reloj.
Calcula la integral de línea de alrededor de este círculo como una función de .
¿Cómo se relaciona este valor con el círculo ?
Rotación promedio por unidad de área
La respuesta a esta última pregunta sugiere algo interesante. La rotación alrededor de una región parece ser proporcional al área de esa región. Por supuesto, solo has mostrado esto para círculos centrados en el origen, no para todas las regiones posibles, pero sin embargo es sugerente.
Idea clave: tal vez si tomas, que mide el flujo del fluido alrededor de una región, y la divides entre el área de esa región, te pueda dar alguna noción de la rotación promedio por unidad de área.
La idea de "rotación promedio por unidad de área" puede sentirse un poco rara, pero si recuerdas la interpretación del rotacional, eso es más o menos lo que queremos que represente el rotacional. En lugar de pensar acerca de la rotación del fluido en una región grande, se supone que el rotacional mide cómo el fluido tiende a rotar cerca de un punto.
Verificación de conceptos: el campo vectorial del ejemplo anterior es un poco especial en el sentido de que la "rotación por unidad de área" de los círculos alrededor del origen es el mismo valor para todos los círculos. ¿Cuál es ese valor?
Verificación de conceptos: recuerda que la fórmula para el es
donde y son las componentes de . Dada la definición
calcula el rotacional de .
Definir el rotacional bidimensional
Las últimas dos preguntas muestran que la "rotación promedio por unidad de área" en los círculos centrados en el origen resultan ser la misma que la definición del rotacional de la función, por lo menos para nuestro ejemplo específico. Esto resulta que se aplica de manera más amplia. De hecho, la forma en la que definimos el rotacional de un campo vectorial en un punto es que sea el límite de esta rotación promedio por unidad de área en regiones más y más pequeñas alrededor del punto .
Específicamente, (redoble de tambores, por favor), aquí está la fórmula que define el rotacional bidimensional:
donde
es un campo vectorial bidimensional. es algún punto específico en el plano. representa alguna región alrededor del punto . Por ejemplo, un círculo centrado en . indica el área de . indica que estamos considerando el límite conforme el área de tiende a , lo que significa que esta región se encoge alrededor de . es la frontera de , orientada en dirección contraria a las manecillas del reloj. es la integral de línea alrededor de , escrita como en vez de para to enfatizar que es una curva cerrada.
Esta fórmula es impráctica para los cálculos, pero la conexión que tiene con la rotación del fluido es muy clara una vez que la entiendas bien. Es un hecho muy hermoso que esta definición dé la misma cosa que la fórmula usada para calcular el rotacional bidimensional.
Una característica más de los campos vectoriales conservativos
Antecedentes: Campos vectoriales conservativos
Si es un campo vectorial conservativo, todas las integrales de línea sobre circuitos cerrados son . Al ver la integral de arriba, ¿qué implica esto?
Esto nos da un hecho importante: si un campo vectorial es conservativo, es irrotacional, lo que significa que el rotacional es cero en todos lados.
En particular, como los campos gradientes siempre son conservativos, el rotacional del gradiente siempre es cero. Ese es un hecho que puedes encontrar simplemente al trabajar las fórmulas. Sin embargo, creo que da mucha más claridad para entenderla al usar la definición del rotacional con la intuición de por qué los campos gradientes son conservativos.
¿Qué hay de lo contrario? Si un campo vectorial tiene rotacional cero en todos lados, significa que debe ser conservativo?
Resumen
- Si un campo vectorial representa el flujo de un fluido, puedes cuantificar la "rotación del fluido en una región" al tomar la integral de línea de ese campo vectorial a lo largo de la frontera de esa región.
- Para pasar de la idea de la rotación del fluido en una región al flujo del fluido alrededor de un punto (que es lo que mide el rotacional), introdujimos la idea de una "rotación promedio por unidad de área" en una región. Después consideramos a qué se acerca este valor a medida que la región se encoge alrededor de un punto.
- En fórmulas, esto nos da la definición del rotacional bidimensional como sigue:
- Esta relación entre el rotacional y la integral de línea sobre un circuito cerrado implica que los campos irrotacionales y los campos conservativos son lo mismo.
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