¿Podría aclarar la notación de corchetes usada al operar la función F dentro de la integral y en otros cálculos del ejemplo? Gracias.

Este tipo de notación se suele utilizar en álgebra para los vectores; aquí los puedes visualizar asociando el primer renglón de la matriz al versor *i* (correspondiente al eje x), el segundo renglón al versor *j* (correspondiente al eje y) y el tercer renglón al versor *k* (correspondiente al eje z). De modo que el vector _*F* (x;y) = [ x // y ]_ (La x se encuentra sobre la y, no es una división) puede escribirse _*F* (x;y) = x *i* + y *j*_ Las distintas operaciones de este vector con el operador nabla (*∇*) u otros vectores, se realizan mediante álgebra vectorial.

en el último cálculo quedó: el lim cuanto r tiende a 0 de 2 = 2, de que sirvió tener el límite si a final de cuentas quedó 2?

En el articulo anterior explica claramente que esto es para entender mejor el concepto, no para operar

Contenido principal

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5

Lección 1: Definiciones formales de la divergencia y el rotacional (lectura opcional)

La definición formal de la divergencia en dos dimensiones

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Aprende cómo se usan las integrales de línea para formalizar la idea de la divergencia.

Antecedentes

Si no lo has hecho, puede ser que también quieras leer "¿Por qué preocuparse acerca de las definiciones formales de la divergencia y del rotacional?" para tener un poco de motivación.

Qué vamos a construir

En dos dimensiones, la divergencia se define formalmente como sigue:
$\begin{array}{r} div F (x, y) = lim_{| A_{(x, y)} | \to 0} \underset{Flujo por unidad de área}{\underset{⏟}{\frac{1}{| A_{(x, y)} |} \overset{Flujo en 2D a través de C}{\overset{⏞}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} \end{array}$ ‍
$F (x, y)$ ‍ es un campo vectorial bidimensional.
$(x, y)$ ‍ es un punto específico en el plano $x y$ ‍.
$A_{(x, y)}$ ‍ es alguna región del plano $x y$ ‍ que incluye al punto $(x, y)$ ‍. Por ejemplo, puedes pensar que es el círculo centrado en $(x, y)$ ‍.
$| A_{(x, y)} |$ ‍ es el área de $A_{(x, y)}$ ‍.
$lim_{| A_{(x, y)} | \to 0}$ ‍ indica que estamos considerando el límite cuando el área $| A_{(x, y)} |$ ‍ se va a cero. En otras palabras, a medida que $A_{(x, y)}$ ‍ se encoge alrededor del punto $(x, y)$ ‍.
$C$ ‍ es la frontera de $A_{(x, y)}$ ‍.
$\hat{n} (x, y)$ ‍ es una función que da un vector normal unitario que apunta hacia afuera en cada punto sobre $C$ ‍.
La integral de línea $\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s$ ‍ representa el flujo bidimensional de $F$ ‍ a través de $C$ ‍.

Están pasando muchas cosas en esta definición, pero vamos a llegar a ella al construir paso a paso. La mayor parte de la intuición viene de la comprensión de fondo del flujo.

El "flujo saliente" en un punto en realidad no tiene sentido

A estas alturas debes tener una idea de lo que está tratando de medir la divergencia. Cuando un campo vectorial

F (x, y)

representa el flujo de un fluido, la divergencia mide la tendencia del fluido a alejarse de cada punto.

Contenedor video de Khan Academy

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Sin embargo, hay una desconexión entre la idea de "flujo saliente" y la propia divergencia:

La divergencia es una función que toma como entrada puntos individuales en el espacio.
La idea del flujo saliente solo tiene sentido con respecto a una región en el espacio. Puedes preguntar si un fluido fluye hacia afuera o hacia adentro de una region dada, pero no tiene sentido hablar acerca del fluido que va hacia afuera de un solo punto.

Definir formalmente la divergencia involucrará primero utilizar una integral de flujo, que mide el flujo saliente en una región, y después tomar el límite apropiado conforme esta región se encoge alrededor de un punto específico.

De una región a un punto

En el artículo del flujo bidimensional, teníamos la siguiente configuración:

$F (x, y)$ ‍ es una función vectorial que representa el campo vectorial de la velocidad de algún fluido.
$C$ ‍ es un circuito cerrado en el plano $x y$ ‍.
$\hat{n} (x, y)$ ‍ es una función que da el vector normal unitario hacia afuera en todos los puntos sobre la curva $C$ ‍.

Hablé de cómo, si estuvieras haciendo un seguimiento de la masa de fluido en la región encerrada por la curva

C

, podrías calcular la tasa a la cual la masa está dejando la región al usar la siguiente integral de línea:

$\begin{array}{r} \underset{Tasa a la cual la masa sale de la región}{\underset{⏟}{- \frac{d (masa del fluido en la región)}{d t}}} = \underset{Integral de flujo}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}} \end{array}$ ‍

Esto se llama una "integral de flujo". Si es positiva, el flujo tiende a salir de la región, de lo contrario tiende a entrar en la región. Puedes interpretar esta integral al imaginar que caminas a lo largo de la frontera

C

y mides cuánto fluido tiende a salir o entrar de la región en cada punto.

¿Qué pasa si en lugar de medir el cambio en la masa quisieras saber el cambio en la densidad? Bueno, solo divide esta integral entre el área de la región en cuestión. Vamos a seguir adelante y a darle un nombre a esa región,

A

, y vamos a decir que

| A |

es el área de la región.

$\begin{array}{r} \underset{Cambio en la masa por unidad de área en A}{\underset{⏟}{- \frac{d (densidad del fluido en la región)}{d t}}} = \frac{1}{| A |} \oint_{C} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍

Para definir de manera formal a la divergencia de

F

en el punto

(x, y)

, consideramos el límite de este cambio en densidad a medida que la región se encoge alrededor del punto

(x, y)

No existe una notación escrita en piedra para esto, pero aquí está la que voy a usar:

En lugar de solo escribir $A$ ‍, escribe $A_{(x, y)}$ ‍ para enfatizar que esta región contiene un punto específico $(x, y)$ ‍.

Esto es importante porque a medida que empezamos a dejar que se encoja la región, no queremos que se aleje del punto.

La expresión "

| A_{(x, y)} | \to 0

" va a indicar que estamos considerando el límite a medida que el área de

A_{(x, y)}

tiende a

0

, lo que significa que

A_{(x, y)}

se está encogiendo alrededor del punto

(x, y)

Con todo esto, aquí está cómo escribimos la definición formal de la divergencia:

$\begin{array}{r} div F (x, y) = \underset{\begin{array}{c} La región se encoge \\ alrededor de (x, y) \end{array}}{\underset{⏟}{lim_{| A_{(x, y)} | \to 0}}} \overset{\begin{array}{c} Cambio negativo de \\ la densidad del fluido en A_{(x, y)} \end{array}}{\overset{⏞}{\frac{1}{| A_{(x, y)} |} \underset{Flujo a través de C}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} \end{array}$ ‍

Ejemplo "sencillo": divergencia constante

A diferencia de otros temas, el propósito de un ejemplo en este caso no es que practiques una habilidad que necesitarás. Es tan solo para que tengas una idea de cómo se ve esta idea relativamente abstracta para una función concreta.

Vamos a usar el campo vectorial en dos dimensiones "que fluye hacia fuera" por excelencia:

$\begin{array}{r} F (x, y) = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \end{array}$ ‍

Verificación de conceptos: al usar la fórmula habitual de la divergencia, la que surge de la notación

\nabla \cdot F

, ¿cuál es la divergencia de

F (x, y) = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

\nabla \cdot F (x, y) =

Ahora vamos a ver cómo la definición formal de la divergencia funciona en este caso. Vamos a enfocarnos en el origen.

$(x, y) = (0, 0)$ ‍

Y para nuestras regiones que se encogen alrededor de este punto, vamos a considerar círculos. Sea

C_{r}

que denote un círculo de radio

r

centrado en el origen, y

D_{r}

que represente la región encerrada por ese círculo, donde

D

es de "Disco".

Observa que para todos los valores de

r

, el disco

D_{r}

va a contener al punto

(0, 0)

, así que esta es una buena familia de regiones para usar.

La definición formal de la divergencia en

(0, 0)

entonces se escribiría como sigue:

$\begin{array}{r} div F (0, 0) = lim_{| D_{r} | \to 0} \frac{1}{| D_{r} |} \oint_{C_{r}} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍

Esto es más bien abstracto, así que vamos a empezar a completar los detalles de esta integral.

Verificación de conceptos: ¿qué es

| D_{r} |

$| D_{r} | =$ ‍

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes opciones parametriza a

C_{r}

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}$ ‍ con $t$ ‍ que va de $0$ ‍ a $2 π$ ‍.
(Elección B)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} r \cos (t) \\ r \sin (t) \end{array}] \end{array}$ ‍ con $t$ ‍ que va de $0$ ‍ a $2 π$ ‍.

Verificación de conceptos: al usar esta parametrización, ¿con qué deberíamos reemplazar

d s

en la integral

\int_{C_{r}} \dots d s

$d s =$ ‍
$d t$ ‍

Si no estás familiarizado con este paso, considera revisar los artículos sobre integrales de línea o longitud de arco.
El valor $d s$ ‍ representa un pedacito de la longitud de arco sobre la curva $C_{r}$ ‍. Empieza por tomar la derivada de la función que parametriza a $C_{r}$ ‍:
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} r \cos (t) \\ r \sin (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} - r \sin (t) \\ r \cos (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
Después toma su magnitud:
$\begin{aligned} \sqrt{(- r \sin (t))^{2} + (r \cos (t))^{2}} \\ = \sqrt{r^{2} (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t))} \\ = r \end{aligned}$ ‍
Cuando multiplicas esto por $d t$ ‍, te da un pequeño fragmento de la longitud de arco:
$d s = r d t$ ‍

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes opciones da un vector unitario

\hat{n}

que es normal a

C_{r}

y que apunta hacia fuera?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x / r \\ y / r \end{array}] \end{array}$ ‍
(Elección B)
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \end{array}$ ‍
(Elección C)
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} r x \\ r y \end{array}] \end{array}$ ‍

La primera opción de respuesta es correcta:
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x / r \\ y / r \end{array}] \end{array}$ ‍
Considera un punto $(x, y)$ ‍ sobre el círculo $C_{r}$ ‍.
El vector $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ ‍ no solo apunta del origen a $(x, y)$ ‍, sino que también da un vector normal a ese punto.
Sin embargo, como $(x, y)$ ‍ está sobre el círculo con radio $r$ ‍, la magnitud de este vector es $r$ ‍. Para obtener un vector normal unitario, tenemos que dividir cada componente entre $r$ ‍:
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x / r \\ y / r \end{array}] \end{array}$ ‍

Al usar todas estas respuestas en la expresión que teníamos antes, obtenemos esto:

$\begin{aligned} div F (0, 0) \\ ⇓ \\ = lim_{| D_{r} | \to 0} \frac{1}{| D_{r} |} \oint_{C_{r}} F \cdot \hat{n} d s \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} F (r \cos (t), r \sin (t)) \cdot \hat{n} (r \cos (t), r \sin (t)) r d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} [\begin{array}{c} r \cos (t) \\ r \sin (t) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} (r \cos (t)) / r \\ (r \sin (t)) / r \end{array}] r d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} \underset{r}{\underset{⏟}{(r \cos^{2} (t) + r \sin^{2} (t))}} r d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} r^{2} d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} 2 π r^{2} \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Así que la definición formal sí coincide con la fórmula

\nabla \cdot F

que conocemos y amamos. Bueno, por lo menos para este ejemplo en específico por lo menos.

Sin embargo, creo que vas a estar de acuerdo en que esta es un cálculo más difícil de hacer. Pero el punto de esta definición formal no es usarla para cálculos en realidad. El punto es que funciona mejor para reflejar la idea del "flujo saliente" en una formula matemática. Al tener una comprensión sólida esa idea será útil cuando aprendas sobre el teorema de Green de la divergencia.

¿Y qué pasa con dimensiones superiores?

En el siguiente artículo, te voy a mostrar cómo puedes hacer esencialmente lo mismo para definir la divergencia tridimensional al usar un flujo tridimensional, la cual involucra una integral de superficie.

Resumen

Dado el flujo de un fluido, la divergencia trata de capturar la idea del "flujo saliente" en un punto. Pero esto no acaba de hacer sentido, porque solo puedes medir el cambio en la densidad del fluido de una la región.
Cuando se habla acerca de una región, la idea del "flujo saliente" es la misma que el flujo a través de la frontera de esa región.
Para adaptar la idea del "flujo saliente en una región" a la idea del "flujo saliente en un punto", empieza por considerar el flujo promedio saliente por unidad de area en una región. Esto solo significa dividir la integral de flujo entre el de la región.
A continuación, considera el límite de este flujo saliente por unidad de área a medida que la región se encoge alrededor de un punto específico.
Al poner todo esto en símbolos, obtenemos la siguiente definición de la divergencia:
$\begin{array}{r} div F (x, y) = lim_{| A_{(x, y)} | \to 0} \underset{Flujo por unidad de área}{\underset{⏟}{\frac{1}{| A_{(x, y)} |} \overset{Flujo en 2D}{\overset{⏞}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} \end{array}$ ‍

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azhabel
Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “¿Podría aclarar la notaci...” de azhabel
¿Podría aclarar la notación de corchetes usada al operar la función F dentro de la integral y en otros cálculos del ejemplo? Gracias.
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Respuesta
- Ezequiel
  Publicado hace hace 7 años. Enlace directo a la publicación “Este tipo de notación se ...” de Ezequiel
  Este tipo de notación se suele utilizar en álgebra para los vectores; aquí los puedes visualizar asociando el primer renglón de la matriz al versor i (correspondiente al eje x), el segundo renglón al versor j (correspondiente al eje y) y el tercer renglón al versor k (correspondiente al eje z).
  De modo que el vector F (x;y) = [ x // y ]
  (La x se encuentra sobre la y, no es una división)
  puede escribirse F (x;y) = x i + y j
  
  Las distintas operaciones de este vector con el operador nabla (*∇*) u otros vectores, se realizan mediante álgebra vectorial.
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Yoselinne Lizbeth Munayco Villalobos
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Y ¿Cuándo no se cumpliría...” de Yoselinne Lizbeth Munayco Villalobos
Y ¿Cuándo no se cumpliría el teorema de la divergencia? Y por qué siempre se pone el vector normal? Es necesario para poder expresar la dirección a donde se mueve el flujo o cómo?
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Robin
Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “en el último cálculo qued...” de Robin
en el último cálculo quedó: el lim cuanto r tiende a 0 de 2 = 2, de que sirvió tener el límite si a final de cuentas quedó 2?
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Respuesta
- Rodrigo Vazquez
  Publicado hace hace 8 años. Enlace directo a la publicación “En el articulo anterior e...” de Rodrigo Vazquez
  En el articulo anterior explica claramente que esto es para entender mejor el concepto, no para operar
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