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¿Por qué preocuparse acerca de las definiciones formales de la divergencia y del rotacional?

Antes de aprender cómo definir formalmente la divergencia y el rotacional, lee un poco acerca de por qué esto es algo que vale la pena hacer.

Acerca de las definiciones formales

De alguna manera, el gran arte de las matemáticas es encontrar las definiciones correctas. Involucra tomar una idea vaga, una intuición, y convertirla en algo absolutamente cierto.
Para los siguientes artículos, voy a suponer que ya aprendiste acerca de la divergencia y el rotacional. En particular, debes saber cómo calcularlos, y todavía más importante, debes sentirte cómodo con cómo interpretar cada de operación en términos del flujo de un fluido.
Entonces, el propósito de estos artículos es convertir esas interpretaciones del flujo de un fluido en definiciones matemáticas.
"Espera, ¿no acabo de ver la definición de la divergencia y del rotacional? Estas son fórmulas que usamos para calcularlos, ¿cierto?"
Bueno, la divergencia y el rotacional son dos operaciones graciosas en donde la forma en la que están definidas no es la misma en la que se calculan en la práctica. La fórmulas que usamos para los cálculos, es decir, las que se derivan de la notación F y ×F, no son las definiciones formales. Las definiciones formales involucran ciertas integrales que capturan la intuición apropiada del flujo de un fluido.
Desafortunadamente, estas definiciones no son muy prácticas para usar en cálculos verdaderos, así que es más común solo introducir las fórmulas F y ×F. En realidad es bastante afortunado que estas fórmulas relativamente calculables existan.
"Si estas definiciones formales son imprácticas para los cálculos, ¿por qué deberían importarme? Que los matemáticos se preocupen acerca de la teoría subyacente, ¿no?"
Bueno, sí y no. Sí, estas definiciones no serán algo que tengas que memorizar o usar en una aplicación práctica. Sin embargo, en mi opinión, no hay mejor manera de tener un aprendizaje sólido sobre cómo interpretar la divergencia y el rotacional que entender estas definiciones. También sirven como un muy buen principio para aplicar las integrales de línea y de superficie.
Por otra parte, y tal vez más importante, algunos de los grandes temas que vas a aprender pronto en cálculo multivariable incluyen los teoremas de Green y de Stokes, los cuales relacionan las integrales de línea y de superficie. Te lo prometo, será mucho más fácil ver qué están diciendo estos teoremas si tienes un buen entendimiento de cómo se define el rotacional en realidad.
Y lo mismo pasa para la divergencia. El teorema de Green de la divergencia y el teorema de la divergencia en tres dimensiones son otros dos temas grandes que son más fáciles de entender cuando conoces qué significa la divergencia en realidad.
Dicho eso, es posible entender todos estos teoremas sin aprender las definiciones formales de la divergencia y del rotacional, así que puedes ver estos artículos como lecturas opcionales. Pero te estarías haciendo un favor a ti mismo al cargar el peso de la comprensión conceptual aquí.

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