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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5

Lección 3: El teorema de Green (artículos)

Ejemplos del teorema de Green

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El teorema de Green es bonito y toda la cosa, pero aquí vas a aprender acerca de cómo se usa en realidad.

Antecedentes

El teorema de Green

Recordar la fórmula

El teorema de Green se presenta comúnmente como:

$\oint_{C} P d x + Q d y = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

Esto también es parecido a como suelen verse los problemas de práctica y las preguntas de examen. Pero, personalmente, nunca puedo recordarla en esta forma en términos de

P

Q

"¿Era $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍ o $\frac{\partial Q}{\partial y}$ ‍?"

"¿Cuál es el término que se resta?"

Siempre empiezo por pensar en esta forma:

$\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{R} rot 2d F d A$ ‍

Esto se me hace más fácil de recordar porque en realidad tiene un significado físico (ver el artículo anterior para más detalles):

La integral de línea de un campo vectorial $F (x, y)$ ‍ alrededor de una curva cerrada $C$ ‍ mide la rotación de un fluido alrededor de esta frontera $C$ ‍.
La integral doble del rotacional de $F$ ‍ suma todas los pedacitos de la rotación del fluido dentro de la región $R$ ‍ encerrada por $C$ ‍.
De manera intuitiva, tiene sentido que estas deberían estar relacionadas. Y de hecho, son iguales.

Para obtener la versión del teorema en términos de

P Q

, escribe las componentes de

F

como

P (x, y)

Q (x, y)

$\begin{array}{r} F (x, y) = [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \end{array}$ ‍

(Para recordar que

P

es la componente

x

Q

es la componente

y

, piensa acerca del hecho de que

P

viene antes que

Q

en el alfabeto).

Y de aquí, desarrolla cada pedazo de la integral de línea, del rotacional, etc. Después de hacer esto un par de veces, es suficientemente natural hacerlo en tu cabeza.

$\begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d r & = \iint_{R} rot 2d F d A \\ ⇓ \\ \oint_{C} [\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} d x \\ d y \end{array}] & = \iint_{R} rot 2d ([\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}]) d A \\ ⇓ \\ \oint_{C} P d x + Q d y & = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y \end{aligned}$ ‍

Por supuesto, esto requiere recordar cómo calcular el rotacional bidimensional, pero esto de cualquier modo es algo que debe recordarse fuera del contexto del teorema de Green.

Advertencia: el teorema de Green solo se aplica a curvas que están orientadas en sentido contrario a las manecillas del reloj. Si estás integrando en dirección de las manecillas del reloj alrededor de la curva y quieres aplicar el teorema de Green, tienes que invertir el signo de tu resultado en algún momento.

¿Cómo sabes cuándo usar el teorema de Green?

"Las matemáticas no son un deporte de espectador" - George Polya

La mejor manera de tener una idea de su utilidad es simplemente ver unos ejemplos. Haré unos comentarios después de cada ejemplo para ayudarte a extraer la intuición detrás de cada uno.

Ejemplo 1: integral de línea $\to$ ‍ área

Problema: sea

C

que represente un círculo de radio

2

centrado en

(3, - 2)

Si orientas

C

en sentido contrario a las manecillas del reloj, calcula la siguiente integral de línea:

$\oint_{C} 3 y d x + 4 x d y$ ‍

Solución

Paso 1: ¿la curva en cuestión está orientada en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
En sentido de las manecillas del reloj
(Elección B)
En sentido contrario de las manecillas del reloj

Yo sé que puede ser un poco tonto preguntarlo, dado que acaba de ser indicado explícitamente en el problema. Pero es importante recordar que siempre debes preguntarte esto al usar el teorema de Green.

Paso 2: conforme le aplicamos el teorema de Green a esta integral

\oint_{C} 3 y d x + 4 x d y

, ¿qué deberíamos sustituir en lugar de

P (x, y)

y de

Q (x, y)

$P (x, y) =$ ‍
$Q (x, y) =$ ‍

Paso 3: ahora calcula las derivadas parciales apropiadas de

P (x, y)

y de

Q (x, y)

$\frac{\partial Q}{\partial x} =$ ‍
$\frac{\partial P}{\partial y} =$ ‍

Paso 4: Por último, calcula la integral doble del teorema de Green. En este caso,

R

representa la región encerrada por el círculo de radio

2

centrado en

(3, - 2)

. (Pista, no trabajes muy duro en esto).

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A =$ ‍

Empieza por sustituir las expresiones de $\frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍ y $\frac{\partial P}{\partial y}$ ‍ que encontraste en el problema anterior.
$\begin{aligned} \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A & = \iint_{R} (4 - 3) d A \\ = \iint_{R} d A \end{aligned}$ ‍
Antes de que te vuelvas loco describiendo la región $R$ ‍ con los límites apropiados para $x$ ‍ y $y$ ‍, date cuenta de lo que representa esta integral. Como no hay ninguna función adentro, solo está sumando los pedacitos de área de $R$ ‍, ¡así que va a ser igual al área de $R$ ‍!
Como $R$ ‍ es un círculo de radio $2$ ‍, esa área es $π r^{2} = π (2)^{2} = 4 π$ ‍. Por lo tanto nuestra integral de línea se evalúa a $4 π$ ‍.

Comentario del ejemplo 1

¿Por qué la integral de línea en el ejemplo anterior se hizo más sencilla que la integral doble cuando le aplicamos el teorema de Green? Es porque el rotacional de la función relevante era una constante:

$\begin{aligned} rot 2d ([\begin{array}{c} P (x, y) \\ Q (x, y) \end{array}]) & = rot 2d ([\begin{array}{c} 3 y \\ 4 x \end{array}]) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (4 x) - \frac{\partial}{\partial y} (3 y) \\ = 4 - 3 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

De manera más general, si parece que la derivada parcial de

Q

con respecto a

x

es sencilla, o la derivada parcial de

P

con respecto a

y

es sencilla, piensa en el teorema de Green.

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{¿ \frac{\partial}{\partial y} es sencilla?}{\overset{⏞}{P (x, y)}} d x + \overset{¿ \frac{\partial}{\partial x} es sencilla?}{\overset{⏞}{Q (x, y)}} d y \end{array}$ ‍

También fue importante que pudiéramos calcular fácilmente el área de la región en cuestión. Si eso no fuera cierto, la integral doble podría no haber sido más sencilla.

Ejemplo 2: dos gráficas de funciones

Problema

Considera las siguientes dos funciones:

$f (x) = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)$ ‍

$g (x) = 4 - x^{2}$ ‍

Ahora considera la región entre las gráficas de estas funciones.

Sea

D

la frontera orientada en sentido de las manecillas del reloj de esta región. Calcula la siguiente integral de línea:

$\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y$ ‍

Solución

Paso 1: ¿la curva en cuestión está orientada en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
En sentido de las manecillas del reloj
(Elección B)
En sentido contrario de las manecillas del reloj

Como el teorema de Green se aplica a curvas orientadas en sentido contrario a las manecillas del reloj, esto significa que tendremos que tomar el negativo de nuestra respuesta final.

Paso 2: ¿qué debemos sustituir en lugar de

P (x, y)

y de

Q (x, y)

en la integral

\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y

$P (x, y) =$ ‍
$Q (x, y) =$ ‍

Paso 3: ahora calcula las derivadas parciales apropiadas de

P (x, y)

y de

Q (x, y)

$\frac{\partial Q}{\partial x} =$ ‍
$\frac{\partial P}{\partial y} =$ ‍

Pao 4: para aplicar el teorema de Green, vamos a realizar una integral doble sobre la región

D

, la cual fue definida como la región por encima de la gráfica de

y = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)

y por debajo de la gráfica de

y = 4 - x^{2}

. Esta integral doble será algo de la siguiente forma:

$\int_{x_{1}}^{x_{2}} \int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} \dots d y d x$ ‍

Rellena todas esos límites:

$x_{1} =$ ‍
$x_{2} =$ ‍
$y_{1} (x) =$ ‍
$y_{2} (x) =$ ‍

Vamos a empezar con los más fáciles. Los límites para $y$ ‍ están dados explícitamente en el problema: la región está definida encima de la gráfica de $y = (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)$ ‍ y debajo de la gráfica de $y = 4 - x^{2}$ ‍. Esto significa que la integral interior se verá así:
$\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} <bla bla bla> d y$ ‍
La parte más complicada es conocer los límites para $x$ ‍. La definición de nuestra región ni siquiera menciona $x$ ‍. Veamos las gráficas de los límites de $y$ ‍:
Los límites en los valores de $x$ ‍ están determinados por donde se intersecan estas dos gráficas a la izquierda y a la derecha. Con solo mirar la gráfica, probablemente puedas adivinar que se intersecan en $x = - 2$ ‍ y $x = 2$ ‍. También puedes comprobar esto de manera más precisa al sustituir $2$ ‍ y $- 2$ ‍ en cada ecuación.
Si no tuviste la gráfica para verla, y adivinar y revisar, resolverías la ecuación $(x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 4 - x^{2}$ ‍.
Esto significa que la integral doble, como un todo, tendrá la siguiente configuración:
$\int_{- 2}^{2} \int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} \overset{Vamos a poner algo aquí en un momento}{\overset{⏞}{<bla bla bla>}} d y d x$ ‍

Paso 5: por último, para aplicar el teorema de Green, sustituimos el valor apropiado para esta integral. Si nuestra integral de línea original estaba orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, sustituiríamos

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ ‍

Sin embargo, como nuestra curva está orientada en sentido de las manecillas del reloj, tomamos el negativo de esto:

$- (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}$ ‍

Al usar las respuestas de las dos preguntas anteriores y sustituir este valor en la integral doble que estableciste, encuentra la respuesta al problema original de la integral de línea:

$\oint_{D} x^{2} y d x - y^{2} d y =$ ‍

$\begin{aligned} \int_{- 2}^{2} (\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} \underset{Reemplazar con los valores del paso 3}{\underset{⏟}{(\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x})}} d y) d x \\ \int_{- 2}^{2} (\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} \underset{Factoriza de la integral de y}{\underset{⏟}{(x^{2} - 0)}} d y) d x \\ \int_{- 2}^{2} (x^{2} \underset{Simplemente la diferencia de los límites}{\underset{⏟}{\int_{(x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}^{4 - x^{2}} d y}}) d x \\ \int_{- 2}^{2} x^{2} (\underset{Factoriza x^{2} - 4}{\underset{⏟}{(4 - x^{2}) - (x^{2} - 4) (x^{2} - 1)}}) d x \\ \int_{- 2}^{2} x^{2} (x^{2} - 4) \underset{- x^{2}}{\underset{⏟}{(- 1 - (x^{2} - 1))}} d x \\ \int_{- 2}^{2} - x^{4} (x^{2} - 4) d x \\ \int_{- 2}^{2} - (x^{6} - 4 x^{4}) d x \\ \int_{- 2}^{2} 4 x^{4} - x^{6} d x \\ {[4 \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{7}}{7}]}_{x = - 2}^{x = 2} \\ (4 \frac{2^{5}}{5} - \frac{2^{7}}{7}) - (4 \frac{(- 2)^{5}}{5} - \frac{(- 2)^{7}}{7}) \\ (4 \frac{32}{5} - \frac{128}{7}) \underset{Esto solo es sumar la misma cantidad otra vez}{\underset{⏟}{- (4 \frac{- 32}{5} - \frac{- 128}{7})}} \\ 2 (4 \frac{32}{5} - \frac{128}{7}) \\ 2 (\frac{128}{5} - \frac{128}{7}) \\ 256 (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) \\ 256 (\frac{7}{35} - \frac{5}{35}) \\ 256 (\frac{2}{35}) \\ \frac{512}{35} \end{aligned}$ ‍

Comentario del ejemplo 2

Como en el ejemplo 1, parte de la razón por la cual esta integral de línea se hizo más sencilla es que los términos se simplificaron una vez que vimos las derivadas parciales apropiadas.

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{\begin{array}{c} ¿ \frac{\partial}{\partial y} es sencilla? \\ Un poco, sí. \end{array}}{\overset{⏞}{x^{2} y}} d x + \overset{\begin{array}{c} ¿ \frac{\partial}{\partial x} es sencilla? \\ Bastante, sí. \end{array}}{\overset{⏞}{(- y^{2})}} d y \end{array}$ ‍

Además, la región en cuestión se definió con dos curvas separadas. Calcular la integral de línea de manera directa requiere establecer dos integrales de línea separadas para cada curva. Pero la integral doble, de manera muy natural, pasó por toda la región completa en una sola pasada.

Otra cosa que hay que observar es que la integral doble final no fue exactamente sencilla. Todavía tuviste que usar mucho papel durante el cálculo. Pero esto está bien. Todavía podemos sentirnos seguros de que el teorema de Green simplificó las cosas, ya que cada término individual se hizo más fácil, pues evitamos tener que parametrizar nuestras curvas, y lo que hubiera sido dos integrales de línea separadas se hizo una sola integral doble.

Cálculos astutos de área

En los dos ejemplos anteriores, utilizamos el teorema de Green para transformar una integral de línea en una integral doble. Aquí, vamos a hacer lo opuesto. Echa un vistazo a la integral doble del teorema de Green:

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A$ ‍

Recuerda cómo en el ejemplo

1

fuimos suficientemente suertudos para tener la siguiente propiedad:

$(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = 1$ ‍

Esto significa que nuestra integral solo estaba calculando el área de

R

$\iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A \to \iint_{R} d A = Área de R$ ‍

Ahora imagina que no conociéramos el área de

R

, pero quisiéramos calcularla. Una cosa que podrías hacer es encontrar un par de funciones

P (x, y)

Q (x, y)

que satisfacieran esta propiedad de que el rotacional fuera igual a uno:

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ‍,

De acuerdo con el teorema de Green, cualquier par de funciones como este te permite calcular el área de una región al usar la integral de línea:

$\begin{aligned} \oint_{C} P d x + Q d y & = \iint_{R} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d A \\ = \iint_{R} (1) d A \\ = Área de R \end{aligned}$ ‍

¿Eso no se siente raro? ¿Calcular el área de una región al usar una integral de línea alrededor de su frontera? Veamos cómo se ve esto en acción.

Ejemplo 3: área de una concha

Problema

Considera la espiral definida por las siguientes ecuaciones paramétricas en el dominio

0 \leq t \leq 2 π

$\begin{aligned} x (t) & = t \cos (t) \\ y (t) & = t \sin (t) \end{aligned}$ ‍

Ahora agrégale la recta que va de de

(0, 0)

(2 π, 0)

a esta espiral, y considera la región en forma de concha que encierra.

¿Cuál es el área de esa región?

Solución

Paso 1: ¿cómo está orientada la frontera de esta concha?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
En sentido de las manecillas del reloj
(Elección B)
En sentido contrario de las manecillas del reloj

Paso 2: escoge las funciones

P (x, y)

Q (x, y)

apropiadas.

Para aplicar el truco del teorema de Green, primero necesitamos encontrar un par de funciones

P (x, y)

Q (x, y)

que satisfacen la siguiente propiedad:

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ ‍

En realidad hay varios pares de funciones que satisfacen esto.

Verificación de conceptos: ¿cuál de los siguientes pares de funciones satisface esta propiedad?

Elige todas las respuestas adecuadas:
(Elección A)
$\begin{aligned} P (x, y) & = x \\ Q (x, y) & = y \end{aligned}$ ‍
(Elección B)
$\begin{aligned} P (x, y) & = - y \\ Q (x, y) & = 0 \end{aligned}$ ‍
(Elección C)
$\begin{aligned} P (x, y) & = 0 \\ Q (x, y) & = x \end{aligned}$ ‍
(Elección D)
$\begin{aligned} P (x, y) & = - y / 2 \\ Q (x, y) & = x / 2 \end{aligned}$ ‍

Podrías pensar que la segunda o tercera opción de respuesta facilitan las cosas. Curiosamente, sin embargo, la última opción es la que hace que el cálculo de esta integral de línea funcione mejor. Esto significa que hay que resolver la siguiente integral:

$\oint_{C} \underset{P d x}{\underset{⏟}{- \frac{1}{2} y d x}} + \underset{Q d y}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} x d y}}$ ‍

O, escrito de manera más limpia,

$\oint_{C} \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ ‍

¿Por qué esto es más sencillo? En un momento vas a ver cómo las cosas se cancelan, y tiene que ver con incluir

x

y

de manera simétrica en la expresión. Honestamente, no estoy seguro cómo podrías haber visto esto antes de tiempo; es realmente ingenioso.

Paso 3: calcula la integral de línea.

La frontera de nuestra región está definida con dos curvas. Una es la espiral, definida por estas dos ecuaciones en el dominio

0 \leq t \leq 2 π

$\begin{aligned} x (t) & = t \cos (t) \\ y (t) & = t \sin (t) \end{aligned}$ ‍

La otra es la recta entre

(0, 0)

(2 π, 0)

. Observa que esta recta solamente está sobre el eje

x

. Por lo tanto,

y

siempre es

0

d y

también es

0

, ya que no hay cambio en

y

. Así que considera el valor de la integral de línea en este segmento:

$\int \frac{1}{2} (x \underset{0}{\underset{⏟}{d y}} - \underset{0}{\underset{⏟}{y}} d x)$ ‍

Cada parte del integrando es

0

, ¡así que lo podemos ignorar! Por lo tanto, podemos tomar esta integral de línea solo sobre nuestra espiral y obtener la respuesta.

Verificación de conceptos: dado que

x (t) = t \cos (t)

y (t) = t \sin (t)

, ¿qué deberíamos sustituir para

x d y - y d x

en la integral de línea? Trata de resolverlo en papel y simplificar.

$x d y - y d x =$ ‍
$d t$ ‍

$\begin{aligned} \underset{Sustituye las funciones x (t), y (t)}{\underset{⏟}{x d y - y d x}} \\ \underset{Factoriza d t}{\underset{⏟}{x (t) (\frac{d y}{d t} d t) - y (t) (\frac{d x}{d t} d t)}} \\ \underset{Sustituye las definiciones de x (t) y y (t)}{\underset{⏟}{(x (t) \frac{d y}{d t} - y (t) \frac{d x}{d t})}} d t \\ (t \cos (t) \underset{Regla del producto}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} (t \sin (t))}} - t \sin (t) \underset{Regla del producto}{\underset{⏟}{\frac{d}{d t} (t \cos (t))}}) d t \\ (t \cos (t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (- t \sin (t) + \cos (t))) d t \\ (t^{2} \cos^{2} (t) + t \cos (t) \sin (t) + t^{2} \sin^{2} (t) - t \sin (t) \cos (t)) d t \\ (t^{2} \underset{1}{\underset{⏟}{(\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t))}}) d t \\ t^{2} d t \end{aligned}$ ‍

Termina el problema: usa la respuesta anterior para calcular la siguiente integral de línea sobre la espiral, la cual dará el área de la región de la concha, justo como lo deseamos:

$\int_{Espiral} \frac{1}{2} (x d y - y d x) =$ ‍

Resumen

El teorema de Green puede convertir integrales de línea difíciles en integrales dobles más directas.
Para determinar si el teorema de Green simplificará una integral de línea, hazte las siguientes dos preguntas:

$\begin{array}{r} \oint_{C} \overset{¿ \frac{\partial}{\partial y} es sencilla?}{\overset{⏞}{P (x, y)}} d x + \overset{¿ \frac{\partial}{\partial x} es sencilla?}{\overset{⏞}{Q (x, y)}} d y \end{array}$ ‍

Además, considera si la región comprendida por la curva $C$ ‍ será fácil de describir con una integral doble o si tiene un área conocida.
Puedes calcular el área de una región con la siguiente integral de línea alrededor de su frontera orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj:
$\oint_{C} \frac{1}{2} (x d y - y d x)$ ‍

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Antecedentes

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¿Cómo sabes cuándo usar el teorema de Green?

Ejemplo 1: integral de línea →‍ área

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