El teorema de Green relaciona la integral doble del rotacional con una cierta integral de línea. En realidad es muy hermoso.

Más recursos

Puedes encontrar ejemplos de cómo el teorema de Green se utiliza para resolver problemas en el siguiente artículo. Aquí, seguiré lo que me parece una hermosa línea de razonamiento de por qué es verdad. Puedes encontrar una perspectiva diferente en el video de este tema.

Una lección, cuatro veces el beneficio

El teorema de Green es uno de los cuatro teoremas más importantes en la culminación del cálculo multivariable:
  • El teorema de Green.
  • El teorema de la divergencia en 2D.
  • El teorema de Stokes.
  • El teorema de la divergencia en 3D.
Estas son las buenas noticias: los cuatro tienen ideas intuitivas muy parecidas. Así que si realmente llegas al punto donde sientes el teorema de Green en los huesos, ¡ya recorriste la mayor parte del camino hacia la comprensión de los otros tres!

Qué vamos a construir

  • Configuración:
    • start color blueE, F, end color blueE es un campo vectorial en dos dimensiones.
    • start color redE, R, end color redE es cierta región en el plano x, y.
    • start color redE, C, end color redE es la frontera de esa región, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  • El teorema de Green afirma que la integral de línea de start color blueE, F, end color blueE en el límite de start color redE, R, end color redE es igual a la integral doble del rotacional de start color blueE, F, end color blueE en start color redE, R, end color redE:
    Rrot 2dFdA=CFdr\displaystyle \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\textbf{F}\,dA = \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
  • Puedes pensar el lado izquierdo como la suma de todos los pedacitos de rotación en cada punto dentro de una región start color redE, R, end color redE, y el lado derecho como la medida de toda la rotación del fluido alrededor de la frontera start color redE, C, end color redE de start color redE, R, end color redE.
  • A menudo, start color blueE, F, end color blueE se escribe en componentes como sigue:
    F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x, y) = P(x, y)\hat{\textbf{i}} + Q(x, y)\hat{\textbf{j}}
    En términos de P y Q, aquí está cómo se ve el teorema de Green:
    CPdx+Qdy=R(QxPy)dA\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

Rotación de un fluido alrededor de una frontera

Conforme vayas leyendo, la imagen que debes tener en la cabeza es la de una burbuja en un campo vectorial.
  • start color blueE, F, end color blueE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis es la función para el campo vectorial. Y, como probablemente ya te habrás acostumbrando si has leído los otros artículos como este que involucran campos vectoriales, imagina que start color blueE, F, end color blueE representa el flujo de un fluido.
  • start color redE, R, end color redE es alguna región en el plano x, y. En la práctica, y en los problemas, va a ser alguna figura bien definida como un círculo o la frontera entre dos gráficas, pero mientras pensamos de manera abstracta, me gusta dibujarla solo como una burbuja.
  • start color redE, C, end color redE es la frontera de start color redE, R, end color redE, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj. Recuerda esa orientación, porque en realidad importa cuando resuelvas problemas. En sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Lo estás recordando? En sentido contrario a las manecillas del reloj.
Verificación de conceptos: ¿cómo puedes interpretar la siguiente integral de línea en términos del flujo de un fluido?
CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
(Recuerda que en una integral de línea a través de una campo vectorial, el término d, r representa un pequeño paso a lo largo de la curva, como un vector, que en este caso siempre apunta en sentido contrario a las manecillas del reloj).
Escoge 1 respuesta:
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Aquí está una manera de pensar acerca de la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} : imagina remar un bote alrededor de la curva start color redE, C, end color redE, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
En cada punto de tu viaje, el vector d, r da la dirección de tu movimiento. El producto punto start color blueE, F, end color blueE, dot, d, r será positivo en los puntos en donde el flujo del fluido vaya en tu misma dirección, y negativo en los puntos en donde vaya en dirección contraria a la tuya.
En total, la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} suma todos estos productos punto para decirte si en general el flujo fue a favor o en contra.
Así que esta integral de línea es positiva cuando el flujo del fluido tiene una tendencia general de moverse en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la frontera start color redE, C, end color redE (lo que significa que en general fue a favor), y será negativa si tiene una tendencia de moverse en sentido de las manecillas del reloj (en general fue en contra).

Traer la frontera al interior

El teorema de Green trata acerca de tomar esta idea de la rotación del fluido alrededor de la frontera de start color redE, R, end color redE y relacionarlo con lo que pasa dentro de start color redE, R, end color redE. De manera conceptual, esto va a involucrar cortar start color redE, R, end color redE en muchos pedazos pequeños. En fórmulas, el resultado final será tomar la integral doble de r, o, t, space, 2, d, space, start color blueE, F, end color blueE.

Corta la región

Imagina cortar la región start color redE, R, end color redE con una línea recta justo a la mitad, lo que da dos subregiones start color redE, R, start subscript, 1, end subscript, end color redE y start color redE, R, start subscript, 2, end subscript, end color redE:
Nombra las fronteras de estas dos regiones start color greenE, C, start subscript, 1, end subscript, end color greenE y start color goldE, C, start subscript, 2, end subscript, end color goldE. ¿Qué pasa si tomamos la integral de línea de start color blueE, F, end color blueE alrededor de estas dos fronteras y las sumamos?
C1Fdr+C2Fdr\displaystyle \oint_\greenE{C_1} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\goldE{C_2} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}
Observa que estas integrales de línea se van a cancelar a lo largo del corte vertical que hiciste. Es decir, la integral alrededor de start color greenE, C, start subscript, 1, end subscript, end color greenE va "hacia arriba" de esta recta mientras que la integral alrededor de start color goldE, C, start subscript, 2, end subscript, end color goldE integra "hacia abajo" de esta recta. (Recuerda que cuando realizas una integral de línea en un campo vectorial, cambiar la dirección a lo largo de una curva multiplica tu resultado por minus, 1).
Esto significa que la suma de nuestras dos integrales es lo mismo que solo ir alrededor de la frontera completa start color redE, C, end color redE.
C1Fdr+C2Fdr=CFdr\displaystyle \oint_\greenE{C_1} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\goldE{C_2} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} = \oint_\redE{C} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}

Vuelve a cortarla

Puedes hacer esto una vez más, tal vez con un corte horizontal en esta ocasión:
Si integras alrededor de las fronteras de las subregiones resultantes, las integrales se cancelan a lo largo de los cortes que hiciste en el interior de start color redE, R, end color redE:
En una fórmula, esto significa que la suma de las integrales de línea alrededor de las cuatro subregiones acaban por ser iguales que la integral de línea alrededor de toda la región:
C1Fdr+C2Fdr+C3Fdr+C4Fdr=CFdr\displaystyle \oint_\redE{C_1} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\redE{C_2} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\redE{C_3} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\redE{C_4} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} = \oint_\redE{C} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}
Debo enfatizar que esto solo funciona si nos aseguramos de que todas las fronteras estén orientadas en la misma dirección. De lo contrario, podrían no cancelarse entre sí a lo largo de los cortes. Es común pensar que la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj es la dirección positiva, así piensa que todo está orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Córtala muchas, muchas veces

Quizá puedas ver a dónde voy con todo esto. Imagina cortar la región start color redE, R, end color redE en muchos pedacitos pequeñitos, . Orienta todas sus fronteras en sentido contrario a las manecillas del reloj e integra la función start color blueE, F, end color blueE sobre cada una.
Las integrales se van a cancelar a lo largo de todos los cortes dentro de start color redE, R, end color redE. Esto es porque para cualquier corte, una de las integrales va a ir en una dirección mientras que otra va en la otra dirección. Al final, las únicas partes en donde estas integrales no se cancelan, son las de la frontera de start color redE, C, end color redE.
Esto significa que sumar integrales de línea a lo largo de las fronteras de los pedazos va a dar el mismo resultado que solo integrar en toda la región:
k=1n(CkFdr)=CFdr\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} \right) = \oint_\redE{C} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}

Integrar el rotacional

Entonces... ¿por qué estoy haciendo esto? Es porque hay otra manera de interpretar cada una de estas integrales de línea alrededor de un pedazo pequeñito al usar el rotacional bidimensional. Escoge uno de esos pedazos y acércate a él.
  • Sea start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE el pedazo que escogiste, con frontera start color redE, C, start subscript, k, end subscript, end color redE.
  • Sea vertical bar, start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, vertical bar que represente el área de start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, que la estamos pensando como que es un número muy pequeño.
  • Sea start color goldE, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color goldE algún punto que esté dentro de este pedazo, cualquier punto en realidad.
La rotación del fluido alrededor de este pedazo debida a start color blueE, F, end color blueE se puede medir con la integral de línea CkFdr\displaystyle \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}. Piensa en un barquito de remos. Pero como en realidad este es un pedazo muy pequeño, hay otro concepto de cálculo multivariable que mide la rotación del fluido: el rotacional.
Esta integral de línea se puede aproximar al tomar el r, o, t, space, 2, d de start color blueE, F, end color blueE en cualquier punto dentro de start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE y multiplicarlo por el área (pequeñita) vertical bar, start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, vertical bar:
Además, y esto es importante, mientras más pequeña sea start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, mejor es esta aproximación.
Para aquellos de ustedes que leyeron el artículo sobre la definición formal del rotacional en dos dimensiones, esta aproximación puede ser familiar. De hecho, es muy parecida a la definición formal del propio rotacional, en donde te imaginas encoger una región alrededor de un punto:
2d-curlF(x,y)=limR(x,y)0(1R(x,y)C(x,y)Fdr)\displaystyle \text{2d-curl}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \lim_{|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}| \to 0} \left( \dfrac{1}{|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}|} \oint_\redD{C_{\goldE{(x, y)}}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right)
Aquí, estoy usando start color redE, R, end color redE, start subscript, start color goldE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color goldE, end subscript para representar cualquier región que contenga al punto start color goldE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color goldE.
El significado de este límite conforme R(x,y)0|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}| \to 0 es que mientras más pequeña sea el área de la región, más cercana será la siguiente aproximación:
2d-curlF(x,y)1R(x,y)C(x,y)Fdr\displaystyle \text{2d-curl}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} \approx \dfrac{1}{|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}|} \oint_\redD{C_{\goldE{(x, y)}}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
Esto es esencialmente lo que dice la aproximación escrita arriba, excepto que en vez de empezar con un punto start color goldE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color goldE y considerar una región start color redE, R, end color redE, start subscript, start color goldE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color goldE, end subscript alrededor de ese punto, empecé con una región pequeñita start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE y tomé algún punto start color goldE, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color goldE dentro de ella:
Ahora solo multiplica ambos lados por vertical bar, start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, vertical bar, y obtienes la aproximación que dije originalmente:
Por otra parte, si realmente quieres entender bien los detalles técnicos aquí, puedes hacer la siguiente observación: empezamos con una cierta aproximación, cuyo error se va a cero para pedazos más pequeños. Como nuestra aproximación final vino de multiplicar ambos lados por el área vertical bar, start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, vertical bar, su error no solo se va a cero, sino que debe permanecer significativamente menor que vertical bar, start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE, vertical bar a medida que lo hace. Está bien si quieres ignorar este hecho, pero se vuelve importante para un detalle técnico más adelante.
Al sumar estas aproximaciones sobre todos los pedazos pequeños start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE obtenemos:
Al tomar la conclusión de la sección anterior, el lado izquierdo de arriba es lo mismo que una sola integral de línea alrededor de toda la frontera de start color redE, R, end color redE, así que podemos reescribir esta aproximación como sigue:
Ahora echa un vistazo más de cerca a la suma del lado derecho.
  • Incluye una función escalar, r, o, t, space, 2, d, space, start color blueE, F, end color blueE
  • La suma se toma sobre muchos pedacitos pequeños start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE de una región bidimensional, start color redE, R, end color redE.
  • Para cada pedazo dentro de la suma, la función se evalúa en un punto dentro de ese pedazo y después se multiplica por su área.
¿Te suena familiar? ¡Esta es la receta para una integral doble! (Si no te suena familiar, considera darle un vistazo a este artículo acerca de integrales dobles).
En particular, si imaginas que cortas la región start color redE, R, end color redE más y más finamente, puedes reemplazar la suma de arriba con una integral doble de r, o, t, space, 2, d, space, start color blueE, F, end color blueE sobre start color redE, R, end color redE:
Poniendo todo junto, aquí está lo que tenemos:
Esto en realidad es más que una mera aproximación, la integral de línea alrededor de la frontera equivale a la integral doble del rotacional bidimensional:
CFdr=Rrot 2dFdA\large \displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}
Bueno, hay algunos aspectos técnicos que debo mencionar par aquellos de ustedes orientados al detalle. ¿Recuerdas el paso de sumar todas las aproximaciones individuales de la integral de línea al rotacional? Esto es lo que nos dio usar esta aproximación:
Hasta donde sabemos, sin investigar más, los errores de cada una de estas aproximaciones se suman para ser algo sustancial. Esto podría significar que cuando cortamos start color redE, R, end color redE más y más finamente, y la suma se hace más y más grande, la acumulación de errores se sale de control, a pesar de que el error individual por cada pedazo tienda a 0.
Afrotunadamente, esto no ocurre. Para aquellos de ustedes que leyeron el final de la nota técnica anterior que justifica la aproximación original al usar la definición formal del rotacional, ¿se acuerdan qué dije al final? El error de esa aproximación es significativamente menor que el área de start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE. Como la suma de las áreas de cada pedazo start color redE, R, start subscript, k, end subscript, end color redE es el área de toda la región start color redE, R, end color redE, una constante, esto significa que la suma de los términos del error será significativamente menor que esa constante. Eso quiere decir que serán significativamente menores, punto.
Esto significa que la aproximación general en verdad tiende a la igualdad cuando pasamos a la integral doble, así que podemos sentirnos justificados al escribir esta ecuación:
CFdr=R2d-curlFdA\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{2d-curl}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}
Este hecho maravillosos se llama el teorema de Green. Cuando lo ves, puedes leerlo al decir que la rotación de un fluido alrededor de toda la frontera de una región (el lado izquierdo) es lo mismo que ver a todos los pequeños "pedacitos de rotación" dentro de la región y sumarlos (el lado derecho).

Notación alternativa

Es muy común ver el teorema de Green escrito así:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
Esto solo abre el producto punto del lado izquierdo de la integral de línea y también el rotacional del lado derecho de la integral doble. Por la razón que sea, es común usar las letras P y Q para denotar las componentes de la función vectorial start color blueE, F, end color blueE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^=[P(x,y)Q(x,y)]\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x, y) = P(x, y)\hat{\textbf{i}} + Q(x, y)\hat{\textbf{j}} = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
  • En la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}, el término diferencial d, r es un vector que representa un paso pequeño a lo largo de la curva start color redE, C, end color redE. Puedes separarlo como la componente x de ese paso, d, x, y la componente y, d, y:
    dr=[dxdy]\displaystyle d\textbf{r} = \left[ \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right]
    Esto significa que el producto punto dentro de la integral se desarrolla como sigue:
    CFdr=C[PQ][dxdy]=CPdx+Qdy\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \oint_\redE{C} \left[ \begin{array}{c} P \\ Q \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right] = \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy
  • La fórmula para el r, o, t, space, 2, d, space, start color blueE, F, end color blueE es como sigue:
    rot 2d([P(x,y)Q(x,y)])=QxPy\displaystyle \text{rot 2d} \left( \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \right) = \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}
    Un truco de memoria para esto es pensar acerca del siguiente determinante:
    det([xyP(x,y)Q(x,y)])\displaystyle \text{det} \left( \left[ \begin{array}{cc} \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ P(x, y) & Q(x, y) \end{array} \right] \right)
    Si estás fuera de práctica en esto, o quieres ver un poco de intuición sobre por qué esta fórmula se relaciona con la rotación de un fluido, ve este artículo sobre el rotacional bidimensional.
En el siguiente arículo vas a encontrar ejemplos de cómo se puede usar esta fórmula para hacer que las integrales de línea o las integrales dobles sean más sencillas.

Resumen

  • Puedes pensar acerca de la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} como que mide la rotación del flujo de un fluido representado por el campo vectorial start color blueE, F, end color blueE, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis alrededor de la curva start color redE, C, end color redE. Es una convención pensar que la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj es positiva, en cuyo caso start color redE, C, end color redE debe estar orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  • Imagina cortar la región bidimensional start color redE, R, end color redE encerrada por start color redE, C, end color redE en muchos pedazos pequeñitos. Llama las fronteras de estos pedazos y oriéntalos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Después, sumar las integrales de línea de start color blueE, F, end color blueE alrededor de la frontera start color redE, C, start subscript, k, end subscript, end color redE de cada pedazo se resume en lo mismo que la integral de línea alrededor de toda la frontera start color redE, C, end color redE.
    k=1n(CkFdr)=CFdr\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) = \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
    Esto quiere decir que las integrales de línea pequeñas se cancelan a lo largo de los cortes dentro de start color redE, R, end color redE.
  • A medida que consideras pedazos más y más pequeños, la integral de línea alrededor de cada pedazo se puede aproximar usando el rotacional bidimensional:
    • Al sumar estos pequeños "pedazos de rotacional", usar una integral doble sobre start color redE, R, end color redE y aplicar el hecho de que la suma de las integrales de línea se cancelan a lo largo de los cortes interiores, obtienes el teorema de Green:
    CFdr=Rrot 2dFdA\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}