El teorema de Green relaciona la integral doble del rotacional con una cierta integral de línea. En realidad es muy hermoso.

Más recursos

Puedes encontrar ejemplos de cómo el teorema de Green se utiliza para resolver problemas en el siguiente artículo. Aquí, seguiré lo que me parece una hermosa línea de razonamiento de por qué es verdad. Puedes encontrar una perspectiva diferente en el video de este tema.

Una lección, cuatro veces el beneficio

El teorema de Green es uno de los cuatro teoremas más importantes en la culminación del cálculo multivariable:
  • El teorema de Green.
  • El teorema de la divergencia en 2D.
  • El teorema de Stokes.
  • El teorema de la divergencia en 3D.
Estas son las buenas noticias: los cuatro tienen ideas intuitivas muy parecidas. Así que si realmente llegas al punto donde sientes el teorema de Green en los huesos, ¡ya recorriste la mayor parte del camino hacia la comprensión de los otros tres!

Qué vamos a construir

  • Configuración:
    • F\blueE{\textbf{F}} es un campo vectorial en dos dimensiones.
    • R\redE{R} es cierta región en el plano xyxy.
    • C\redE{C} es la frontera de esa región, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  • El teorema de Green afirma que la integral de línea de F\blueE{\textbf{F}} en el límite de R\redE{R} es igual a la integral doble del rotacional de F\blueE{\textbf{F}} en R\redE{R}:
    Rrot 2dFdA=CFdr\displaystyle \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\textbf{F}\,dA = \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
  • Puedes pensar el lado izquierdo como la suma de todos los pedacitos de rotación en cada punto dentro de una región R\redE{R}, y el lado derecho como la medida de toda la rotación del fluido alrededor de la frontera C\redE{C} de R\redE{R}.
  • A menudo, F\blueE{\textbf{F}} se escribe en componentes como sigue:
    F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x, y) = P(x, y)\hat{\textbf{i}} + Q(x, y)\hat{\textbf{j}}
    En términos de PP y QQ, aquí está cómo se ve el teorema de Green:
    CPdx+Qdy=R(QxPy)dA\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA

Rotación de un fluido alrededor de una frontera

Conforme vayas leyendo, la imagen que debes tener en la cabeza es la de una burbuja en un campo vectorial.
  • F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) es la función para el campo vectorial. Y, como probablemente ya te habrás acostumbrando si has leído los otros artículos como este que involucran campos vectoriales, imagina que F\blueE{\textbf{F}} representa el flujo de un fluido.
  • R\redE{R} es alguna región en el plano xyxy. En la práctica, y en los problemas, va a ser alguna figura bien definida como un círculo o la frontera entre dos gráficas, pero mientras pensamos de manera abstracta, me gusta dibujarla solo como una burbuja.
  • C\redE{C} es la frontera de R\redE{R}, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj. Recuerda esa orientación, porque en realidad importa cuando resuelvas problemas. En sentido contrario a las manecillas del reloj. ¿Lo estás recordando? En sentido contrario a las manecillas del reloj.
Verificación de conceptos: ¿cómo puedes interpretar la siguiente integral de línea en términos del flujo de un fluido?
CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
(Recuerda que en una integral de línea a través de una campo vectorial, el término drd\textbf{r} representa un pequeño paso a lo largo de la curva, como un vector, que en este caso siempre apunta en sentido contrario a las manecillas del reloj).
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
Aquí está una manera de pensar acerca de la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} : imagina remar un bote alrededor de la curva C\redE{C}, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
En cada punto de tu viaje, el vector drd\textbf{r} da la dirección de tu movimiento. El producto punto Fdr\blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} será positivo en los puntos donde el fluido fluye contigo y negativo en los puntos donde fluye en tu contra.
En total, la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} suma todos estos productos punto para decirte si en general el flujo fue a favor o en contra.
Así que esta integral de línea es positiva cuando el flujo del fluido tiene una tendencia general de moverse en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de la frontera C\redE{C} (lo que significa que en general fue a favor), y será negativa si tiene una tendencia de moverse en sentido de las manecillas del reloj (en general fue en contra).

Traer la frontera al interior

El teorema de Green trata acerca de tomar esta idea de la rotación del fluido alrededor de la frontera de R\redE{R} y relacionarlo con lo que pasa dentro de R\redE{R}. De manera conceptual, esto va a involucrar cortar R\redE{R} en muchos pedazos pequeños. En fórmulas, el resultado final será tomar la integral doble de rot 2dF\text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}.

Corta la región

Imagina cortar la región R\redE{R} con una línea recta justo a la mitad, lo que da dos subregiones R1\redE{R_1} y R2\redE{R_2}:
Nombra las fronteras de estas dos regiones C1\greenE{C_1} y C2\goldE{C_2}. ¿Qué pasa si tomamos la integral de línea de F\blueE{\textbf{F}} alrededor de estas dos fronteras y las sumamos?
C1Fdr+C2Fdr\displaystyle \oint_\greenE{C_1} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\goldE{C_2} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}
Observa que estas integrales de línea se van a cancelar a lo largo del corte vertical que hiciste. Es decir, la integral alrededor de C1\greenE{C_1} va "hacia arriba" de esta recta mientras que la integral alrededor de C2\goldE{C_2} integra "hacia abajo" de esta recta. (Recuerda que cuando realizas una integral de línea en un campo vectorial, cambiar la dirección a lo largo de una curva multiplica tu resultado por 1-1).
Esto significa que la suma de nuestras dos integrales es lo mismo que solo ir alrededor de la frontera completa C\redE{C}.
C1Fdr+C2Fdr=CFdr\displaystyle \oint_\greenE{C_1} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\goldE{C_2} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} = \oint_\redE{C} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}

Vuelve a cortarla

Puedes hacer esto una vez más, tal vez con un corte horizontal en esta ocasión:
Si integras alrededor de las fronteras de las subregiones resultantes, las integrales se cancelan a lo largo de los cortes que hiciste en el interior de R\redE{R}:
En una fórmula, esto significa que la suma de las integrales de línea alrededor de las cuatro subregiones acaban por ser iguales que la integral de línea alrededor de toda la región:
C1Fdr+C2Fdr+C3Fdr+C4Fdr=CFdr\displaystyle \oint_\redE{C_1} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\redE{C_2} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\redE{C_3} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} + \oint_\redE{C_4} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} = \oint_\redE{C} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}
Debo enfatizar que esto solo funciona si nos aseguramos de que todas las fronteras C1,,C4\redE{C_1}, \dots, \redE{C_4} estén orientadas en la misma dirección. De lo contrario, podrían no cancelarse entre sí a lo largo de los cortes. Es común pensar que la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj es la dirección positiva, así piensa que todo está orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Córtala muchas, muchas veces

Quizá puedas ver a dónde voy con todo esto. Imagina cortar la región R\redE{R} en muchos pedacitos pequeñitos, R1,,Rn\redE{R_1}, \dots, \redE{R_n}. Orienta todas sus fronteras C1,,Cn\redE{C_1}, \dots, \redE{C_n} en sentido contrario a las manecillas del reloj e integra la función F\blueE{\textbf{F}} sobre cada una.
Las integrales se van a cancelar a lo largo de todos los cortes dentro de R\redE{R}. Esto es porque para cualquier corte, una de las integrales va a ir en una dirección mientras que otra va en la otra dirección. Al final, las únicas partes en donde estas integrales no se cancelan, son las de la frontera de C\redE{C}.
Esto significa que sumar integrales de línea a lo largo de las fronteras de los pedazos va a dar el mismo resultado que solo integrar en toda la región:
k=1n(CkFdr)=CFdr\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{F} \cdot d\textbf{r} \right) = \oint_\redE{C} \blueE{F} \cdot d\textbf{r}

Integrar el rotacional

Entonces... ¿por qué estoy haciendo esto? Es porque hay otra manera de interpretar cada una de estas integrales de línea alrededor de un pedazo pequeñito al usar el rotacional bidimensional. Escoge uno de esos pedazos y acércate a él.
  • Sea Rk\redE{R_k} el pedazo que escogiste, con frontera Ck\redE{C_k}.
  • Sea Rk|\redE{R_k}| que represente el área de Rk\redE{R_k}, que la estamos pensando como que es un número muy pequeño.
  • Sea (xk,yk)\goldE{(x_k, y_k)} algún punto que esté dentro de este pedazo, cualquier punto en realidad.
La rotación del fluido alrededor de este pedazo debida a F\blueE{\textbf{F}} se puede medir con la integral de línea CkFdr\displaystyle \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}. Piensa en un barquito de remos. Pero como en realidad este es un pedazo muy pequeño, hay otro concepto de cálculo multivariable que mide la rotación del fluido: el rotacional.
Esta integral de línea se puede aproximar al tomar el rot 2d\text{rot 2d} de F\blueE{\textbf{F}} en cualquier punto dentro de Rk\redE{R_k} y multiplicarlo por el área (pequeñita) Rk|\redE{R_k}|:
Además, y esto es importante, mientras más pequeña sea Rk\redE{R_k}, mejor es esta aproximación.
Para aquellos de ustedes que leyeron el artículo sobre la definición formal del rotacional en dos dimensiones, esta aproximación puede ser familiar. De hecho, es muy parecida a la definición formal del propio rotacional, en donde te imaginas encoger una región alrededor de un punto:
rot 2dF(x,y)=limR(x,y)0(1R(x,y)C(x,y)Fdr)\displaystyle \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \lim_{|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}| \to 0} \left( \dfrac{1}{|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}|} \oint_\redD{C_{\goldE{(x, y)}}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right)
Aquí, estoy usando R(x,y)\redE{R}_\goldE{(x, y)} para representar cualquier región que contenga al punto (x,y)\goldE{(x, y)}.
El significado del límite conforme R(x,y)0|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}| \to 0 es que mientras más pequeña sea el área de la región, más cercana será la siguiente aproximación:
rot 2dF(x,y)1R(x,y)C(x,y)Fdr\displaystyle \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} \approx \dfrac{1}{|\redE{R}_{\goldE{(x, y)}}|} \oint_\redD{C_{\goldE{(x, y)}}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
Esto es esencialmente lo que dice la aproximación escrita arriba, excepto que en vez de empezar con un punto (x,y)\goldE{(x, y)} y considerar una región R(x,y)\redE{R}_{\goldE{(x, y)}} alrededor de ese punto, empecé con una región pequeñita Rk\redE{R_k} y tomé algún punto (xk,yk)\goldE{(x_k, y_k)} dentro de ella:
Ahora solo multiplica ambos lados por Rk|\redE{R_k}|, y obtienes la aproximación que dije originalmente:
Por otra parte, si realmente quieres entender bien los detalles técnicos aquí, puedes hacer la siguiente observación: empezamos con una cierta aproximación, cuyo error se va a cero para pedazos más pequeños. Como nuestra aproximación final vino de multiplicar ambos lados por el área Rk|\redE{R_k}|, su error no solo se va a cero, sino que debe permanecer significativamente menor que Rk|\redE{R_k}| a medida que lo hace. Está bien si quieres ignorar este hecho, pero se vuelve importante para un detalle técnico más adelante.
Al sumar estas aproximaciones sobre todos los pedazos pequeños Rk\redE{R_k} obtenemos:
k=1n(CkFdr)k=1n(rot 2dF(xk,yk)Punto en RkRk)\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Punto en $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right)
Al tomar la conclusión de la sección anterior, el lado izquierdo de arriba es lo mismo que una sola integral de línea alrededor de toda la frontera de R\redE{R}, así que podemos reescribir esta aproximación como sigue:
CFdrk=1n(rot 2dF(xk,yk)Punto en RkRk)\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Punto en $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right)
Ahora echa un vistazo más de cerca a la suma del lado derecho.
  • Incluye una función escalar, rot 2dF\text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}
  • La suma se toma sobre muchos pedacitos pequeños Rk\redE{R_k} de una región bidimensional, R\redE{R}.
  • Para cada pedazo dentro de la suma, la función se evalúa en un punto dentro de ese pedazo y después se multiplica por su área.
¿Te suena familiar? ¡Esta es la receta para una integral doble! (Si no te suena familiar, considera darle un vistazo a este artículo acerca de integrales dobles).
En particular, si imaginas que cortas la región R\redE{R} más y más finamente, puedes reemplazar la suma de arriba con una integral doble de rot 2dF\text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} sobre R\redE{R}:
k=1n(rot 2dF(xk,yk)Punto en RkRk)Rrot 2dFdA\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Punto en $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right) \rightarrow \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}
Poniendo todo junto, aquí está lo que tenemos:
CFdr=k=1n(CkFdr)k=1n(rot 2dF(xk,yk)Punto en RkRk)Rrot 2dFdA\begin{aligned} \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} &= \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \\\\ &\approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Punto en $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right) \\\\ &\to \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} \end{aligned}
Esto en realidad es más que una mera aproximación, la integral de línea alrededor de la frontera equivale a la integral doble del rotacional bidimensional:
CFdr=Rrot 2dFdA\large \displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}
Bueno, hay algunos aspectos técnicos que debo mencionar par aquellos de ustedes orientados al detalle. ¿Recuerdas el paso de sumar todas las aproximaciones individuales de la integral de línea al rotacional? Esto es lo que nos dio usar esta aproximación:
k=1n(CkFdr)k=1n(rot 2dF(xk,yk)Punto en RkRk)\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Punto en $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right)
Hasta donde sabemos, sin investigar más, los errores de cada una de estas aproximaciones se suman para ser algo sustancial. Esto podría significar que cuando cortamos R\redE{R} más y más finamente, y la suma se hace más y más grande, la acumulación de errores se sale de control, a pesar de que el error individual por cada pedazo tienda a 00.
Afrotunadamente, esto no ocurre. Para aquellos de ustedes que leyeron el final de la nota técnica anterior que justifica la aproximación original al usar la definición formal del rotacional, ¿se acuerdan qué dije al final? El error de esa aproximación es significativamente menor que el área de Rk\redE{R_k}. Como la suma de las áreas de cada pedazo Rk\redE{R_k} es el área de toda la región R\redE{R}, una constante, esto significa que la suma de los términos del error será significativamente menor que esa constante. Eso quiere decir que serán significativamente menores, punto.
Esto significa que la aproximación general en verdad tiende a la igualdad cuando pasamos a la integral doble, así que podemos sentirnos justificados al escribir esta ecuación:
CFdr=Rrot 2dFdA\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}
Este hecho maravillosos se llama el teorema de Green. Cuando lo ves, puedes leerlo al decir que la rotación de un fluido alrededor de toda la frontera de una región (el lado izquierdo) es lo mismo que ver a todos los pequeños "pedacitos de rotación" dentro de la región y sumarlos (el lado derecho).

Notación alternativa

Es muy común ver el teorema de Green escrito así:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA\displaystyle \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
Esto solo abre el producto punto del lado izquierdo de la integral de línea y también el rotacional del lado derecho de la integral doble. Por la razón que sea, es común usar las letras PP y QQ para denotar las componentes de la función vectorial F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y):
F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^=[P(x,y)Q(x,y)]\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x, y) = P(x, y)\hat{\textbf{i}} + Q(x, y)\hat{\textbf{j}} = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
  • En la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}, el término diferencial drd\textbf{r} es un vector que representa un paso pequeño a lo largo de la curva C\redE{C}. Puedes separarlo como la componente xx de ese paso, dxdx, y la componente yy, dydy:
    dr=[dxdy]\displaystyle d\textbf{r} = \left[ \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right]
    Esto significa que el producto punto dentro de la integral se desarrolla como sigue:
    CFdr=C[PQ][dxdy]=CPdx+Qdy\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \oint_\redE{C} \left[ \begin{array}{c} P \\ Q \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right] = \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy
  • La fórmula para el rot 2dF\text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} es como sigue:
    rot 2d([P(x,y)Q(x,y)])=QxPy\displaystyle \text{rot 2d} \left( \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \right) = \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}
    Un truco de memoria para esto es pensar acerca del siguiente determinante:
    det([xyP(x,y)Q(x,y)])\displaystyle \text{det} \left( \left[ \begin{array}{cc} \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ P(x, y) & Q(x, y) \end{array} \right] \right)
    Si estás oxidado con esto, o deseas obtener un poco de intuición de por qué esta fórmula se relaciona con la rotación de un fluido, revisa este artículo sobre el rotacional bidimensional.
En el siguiente arículo vas a encontrar ejemplos de cómo se puede usar esta fórmula para hacer que las integrales de línea o las integrales dobles sean más sencillas.

Resumen

  • Puedes pensar acerca de la integral de línea CFdr\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} como que mide la rotación del flujo de un fluido representado por el campo vectorial F(x,y)\blueE{\textbf{F}}(x, y) alrededor de la curva C\redE{C}. Es una convención pensar que la rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj es positiva, en cuyo caso C\redE{C} debe estar orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  • Imagina cortar la región bidimensional R\redE{R} encerrada por C\redE{C} en muchos pedazos pequeñitos. Llama las fronteras de estos pedazos C1,,Cn\redE{C_1}, \dots, \redE{C_n} y oriéntalos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Después, sumar las integrales de línea de F\blueE{\textbf{F}} alrededor de la frontera Ck\redE{C_k} de cada pedazo se resume en lo mismo que la integral de línea alrededor de toda la frontera C\redE{C}.
    k=1n(CkFdr)=CFdr\displaystyle \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) = \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
    Esto quiere decir que las integrales de línea pequeñas se cancelan a lo largo de los cortes dentro de R\redE{R}.
  • A medida que consideras pedazos más y más pequeños, la integral de línea alrededor de cada pedazo se puede aproximar usando el rotacional bidimensional:
  • Al sumar estos pequeños "pedazos de rotacional", usar una integral doble sobre R\redE{R} y aplicar el hecho de que la suma de las integrales de línea se cancelan a lo largo de los cortes interiores, obtienes el teorema de Green:
CFdr=Rrot 2dFdA\displaystyle \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA}
Cargando