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Contenido principal
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Transcripción del video

supongamos que tenemos una trayectoria cerrada en el plano xy este de aquí es el eje y el de acá es el eje x y la trayectoria se ve más o menos así lo que estoy intentando hacer es dibujar una trayectoria más o menos arbitraria ahora supongamos que vamos a empezar a recorrerla en el sentido antihorario así entonces caminamos sobre la trayectoria en esta dirección vamos a ponerle un nombre vamos a llamarle c supongamos que también tenemos un campo vectorial y nuestro campo vectorial le llamaremos p de equis y lo único que va a tener este campo vectorial son vectores múltiplos de y el primer vector canónico es decir va a ser del estilo p de xy multiplicada por el vector unitario y no tiene nada que ver con la componente j entonces para visualizarlo voy a dibujar unas flechas por acá y todos estos vectores son horizontales son puros múltiplos del vector y entonces pueden ir hacia la izquierda o hacia la derecha pero no van hacia arriba y hacia abajo ni en diagonal voy a dibujar unos cuantos más a ver le voy a poner como 'las entonces este campo vectorial se ve más o menos así lo que quiero encontrar es la integral de línea cerrada sobre la trayectoria sobre la trayectoria c qué cosas de dp punto de r esta es la forma estándar de plantear una integral de línea ya habíamos hablado de que significa leer leer es igual a de x por y más de y por j a lo mejor aquí digas pero más bien era de x / de t por de t a ver déjame escribir esto por aquí para para ver la forma alternativa o sea de r es igual a b x / de t por de t por i + d / de t por de t por jota ahora podría ser así pero nos conviene más la primera forma porque con un poco de suerte nos evitaremos considerar el parámetro t que es un tercer parámetro que parece estar de más sale entonces lo vamos a ver con dx y con de ella entonces vámonos vámonos para acá otra vez y lo que queremos hacer es reescribir esta integral como la integral de línea sobre c saber lo voy a hacer para acá para tener un poco más de espacio la integral de línea sobre la curva c o bien la trayectoria c punto de r es decir hay que multiplicar los coeficientes de esta cosa de aquí entonces lo único que vamos a obtener son vectores con y por qué con j el producto punto nos va a dar 0 luego a poner aquí pd xy v x más y como te decía y punto j es igual a 0 entonces no va a aparecer la de ella por ningún lado entonces la integral queda simplificada como esta expresión de acá entonces a ver estas dos integrales de acá son las integrales alrededor de esta trayectoria ahora lo que les conté al principio es que si tenemos suerte no vamos a tener que lidiar con la tercera variable t tal vez podamos resolver esta integral sólo en términos de x vamos a ver si podemos hacer esto comenzamos viendo los valores mínimos que están por aquí vamos a llamarle a y máximo que queda por acá de x vamos a ponerle b entonces lo que podemos hacer es quebrar esta curva en dos funciones de x porque funciones de x porque esta de aquí abajo vamos a ponerle uno de equis estar acá es simplemente una curva estándar así como de las de cálculo de al principio y la podemos pensar como una función de x y luego de ahí tenemos la de acá arriba vamos a ponerle 2 de x sale entonces vamos a ponerlo así podemos imaginarnos que hay un camino una trayectoria aquí abajo definida por uno de equis déjame ponerlo con color rosa mexicano entonces lo voy a poner aquí y uno de x que va desde x igualada hasta x igual a b y luego hay un segundo camino una segunda trayectoria que se mueve conforme x se va bebé a ah entonces recorre por aquí y esa es la segunda curva entonces lo que podemos hacer es reescribir esta integral que es la misma que la original como a iba como igual a la integral sobre este primer camino es decir cuando aquí se mueve de ave de p de x y pues podría poner px pero ahora ya sabemos que sobre esta trayectoria y es una función de x entonces vamos a ponerle ya 1 b x siempre que veamos una llevamos a cambiarla por uno de ellos y aquí hay que integrar de equis ahora eso de ahí cubre la primera parte de la curva entonces esto que estoy marcando con los a mexicanos vamos a llamarle c1 que es la primer mitad de nuestra curva pero aún nos falta la segunda mitad verdad entonces vamos a reescribir lo de la segunda mitad al lado derecho es decir ahora que nos toca hacer nos toca hacer la curva en amarillo entonces vamos a sumar vamos a sumar la integral pero ahora la equis se mueve debe hasta a y entonces ahora que hay que ponerle b y aquí y lo que hay que poner ahora es a ver voy a ponerle así pe de equis y ahora que se mueve con respecto a 72 de x entonces tenemos que sustituir por de 2 de x entonces 2 de x e integramos con respecto a x sale entonces esto de aquí ya se está poniendo un poco interesante vamos a llamarle c2 a lo mejor de aquí ya ves más o menos que queremos hacer y bueno vamos a trabajar un poquito más vale ahora que este que dijimos hasta ahorita simplemente dividimos nuestra curva en dos en dos partes ahora lo que queremos hacer es pues juntarlas entonces vamos a intercambiar ahí ve aquí para cambiar el signo vamos a ponerle aquí ve aquí vamos a ponerle a y aquí hay que ponerle un menos hasta ahorita no hemos cambiado nada del valor de la integral vamos a ponerle igual a la integral de ave de qué cosa de esta expresión de fe de x coma de 19 x y luego tenemos que restar esta expresión - p de x2 de x sale y todo esto hay que integrarlo con respecto a x voy a poner un paréntesis y ponerle b x baja ahora voy a hacer algo que parece un poco arbitrario pero al final vas a apreciar por qué hice esto que voy a hacer lo que voy a hacer es intercambiar estos dos multiplicando por un menos es decir voy a cambiar el signo a los dos suman 2 y hasta fuera para compensar voy a poner un menos y entonces la expresión no habrá cambiado en nada entonces eso es lo que vamos a hacer hay tema vamos a intercambiarlas entonces voy a ponerle igual a la integral de ave y voy a conservar los colores para que no nos para que no nos confundamos aquí dejo de x entonces lo de aquí adentro lo multiplicó por menos entonces voy a poner primero el término en amarillo pd x2 de x y luego voy a restar y pongo en color rosa dx coma y uno de x ahora lo que me falta hacer todavía es multiplicar por un menos para que no haber afectado en nada la integral entonces voy a multiplicar afuera de la integral por un signo menos y entonces estas dos expresiones son iguales esto de aquí es lo mismo que acá son simplemente los negativos negativos el uno del otro entonces son exactamente la misma expresión vamos a movernos abajo para tener un poco más de espacio y en el siguiente paso vamos a hacer otra cosa que se ve todavía más arbitraria de lo que acabamos de hacer pero al final vamos a llegar a un resultado que es muy muy bonito entonces fíjate vamos a trabajar al revés vamos a escribir menos la integral de aa b de lo siguiente a ver lo voy a poner con un nuevo color de la función p de x evaluada en c2 de x - la función evaluada a ver déjame déjame borrarlo voy a ponerle de igual a 2 de x para que sea todavía más claro y hay que restar la función en que iguala y 1 de x afuera voy a dejar el de x sale entonces esta expresión y esta de acá las dos son iguales déjame marcar aquí arriba con rosa mexicano entonces esta expresión y la expresión de abajo son idénticas ahora qué vamos a hacer para el siguiente paso para el siguiente paso vamos a hacer la cosa más arbitraria de todo el vídeo ahora si lo que vamos a hacer es suponer que mete una derivada parcial con respecto a y entonces déjame ponerle una igualdad por acá lo que voy a hacer es copiar la integral de afuera así como menos la integral aquí van los límites va de a a b y luego aquí tenemos que poner un de equis sale entonces esta expresión de aquí vamos a suponer que tiene una derivada parcial con respecto a y entonces vamos a reescribir esto pero en una forma integral a qué me refiero con eso aquí aquí voy a poner la derivada parcial con respecto a y aquí afuera voy a poner un deje y voy a integrar con límite inferior a 1 de x el límite superior 2 de x sale entonces quiero que te sientas muy cómodo con que estas dos cosas son iguales entonces déjame explicar un poco más porque para ver esto lo mejor es empezar del lado derecho e ir hacia el lado izquierdo porque porque en el lado derecho tenemos una integral doble y entonces lo primero que hacemos en una integral doble cuando la intentamos resolver es tomar la parte de adentro esta de aquí y lo que tenemos que hacer es tomar la anti derivada de lo que esté aquí adentro con respecto a ella pero la anti derivada de la parcial de p con respecto a y con respecto a y simplemente es p entonces regresamos aquí estas de aquí los límites de integración caen acá para evaluar en dos de equis y luego restarle x entonces usualmente comenzaríamos con la derecha y acabaríamos con algo como lo de la izquierda aquí estamos haciendo algo un poco inusual porque estamos empezando al revés lo que hacemos es empezar a la izquierda y trabajar hacia la derecha y entonces estamos como que creando integrales entonces bueno con un poco de suerte me vas a creer que estoy aquí es cierto pero ya con eso vamos a establecer un resultado muy bonito porque ahora vamos a reescribir esto en términos de una integral doble con todo y su región de integración vamos a ver esto que es en el dibujo fíjate tenemos la derivada de p con respecto al yen entonces eso de ahí es una función es una función que está definida en el plano xy entonces voy a dibujar acá dejamos borrar voy a dibujar por acá el eje y el eje x y por acá el eje z y lo que estamos haciendo aquí y aquí xy lo que estamos haciendo es que esta función nos determina una superficie acá entonces ponemos una superficie y en donde estamos evaluando esta doble integral pues estamos tomando la doble integral debajo de esta superficie en la región que está dada por estos límites de integración entonces vámonos al dibujo para ver qué quiere decir esto tenemos un 2 de x por acá esa es la curva 2 y por aquí abajo vamos a poner el 1 que nos determina la curva 1 entonces esencialmente estamos tomando el volumen sobre esta región de aquí que es la región que queda encerrada por la curva sé nada más y nada menos que acá entonces fíjate esto está muy padre la altura cuál es la altura es la parcial de p con respecto a y entonces la altura que voy a dibujarlo a ver voy a ponerlo por aquí de noche y creo que no cabe pero esencialmente lo que estamos haciendo es encontrar el volumen de un sólido como ya lo habíamos hecho en vídeos pasados entonces lo que está padre es que si a esta región de aquí le ponemos r lo que logramos hacer es cambiar esta integral de línea que sólo tenía un componente en x en su campo vectorial la logramos simplificar o bueno la logramos hacer igual lo siguiente lo que vamos a hacer igual a verbal nos vamos a escribir lo mejor aquí abajo entonces vamos a poner esto que la integral de c la integral de línea de p de xy de x es igual a qué cosa pues a la integral doble a la integral doble sobre la región r la región r que está encerrada por la curva entonces vamos a ponerle aquí abajo la región r de qué cosa pues de la parcial de p con respecto a y la parcial la parcial de p con respecto a y vamos a ponerle de de equis o puedes ponerle de equis de g o lo que quieras pero esto de aquí es una integral doble sobre esa región lo que está bonito es que usando un campo vectorial que sólo tiene una entrada en x pudimos pasar la integral de línea a una integral doble creo que me falta algo por aquí verdad un signo menos que va aquí abajo también entonces aquí también hay que poner el menos que bonito va en el próximo vídeo vamos a hacer exactamente lo mismo pero con un campo vectorial con vectores sólo en dirección y conectando ambos resultados vamos a llegar a un resultado bien bien padre