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Transcripción del video

supongamos que tenemos una trayectoria cerrada en el plano x llegue este de aquí es el eje ye el de acá es el eje x y la trayectoria se ve más o menos así lo que estoy intentando hacer es dibujar una trayectoria más o menos arbitraria ahora supongamos que vamos a empezar a recorrerla en el sentido antihorario así entonces caminamos sobre la trayectoria en esta dirección vamos a ponerle un nombre vamos a llamarles sé supongamos que también tenemos un campo vectorial y nuestro campo vectorial le llamaremos pdx1 lo único que va a tener este campo vectorial son vectores múltiplos de y el primer vector canónico es decir va a ser del estilo be the x change multiplicada por el vector unitario y no tienen nada que ver con la componente j entonces para visualizar lo voy a dibujar unas flechas por acá y todos estos vectores son horizontales son puros múltiplos del vector y entonces pueden ir hacia la izquierda o hacia la derecha pero no van hacia arriba y hacia abajo y en diagonal voy a dibujar unos cuantos más a verlo a poner con más entonces este campo vectorial se ve más o menos así lo que quiero encontrar es la integral de línea cerrada sobre la trayectoria sobre la trayectoria se deje cosa ddp punto de air es la forma estándar de plantear un integral de línea ya habíamos hablado de que significa der de res y igual a de x por i + d ye por j a lo mejor aquí digas pero más bien era de equis entre dt por dt haber dejan escribir esto por aquí para para ver la forma alternativa o sea de rs iguala de equis entre vete por dt por i + d ye entre dt por dt por j ahora podría ser así pero nos conviene más la primera forma porque con un poco de suerte nos evitaremos considerar el parámetro teques un tercer parámetro que parece estar demás sale entonces lo vamos a ver con x y condell y entonces vámonos vámonos para acá otra vez y lo que queremos hacer es reescribir está integral como la integral de línea sobre ese saber lo voy a hacer para acá para tener un poco más de espacio la integral de línea sobre la curva se obvien la trayectoria se dé p.de air es decir hay que multiplicar los coeficientes de esta cosa de aquí no es lo único que vamos a perder son vectores con iu porque con jota el producto punto nos va a dar cero luego a poner aquí pd x llegue por dx más y como te decía y punto hot es igual a cero entonces no va a aparecer la deie por ningún lado entonces la integral que era simplificada como esta expresión de acá entonces a ver estas dos integrales de acá son las integrales alrededor de esta trayectoria ahora lo que les conté al principio es que si tenemos suerte nos vamos a atener que lidiar con la tercera variable t tal vez podamos resolver esta integral sólo en términos de x vamos a ver si podemos hacer esto comenzamos viendo los valores mínimos que están por aquí vamos a llamarle a y máximo que queda por acá dx vamos a poner leve entonces lo que podemos hacer es quebrar esta curva en dos funciones de x por qué funciones x porque está de aquí abajo vamos a ponerle llegue uno de x estar acá es simplemente una curva estándar así como de las de cálculo de al principio y la podemos pensar como una función de x y luego de ahí tenemos la de acá arriba vamos a ponerle jet2 dx sale entonces vamos a ponerlo así podemos imaginarnos que hay un camino una una trayectoria hacia abajo definida por lleno de x déjame ponerlo con color rosa mexicano pues lo voy a poner aquí ya uno de x que va desde x iguala hasta aquí es igual a b y luego hay un segundo camino una segunda trayectoria que se mueve conforme x eva debe a entonces recorrer por akin y esa es la segunda curva entonces lo que podemos hacer es reescribir está íntegra al que es la misma que la original como como igual a la integral sobre este primer camino es decir cuando aquí se mueve de a a b d p de x y pues podría poner pd xl pero ahora ya sabemos que sobre esta trayectoria y es una función de x entonces vamos a ponerle lleno de x va siempre que veamos una llevamos a cambiarla porque uno de aquí hay que integrar de ex ahora eso de ahí cubre la primer parte de la curva entonces esto que estoy marcando con los mexicanos vamos a llamarles c1 que es la primer mitad de nuestra curva pero aún nos falta la segunda mitad entonces vamos a reescribir lo de la segunda mitad al lado derecho es decir ahora que nos toca hacer nos toca hacer la curva en amarillo entonces vamos a sumar vamos a sumar la integral pero ahora la x se mueve hasta a entonces ahora que hay que ponerle veía aquí a y lo que hay que poner ahora es saber ponerlas y pdx1 hora 10 se mueve con respecto a jet2 dx entonces tenemos que sustituir ye polledo de x 22 de x integramos con respecto a x sale entonces esto de aquí ya se está poniendo un poco interesante vamos a llamarles c2 a lo mejor de aquella vez más o menos que queremos hacer y bueno vamos a trabajar un poquito más vale ahora que es que hicimos hasta ahorita simplemente dividimos nuestra curva en dos en dos partes ahora lo que queremos hacer es juntar las entonces vamos a intercambiar a y b aquí para cambiar el signo vamos a poner aquí ve aquí vamos a ponerle a y aquí hay que ponerle un menos hasta ahorita no hemos cambiado nada del valor de la integral vamos a ponerle igual a la integral de aa a b d qué cosa de esta expresión de p de x coma ye 1d x y luego tenemos que respetar esta expresión menos p de equis o ye 2 de x sale y todo esto hay que integrarlo con respecto a x voy a poner un paréntesis y ponerle de ex va ahora voy a hacer algo que parece un poco arbitrario pero al final vas a apreciar porque hice esto que voy a hacer lo que voy a hacer es intercambiar estos 2 x 1 - es decir voy a cambiar el signo a los dos suman dos y hasta fuera para compensar voy a poner un menos y entonces la expresión no habrá cambiado en nada entonces eso es lo que vamos a hacer vamos a intercambiar las entonces voy a ponerle igual a la integral de ave y voy a conservar los colores para que no nos para que no nos confundamos aquí dejo de x entonces lo de aquí adentro lo multiplicó por menos entonces voy a poner primero el término en amarillo pd x 72 dx y luego voy a restar pick up en color rosa p dx coma ye 1d x va ahora lo que me falta hacer todavía es multiplicar por un menos para que no haber afectado en nada la integral entonces voy a multiplicar afuera de la integral por un signo menos y entonces estas dos expresiones son iguales estuve aquí es lo mismo que acá son simplemente los negativos negativos el uno del otro entonces son exactamente la misma expresión vamos a movernos abajo para tener un poco más de espacio y en el siguiente paso vamos a hacer otra cosa que se ve todavía más arbitraria de lo que acabamos de hacer pero al final vamos a llegar a un resultado que es muy muy bonito entonces fíjate vamos a trabajar al revés vamos a escribir - la integral de aa a b d lo siguiente a verlo a poner con un nuevo color de la función p le x10 valuada en 7 2 de x - la función evaluada a ver déjame déjame borrar lo va a poner leche igual hayedos dx para que sea todavía más claro y hay que restar la función en ye igual a uno de ex afuera voy a dejar el de saleh entonces esta expresión y estadía acá las dos son iguales déjame marcar aquí arriba con rosa mexicano entonces esta expresión y la expresión de abajo son idénticas ahora qué vamos a hacer para el siguiente paso para el siguiente paso vamos a hacer la cosa más arbitraria de todo el video ahora si lo que vamos a hacer es suponer que pt una derivada parcial con respecto a ye entonces déjame ponerle una igualdad por acá lo que voy a hacer es copiar la la integral de afuera así como - la integra la que iban los límites va de a a b y luego aquí tenemos que poner un dx sale entonces esta expresión de aquí vamos a suponer que tiene una derivada parcial con respecto a ayer entonces vamos a reescribir esto pero en una forma integral a qué me refiero con eso aquí voy a poner la derivada parcial con respecto a ye aquí afuera voy a poner un de yee y voy a integrar con límite inferior ch1 dx límite superior de dos de sal entonces quiero que te sientas muy cómodo con que estas dos cosas son iguales entonces déjame explicar un poco más porque para ver esto lo mejor es empezar del lado derecho e ir hacia el lado izquierdo por qué por qué en el lado derecho tenemos una integral doble y entonces lo primero que hacemos en una integral doble cuando le intentamos resolver es tomar la parte de adentro está de aquí y vi lo que tenemos que hacer es tomar la anti derivada de lo que esté aquí adentro con respecto ayer pero la anti derivada de la parcial del pp con respecto ayer con respecto ayer simplemente espe nos regresamos aquí y estaré aquí los límites de integración caen acá para evaluar en ya igual hayedos dx y luego restarle ye igual allí uno de x entonces usualmente comenzaríamos con la derecha y acabaríamos con algo como lo de la izquierda aquí estamos haciendo algo un poco inusual porque estamos empezando al revés lo que hacemos es empezar a la izquierda y trabajar hacia la derecha y entonces estamos como creando integrales entonces bueno con un poco de suerte me vas a creer que estoy aquí es cierto pero ya con eso vamos a establecer un resultado muy bonito porque ahora vamos a reescribir esto en términos de una integral doble con todo y su región de integración vamos a ver esto qué es en el dibujo fíjate tenemos la derivada de pepe con respecto a y entonces eso de hay es una función es una función que está definida en el plano ekije entonces voy a dibujar acá dejan borrar voy a dibujar por acá elegí el eje x y por acá el eje z y lo que estamos haciendo aquí llegué aquí si lo que estamos haciendo es que esta función no determina una superficie acá va entonces ponemos una superficie y en donde estamos evaluando esta doble integral pues estamos tomando la doble integral debajo de esta superficie en la región que está dada por estos límites de integración entonces vámonos al dibujo para ver qué quiere decir esto tenemos un de 12 x por acá es la curva 2 y por aquí abajo vamos a poner uno que nos determina la curva uno entonces esencialmente estamos tomando el volumen sobre esta región de aquí que es la región que queda encerrada por la curva sé nada más y nada menos que acá entonces fíjate está muy padre la altura cuales la altura es la parcial de pepe con respecto a yi entonces la altura que voy a dibujarlo a ver voy a ponerlo por aquí de pepe no chino creo que no cabe pero esencialmente lo que estamos haciendo es encontrar el volumen de un sólido como ya lo habíamos hecho en videos pasados entonces lo que está padre es que si a esta región de aquí le ponemos rr lo que logramos hacer es cambiar esta integral de línea que sólo tenía un componente en x en su campo vectorial la logramos simplificar o bueno la logramos hacer igual a lo siguiente no lo vamos a hacer igual a ver vamos vamos a escribir lo mejor aquí abajo entonces vamos a poner esto que la integral de ese plan integral de línea a dp dx llegue dx es igual a qué cosa pues hala integral doble a la integral doble sobre la región rr la región de lo que está encerrada por la curva nos vamos a poner aquí abajo la región rr de qué cosa pues de la parcial del pp con respecto ayer la parcial la parcial de pepe con respecto a ye vamos a ponerle deie de x o puedes ponerle dx de lleó dea o lo que quieras pero esto de aquí es una integral doble sobre esa región lo que está bonito es que usando un campo territorial que sólo tiene una entrada en x pudimos pasar la integral de línea a una integral doble creo que me falta algo por aquí verdad un signo menos que va aquí abajo también entonces aquí también hay que poner el menos qué bonito va en el próximo video vamos a hacer exactamente lo mismo pero con un campo vectorial convectores sólo en dirección llegue conectando ambos resultados vamos a llegar a un resultado bien bien padre