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Demostración del teorema de Green (parte 2)

Demostración del teorema de Green (parte 2). Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

supongamos que tenemos la misma trayectoria que teníamos en el vídeo pasado aquí dibujo el eje y por acá dibujo el eje x y nuestra trayectoria anterior se veía más o menos así la voy a dibujar algo como de este estilo me está quedando un poquito diferente en realidad si regresamos al vídeo anterior nos debería quedar algo como de este estilo pero bueno me quedo muy parecida verdad la idea es que en el fondo es la misma curva que la del vídeo anterior pero bueno antes teníamos un campo vectorial en el cual todos los vectores eran múltiplos del vector y en este vídeo vamos a ver otro campo vectorial pero ahora el chiste es que todos sus vectores van a ser múltiplos del vector j es decir son vectores verticales vamos a llamar este campo vectorial q de xy iguala con mayúscula de xy multiplicada por el vector unitario j ok siguiendo la idea del vídeo pasado nos interesa evaluar la integral de línea la integral de línea en la trayectoria cerrada c de cv a ver voy a ponerlo así con otro color de q punto de r como ya lo dijimos anteriormente de r lo podemos poner así de re es igual a de x por y más de g por j con esto podemos continuar resolviendo la integral ponemos por aquí la integral de línea a ver a iván voy a poner la integral de línea sobre la curva cerrada hace ahora q solo tiene componente j entonces al hacer el producto con de r solo nos va a importar el sumando que tiene j esto se debe a que y punto j es 0 entonces voy a poner aquí abajo lo que nos queda nos queda q a ver lo voy a poner con el color blanco q de x x de g entonces una vez más como no había ahí en el producto punto perdimos el de x ahora veamos si existe alguna forma de evaluar esta integral sin tener que pasar por el parámetro adicional t justo como lo hicimos en el vídeo pasado de hecho todo lo que vamos a hacer es idéntico pero intercambiando las x es con las 10 entonces lo primero que podemos preguntarnos es por los valores extremos de y por aquí voy a marcar el mínimo de jay y le vamos a llamar a y por acá arriba tenemos el máximo a este máximo lo voy a poner por acá y le voy a llamar ve a una observación olvide darte la dirección de la trayectoria pero pues es la misma que antes es decir estamos recorriendo en el sentido antihorario misma curva mismo sentido en el vídeo pasado partimos la curva en dos funciones de x te acuerdas es decir tomábamos dos funciones de 1 y 2 que dependían de x ahora lo que queremos hacer es esto pero al revés en esta ocasión tenemos que poner a x en función de y vamos a partir de nuevo la trayectoria con los puntos extremos y entonces a la trayectoria de la izquierda le llamaremos le llamaremos a ver está verde aquí le vamos a poner yen no no no mejor vamos a ponerle vamos a ponerle x es igual no mejor primero le ponemos el nombre a ver borramos le voy a poner que ese 2 y ahora sí voy a poner que está dada por x es igual a x2 de esa idea y es la segunda trayectoria ahora va la primera o segunda bueno no importa puedes empezar donde quieras pero la primera va a ser esta que está en rosa mexicano y vamos a ponerle c 1 y que está dada por x igual a x 1 de que puede ser un poco confuso cuando estamos cambiando x y jesse poner a x en función de y pero otra forma de pensarlo es girar la cabeza 90 grados y hacer lo mismo que hacíamos antes sale entonces realmente no estamos haciendo nada nuevo sino simplemente copiando la cosa bueno entonces ahora sí vamos a regresar a las cuentas siguiendo nuestro dibujo esta integral de línea de aquí abajo puede ser descrita y puede ser descrita como la integral ya no es integral de línea sino la integral normal y entonces vamos a ponerse dos primero vamos a ponerse dos y entonces nos queda la integral de vea la verdad la dirección empieza en b y va a de aquí arriba va bajando bajando y llega a salir entonces nos queda la integral debe aa de qué cosa pues q de xy pero ya sabemos que equivale a algo más verdad voy a poner así q b y en vez de poner la x como te decía x ya está dado en función de y entonces vamos a escribir aquí x2 déjame ponerlo con color verde x2 deje coma y aquí vamos a ponerle g y al final tenemos que poner un de verdad entonces vamos a poner ve y ok entonces esta de aquí es la primer mitad de la integral de línea pero luego tenemos que sumar lo que corresponde a la integral y ahora va la segunda curva verdad ahora base 1 entonces esa se mueve de a ave muy bien entonces qué cosa tenemos que poner pues tenemos que poner q de y en vez de poner x igual a x2 de hecho ahora es x igual a x 1 de ella estamos recorriendo la curva rosa mexicano entonces nos queda x 1 de iu y luego tenemos que ponerle coma y al final un del bar entonces podemos hacer exactamente lo que hicimos en el vídeo pasado vamos a volver a repetir lo que dije porque pudo haber sido un poco confuso primero vamos a intercambiar esta ya esta vez para que para poner un signo menos aquí de modo que los límites de integración coincidan y entonces podamos juntar las integrales para entonces ahí va vamos a juntar estas dos integrales pues tienen los mismos límites de integración entonces voy a pasarme aquí al renglón de abajo le pongo igual a la integral de a a b y como éste tiene signo más lo voy a poner primero entonces voy a escribir de x 1 de mayo y luego tengo que restar menos regresamos al color verde menos q evaluado en x 2 dg coma y deje creo que éste deje mejor lo pongo de color azul va a ponerle aquí de iu y ponemos un paréntesis de ahí fíjate el 10 se distribuyó entre las dos integrales esto de aquí sigue siendo idéntico a lo que hicimos vamos a pasar al otro paso es decir vamos a ponerle la integral de ave y entonces vamos a ponerlo como una función evaluada en dos extremos es decir vamos a ponerle q de x mayer y vamos a poner la evaluada con extremo superior e inferior en el extremo superior tenemos que poner pues la curva en rosa mexicano entonces es x es igual a x1 de g y en el límite inferior debemos poner pues x igual a x2 de ba ok entonces vamos super bien vamos a obtener fíjate otra vez para aclarar lo que hicimos aquí tenemos una cosa que pasamos a una cosa integral estamos como que haciendo las cosas al revés de cuando hacemos la integral normalmente simplemente estamos usando la notación de evaluar en un límite superior y en un límite inferior aquí voy a poner el de iu y entonces ahora déjame enmarcar esta expresión en naranja de hecho sabes que déjame déjame borrar esto para pasar el d llegó un poco más a la derecha entonces voy a poner el d de este lado y ahora sí con color naranja voy a encerrar esta expresión este es el paso pues por así decirlo clave está esta expresión de naranja la vamos a reescribir ahora como una integral vamos a suponer que la parcial con respecto a q de x existen vamos a poner aquí como límite inferior x mejor vamos a decir con el color verde x2 de iu y en el límite superior vamos a ponerle x 1 de iu y que tenemos que poner adentro a pues tenemos que poner la parcial de q haber ahí va vamos a ponerlo con este otro color vamos a poner la parcial de q con respecto a quién es con respecto a x verdad ahora es la que se mueve de x esta expresión que está en el cuadro naranja es lo mismo que la expresión de aquí abajo simplemente lo que estamos haciendo es encontrar el interior de una integral doble lo de afuera es la integral de ave bella pero una vez más para dejar muy claro que estamos haciendo pues fíjate piensa como si resolviera esta integral doble lo primero que tenemos que hacer es anti derivar de q de x con respecto a x pero la anti derivada de la parcial de q con respecto a x con respecto a x escudé xy entonces ahora ya podemos simplemente pues poner en los extremos de los valores x 1 de ella y restar de ahí x 2 dg y regresamos a esta expresión anterior creo que esto ya lo deja un poco más claro verdad con esto ya vamos a obtener nuestro resultado vamos a ver arriba para encontrar la interpretación geométrica de esta integral vamos a ver qué representa a ver entonces cómo le hacemos va vamos a pensar de q de x como la una función de xy entonces vamos a dibujar otra vez el eje y el eje x y vamos a meterle tres de poniendo el eje z esta de aquí es una función que depende x y dejé entonces ésta determina una superficie por aquí más o menos déjame llamarle a esta la parcial de q con respecto a x muy bien y lo que está integral doble nos representa es una integral en una región r y este x de jenson de a para entonces la región a la cual nos estamos refiriendo es en la que x se mueve entre estas dos funciones y ya se mueve de a a b verdad entonces ahí va vamos a poner esta cosa de este estilo esa de ahí es x s es x 2 de verdad la verde va y las superiores x 1 de ella la que está en rosa mexicano la voy a copiar por aquí abajo nos queda una cosa de este estilo y entonces esas son las dos curvas que delimitan la región r entonces qué estamos haciendo con esta integral doble lo que hace está integrada el doble es ir moviendo los valores de xy dentro de la región dentro de la región que queda encerrada en las dos curvas entonces eso está súper padre otra vez estamos pasando nuestra integral de línea aquí a una integral en una región acotada por justo la línea que está encerrando la región nos queda algo de este estilo como un cilindro acotado entre el plano xy la superficie es un resultado idéntico al que obtuvimos en el vídeo pasado eso está muy padre así de repente fíjate q de x a bava vamos a dibujar ahora el campo vectorial el campo vectorial ahora es vertical verdad tenemos flechas para arriba y para abajo pero únicamente tienen un componente j ok voy a poner unas pocas fechas más ok entonces qué pasa si empezamos con un campo vectorial que tiene puras flechas verticales y tomamos una integral de línea en este campo vectorial nos queda que la integral de q punto de r es igual a la integral sobre la curva cerrada de q mayúscula de xy de g y con lo que argumentamos eso de ahí es igual a qué cosa pues a una doble integral a la doble integral sobre la región r que encierra la curva eso está súper padre verdad es la región r que encierra la curva que corresponde a la integral de línea entonces va fíjate va de esta a esta función y la ye se va de ave entonces eso es justo la integral en la región que queríamos la región r de qué cosa pues de la parcial de q con respecto a x y luego le ponemos pues de x dgp o lo que queramos pero le voy a poner mejor vea muy bien ok entonces fíjate qué es lo que sigue ya tenemos dos resultados uno del vídeo pasado y otro el de esther este vídeo entonces vamos a ver el resultado del vídeo pasado para ver cómo lo podemos combinar con este vídeo de aquí fíjate este es el resultado anterior ok déjame copiar y pegar los dos resultados el del vídeo anterior y el de este para tener más espacio para hablar de lo que encontramos entonces esto de aquí lo voy a copiar lo voy a pegar para pasarlo por aquí abajo y entonces esto se va a poner emocionante no parpadea ni un ratito vamos a tomar también este otro resultado vamos a darle copiar entonces ahora déjame bajar aquí le voy a poner pegar ok entonces estos de acá son los dos resultados que obtuvimos vamos a pensar ahora en un campo vectorial arbitrario es decir ahora si le vamos a permitir que tenga entradas en jota y entrada se me va entonces vamos a llamarle efe de xy y vamos a suponer como dije que tiene pues una entrada p de xy para el vector y luego tiene q de xy para el vector j va entonces efe es pues pues cualquier campo vectorial simplemente es una combinación del pp que hicimos en el vídeo pasado y que hicimos en este vídeo entonces lo bonito es que combinando los resultados de los dos vídeos vamos a poder trabajar con un campo vectorial arbitrario entonces vamos a tomar ahora la integral de línea en una curva pues vamos a poner digamos la misma curva con la que hemos estado trabajando una cosa de este estilo y entonces vamos a ponerle a esta curva c ok vamos a poner la que va en sentido antihorario ok y entonces lo que me interesa es cuál es la integral de línea sobre c de f punto de r ya vimos muchas veces que es de r pero lo voy a volver a poner de r es igual a b x por i + d i por j ok entonces esta integral de línea puede ser descrita como la integral sobre c la integral de línea y ahora vamos a poner quienes efe vamos a poner este sumando por éste entonces nos queda pd xy por de x haciendo el producto punto más este término q de x por d ok entonces esta cosa de aquí es lo mismo que la siguiente integral vamos a abrirla en dos sumas la integral sobre la curva cdp de xy de x y luego sumarle la integral de línea de q de xy de g y mira qué sorpresa justo estas cosas son las cosas con las cuales estuvimos trabajando en los dos vídeos anteriores esta expresión de aquí podemos ponerla como estar acá arriba es decir vamos a ponerle igual a la integral doble sobre la región r la región r que encierra la curva que se está de acá de menos la parcial de p con respecto al menos la parcial de p con respecto a iu y en vez de poner de aiete x voy a poner simplemente un día va y luego podemos sumarle esta otra integral aquí tenemos una q y justo lo que probamos en este segundo vídeo es que eso también podemos cambiarlo por otra integral doble entonces vamos a hacer eso acá vamos a poner la doble integral sobre la misma región de la parcial de q con respecto a x b esto está muy muy bueno fíjate ahora ya logramos cambiar nuestra integral de línea de un campo vectorial arbitrario a una integral doble vamos a juntar esta estas dos integrales para llegar a la gran conclusión nos queda nos queda la doble integral sobre la región r de la derivada parcial de q con respecto a x la puse primero porque es positiva luego hay que restar la parcial de p con respecto a y y todo eso de ahí ok esto está muy padre este es nuestro gran resultado del vídeo entonces la integral de línea sobre c de f punto de r lo podemos cambiar por la integral doble de esta expresión de aquí que está súper padre que depende únicamente de las parciales de las funciones que están asociadas con el campo vectorial con respecto a y con respecto a jota entonces esto de aquí está muy muy muy bonito vale entonces fíjate este resultado de aquí tiene un nombre especial voy a ponerlo en color verde entonces este aquí es el teorema de green muy bien teorema de green bay entonces este de aquí es una forma muy elegante de relacionar la integral de línea de un campo vectorial que tiene estas derivadas parciales suponiendo que las tiene con una integral doble en la región que encierra la curva de la integral de línea va ahora vamos a un comentario lateral vamos a recordar que hace algunos vídeos vimos un resultado para campos vectoriales conservativos éste decía que sí efe es conservativo lo cual recordemos que quiere decir que es el gradiente de una función escalar entonces jefe es conservativa la integral de línea de en cualquier curva cerrada y es igual a cero como podemos combinar esto con el teorema de grimm pues esto nos dice que si f conservativo este término debe de ser igual a 0 porque porque esta es la única forma en la cual podemos asegurar que la doble integral va a ser cero sin importar en qué regiones estemos integrando esto requiere pensarlo un poquito para ver que la parte fuerte de la afirmación está en que pasa para todas todas las regiones r de esta forma concluimos lo siguiente concluimos que la parcial de q respecto a x menos la parcial de p con respecto a y es igual a cero o reescribiendo un poco más bonito estas dos expresiones deben de ser iguales es decir que la parcial de q con respecto a x es igual a la parcial de p con respecto a y con esto obtenemos un bonito corolario del teorema de y bueno cuando estudies ecuaciones exactas en ecuaciones diferenciales vas a ver esta expresión a cada rato no me quiero meter mucho en detalles pero en el fondo los campos conservativos están íntimamente relacionados con una ecuación diferencial exacta pero bueno mejor no nos metamos en intimidades por ahora lo que haremos en los siguientes vídeos es tomar esta super herramienta que acabamos de descubrir esta de acá y vamos a aplicar algunos problemas concretos para fijar mejor las ideas nos vemos pronto