Demostración del teorema de la divergencia (parte 2)

ahora sí vamos a entrar a la demostración y en el último vídeo dijimos que si podíamos ver que cada sumando era igual a su correspondiente entonces esencialmente habríamos terminado la demostración lo que teníamos en amarillo era simplemente una expresión de lo que es el flujo el flujo a través de la superficie del campo vectorial y lo que está en verde esto que está en verde es la integral de la divergencia de f la integral triple a lo largo de nuestra región r lo que quiero hacer en este vídeo y probablemente en el siguiente es demostrar que estos son equivalentes estos dos estas dos de estas dos expresiones son equivalentes esencialmente es lo mismo y lo voy a hacer usando el hecho de que la región es simple y sólida en particular que es de tipo 1 ok entonces voy a utilizar que es de tipo 1 para demostrar esta equivalencia pueden usar los mismos argumentos para demostrar que los otros también son equivalentes por ejemplo para estos este par se utiliza que es de tipo y para demostrar que estos dos son equivalentes se utiliza que es de tipo 3 entonces voy a pasar a probar el último y les quedará a todos ustedes probar los dos primeros entonces antes que nada vamos a bajar un poco y vamos a recordar vamos a recordar que es una región de tipo 1 porque una región de tipo 1 una región de tipo 1 que digamos sea r es simplemente un conjunto de ternas de puntos en el espacio x y z tales que necesitamos que la pareja xy es decir como punto se encuentre en cierto dominio y además vamos a necesitar que nuestra variable zeta se encuentre acotada por dos funciones digamos que la inferior sea f 1 de x es decir que z sea mayor o igual que esto pero al mismo tiempo sea menor o igual que otra función que vamos a llamarle f 2 de x y muy bien entonces vamos a cerrar este conjunto ok vamos a hacer un dibujo rápidamente de más o menos cómo se ven las regiones tipo 1 para ir recordando por ejemplo si aquí tenemos los ejes y más o menos derecho este es el eje zeta el eje y fin el eje x ok quedaron ahí los ejes vamos a dibujar entonces un dominio para los puntos x aquí vamos a tener cierto dominio que éste es el que le vamos a llamar el dominio de sí queda claro que estos es los puntos el dominio de se encuentra contenido en el plano xy aquí son sólo puntos de la forma x coma ya y ahora vamos a tener dos funciones que esencialmente las funciones las podemos ver como gráficas entonces por ejemplo tenemos nuestra función f 1 que quien sabe como sea pero ahí la tenemos ok podemos verla como una superficie como una gráfica de una función y también vamos a tener deber de nuestra función f 2 quien sabe cómo se ve más o menos podría ser de esta forma esta es nuestra función f 2 ok déjenme déjenme quitarlos estorbar más de lo que quiero ok y ahora tenemos que nuestra nuestra variable zeta se puede mover a lo largo de todo esto de estos posibles valores dados por las funciones entonces nuestra variable zeta va a mover en esta especie de cilindro que no necesariamente se debe ver como un cilindro pero pero al menos esto ejemplo ejemplifica efe expertos ejemplifica muy bien lo que quiero decir con las regiones de tres dimensiones de tipo 1 aunque esta es una muy buena idea de lo que es una región de tipo 1 pueden variar las formas por supuesto pero lo importante es que como vamos a querer calcular una integral de superficie es decir vamos a calcular la integral de superficie de la función r pues necesitamos partir esta región entre superficies y esencialmente está dada por tres esta de aquí arriba que vamos a llamar la s 2 podemos tomar esta de aquí abajo que le podemos llamar s 1 y podemos tomar esta que es digamos como la parte lateral de la región que la vamos a llamar s 3 ok s1 y s2 son como las tapas y s13 es como el cuerpo de una especie como de cilindro en este caso entonces qué es lo que ocurre vamos a tener que calcular la integral de superficie la integral de superficie de r que multiplica a cada punto n como esta superficie la pudimos partir en tres distintas entonces vamos a escribir esta integral como tres sumas por ejemplo la primera que es la integral sobre ese dos de r de cada punto n de s aquí por supuesto que me falta un bs déjenme déjenme ver si lo puedo acomodar bien aquí va de ese debe ser igual a este primer sumando y ahora vamos a sumar también la integral de superficies sobre esta superficie ese 1 entonces vamos a tener la integral sobre ese 1 de r por cada punto n de s y vamos a final al final vamos a sumar la integral sobre ese 3 de r por cada punto n de s muy bien que es lo importante de haber descompuesto de esta forma vamos a fijarnos precisamente en ese 3 aquí como se mueve el vector normal pueden ir apuntando así de esta forma siempre siempre de esta forma lo importante de los vectores normales en ese 3 es que no tienen ninguna inclinación hacia arriba o hacia abajo es decir se mantienen paralelos al plano xy entonces cada punto n lo que nos pedía era la magnitud de en la componente zeta del vector normal unitario pero si no tiene ninguna componente zeta quiere decir que cada punto n déjenme incluso escribirlo quiere decir que cada punto n al menos en ese 3 vale 0 y por lo tanto toda esta parte todas toda esta integral la podemos suprimir o eliminar entonces esto se simplifica simplemente a dos únicos sumandos en el próximo vídeo lo que vamos a hacer es re expresar todo esto en términos de integrales dobles sobre el dominio de vamos a tratar de evaluar estas integrales de superficie y llegar a la al resultado de que debe ser igual a la integral sobre nuestra región r de la parcial de la función r respecto de z