Regiones tipo I en tres dimensiones

en este y otros vídeos espero poder explorar diferentes tipos de regiones en tres dimensiones y esto será bastante útil para pensar en cómo calcular integrales dobles y triples y también para algunas demostraciones en cálculo de varias variables así que el primer tipo de regiones las llamaremos regiones tipo 1 ok vamos a llamarlos región es una región tipo 1 y lo que voy a hacer primero es definirlo formalmente y eso nos ayudará a dar una muy buena intuición de de qué es lo que estamos haciendo y después vamos a dar una con un par de ejemplos de regiones tipo 1 y finalmente un ejemplo que no es tipo 1 porque siempre es bueno poder comparar entre lo que sí es de lo que no es para ver que en efecto no todas son son regiones de tipo 1 entonces vamos a definirlo de forma conjunta digamos una región r es de tipo 1 si es de la siguiente forma es un conjunto así definimos un conjunto de todas las ternas de números reales es decir puntos en el espacio tales que las primeras dos coordenadas pertenecen a cierto dominio pertenecen a cierto dominio de en el plano verdad son parejas de puntos este es el el simbolito que denota pertenencia y ahora vamos a pedirle que nuestra zeta por abajo esté acotada por una función que depende sólo de xy de y ok es decir z sea más grande que eso y que sea menor o igual que otra función que sólo depende de xy de ye entonces estamos pensando que la zeta se mueve entre la gráfica de dos funciones que dependen de xy de y entonces un un primer ejemplo de lo que es una región tipo 1 lo podemos dar a partir de la esfera unitaria por ejemplo si tomáramos aquí nuestras nuestros xy déjenme quito eso estuvo muy feo si tomamos nuestros xy en en la circunferencia unitaria ok en esta circunferencia unitaria sobre el plano entonces podríamos definir los valores de z que están acotados entre una función por abajo y otra por arriba que esencialmente la podemos ver como la cáscara de abajo de nuestra esfera que es más o menos así más o menos y esa es una función que depende de xy de jr correcto mientras que por arriba podríamos definir la cáscara de superior de esta esfera más o menos digamos si le damos cierta cierto volumen a esto entonces así es como podemos definir las setas que se mueven entre los puntos inferiores que se encuentran en la cáscara de abajo y los superiores que se encuentran en el casquete superior de esta de esta esfera y por supuesto la esfera no tenían que estar dibujada con centro en el origen podría yo ponerle en cualquier lugar del espacio pero para fines de este ejemplo me basta con hacer esto entonces otro ejemplo que podríamos hacer y déjenme pegar los los ejes simplemente para agilizar el trabajo ok otro ejemplo que podríamos tomar es el de el de los disculpen vamos a tomar el ejemplo de un cilindro es decir vamos a pensar no necesariamente tiene que estar aquí en la base por ejemplo podríamos pensar que nuestra base del cilindro está aquí elevado más o menos de esta forma que es la base del cilindro y la parte superior por ejemplo puede encontrarse de este lado ok digamos que esta es la tapa superior de nuestro cilindro entonces para completarlo déjenme dibujarlo un poquito mejor ahí está digamos más o menos ahí se ve la forma de nuestro cilindro y entonces hay que ver que xy que se encuentren en cierto dominio y nuevamente nuestro dominio servirá pues esta circunferencia de aquí abajo esta circunstancia de aquí abajo es el dominio en el que se mueven tanto x como ye y la función que acota por abajo hace está pues es justamente la que define a esta etapa de aquí abajo esta etapa de aquí abajo define una cota inferior para las setas mientras que esta etapa de aquí arriba define una cota superior para las setas y si nos damos cuenta para este cilindro estamos tomando todos los valores de z que estén por arriba de esta etapa morada y por abajo de esta etapa verde entonces nuevamente xy ya está en un dominio en el plano y z se encuentra en todos los valores posibles entre dos funciones entre la gráfica de dos funciones vámonos con un último ejemplo vamos otra vez a pegar los ejes muy bien ahí tengo digamos estos ejes vamos a poner esos ejes y un ejemplo vamos a hacer un ejemplo de algo que no es no es una una este una región tipo 1 por ejemplo pensemos como en una figurita parecida a los relojes de arena por ejemplo ok por ejemplo más o menos y algo así si me sale algo así más o menos y vamos incluso a darle un borde superior curvo más o menos ahí está como una especie de reloj de arena donde esta etapa pues digamos pueda ser como como curva y más o menos entonces vamos a ver primero que esta región no puede ser de tipo 1 y por ejemplo vamos a tendríamos que tomar todos los valores de xy de ye que pudiera tomar no entonces más o menos toman los de esta circunferencia aquí en el en el plano xy mientras que los valores digamos de este corte de este relojito de arena con el plano xy pues son los de esta circunferencia ok entonces porque no es no es una región de tipo 1 bueno esencialmente si nos fijamos sólo en esta en estos valores no es que podamos definir de forma única este una una una fortuna perdón unos una función que depende sólo de xy de y de por aquí abajo por ejemplo si tomáramos este punto de aquí digamos que esto fuera parte de una de una función inferior de una f1 nos diría que la zeta debe tomar todos los valores entre ese y una función superior digamos que es que es esta no entonces hay todos estos valores de zeta quien no están siendo considerados por lo tanto yo no lo puedo definir como una región de tipo 1 sin embargo lo que sí podemos hacer es definirlo como dos regiones de tipo 1 como la unión de dos regiones tipo 1 por ejemplo buenos aquí quizás debería ser más claro este ejemplo que va así más o menos como que en realidad no es que se curve tanto ahí está entonces podría definir digamos esta parte superior y aquí tendríamos una esta etapa digamos vamos a pintar esta etapa como la parte más bien sería con verde verdad esta parte verde esta parte verde sería nuestra función superior mientras que esta de aquí abajo sería nuestra función inferior toda ésta toda esta muy bien entonces de esta forma si es cierto si sólo consideramos esta parte superior si la podríamos ver como una región de tipo 1 mientras que acá abajo acá abajo pues ésta sería nuestra nuestra región inferior perdón nuestra nuestra superficie inferior si está dado por una función que depende de xy de iu y el resto todo esto sería nuestra creo que lo hice al revés déjenme quitar todos esos colores lo hice completamente al revés porque el morado es el que va abajo entonces el morado sería esto este es nuestra nuestra tapa inferior considerando sólo la mitad inferior de este relojito de arena y con verde vamos a poner lo que sería nuestra función superior ok entonces esta la pudimos descomponer en dos regiones de tipo 1 por ejemplo si lo viéramos en el plano x perdón detalle se detalle en realidad lo que estamos viendo es más o menos esta figurita más o menos algo así o algo así menos muy bien y entonces si nos damos cuenta digo aquí me falló un poquito pero aquí esto correspondería a los puntos morados de esta sección de esta sección superior del reloj y los verdes serían todos estos verdad más o menos de esta forma igual de de la misma forma con la parte inferior de esta superficie entonces estos son algunos ejemplos de regiones tipo 1 mientras que este es un ejemplo que no es de tipo 1