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Regiones tipo II en tres dimensiones

Definición e intuición para regiones tipo II. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

vamos a pensar ahora en regiones tipo 2 y verás que en realidad son definiciones muy similares y que realmente sólo es una cuestión de orientación entonces vamos a ir plasmando estas ideas tenemos una región de tipo 2 vamos a definir esto que es una región de tipo 2 y vamos a escribirlo de la siguiente forma como en términos con juntistas vamos a definir una región de tipo 2 es un conjunto de todas las ternas xz que viven en el espacio tales que ahora en el tipo 1 lo que teníamos era un dominio en las coordenadas x y aquí lo que vamos a tener es en realidad un dominio pero en otras coordenadas vamos a tener un dominio en las coordenadas ye z es decir que los puntos ya z pertenecen a cierto dominio vamos a llamarle a un dominio ok entonces pertenecen a cierto dominio 2 y ahora lo que vamos a pedir es que nuestra coordenada x esté acotada por arriba y por abajo por dos funciones entonces que tengamos una función que uno que dependa de ye y dz que sea menor o igual que nuestra coordenada x y que sea menor o igual x que una segunda función g 2 de g muy bien entonces este tipo de regiones son las tipo 2 que como pueden ver son muy similares y lo que podemos hacer es es es revisar con esta otra definición de región tipo 1 si se dan cuenta simplemente es una cuestión de perspectiva una cuestión de orientación porque ahora vamos a fijarnos en un dominio que esté sobre el plano y st estamos pensando digamos en el muro que se ve de este de este lado entonces lo que vamos a hacer es vamos a comparar con estas tres superficies que ya teníamos cuáles de estas tres son también regiones de tipo de tipo 2 y para eso vamos a poner algunos algunos ejes aquí tenemos nuestro eje y empecemos por ejemplo con la esfera vamos a empezar con la esfera y empecemos y necesitamos definir un dominio en nuestro en nuestro muro receta aquí tenemos a y aquí tenemos a z vamos a definir un dominio que para fines de la esfera lo que podemos hacer es utilizar un círculo unitario como ya es digamos clásico utilizando este círculo espero se dé muy bien la idea de que está colocado justo sobre el plano de zeta muy bien entonces lo que tenemos que hacer es ahora x acotarlo por dos funciones que en este caso es muy sencillo porque podemos poner que una de esas funciones una de esas funciones es digamos el casco de atrás de nuestra de nuestra esfera ok digamos estamos pensando en esta función más o menos y qué bueno al menos un poquito coloreado espero ceder muy bien clara la idea de que estamos pensando en que es la parte posterior la parte que está detrás de la esfera es esa parte ahora bien nuestra función ésta va a ser que 2 y nuestro dominio de 2 es ésta esté este esta circunferencia pero ahora vamos a definir un dominio y perdón a una función g 2 que en este caso pues podría ser la la parte de enfrente de nuestra esfera que digamos esto es como una especie de ecuador y se puede más o menos ver así y entonces lo que vamos a tener es esta parte frontal de nuestra esfera ok y entonces ya tenemos nuestras dos funciones definidas aquí está nuestra función g 2 nuestra función g 1 y podemos ver entonces que la esfera no sólo es una región de tipo 1 sino también es de tipo 2 y en el próximo vídeo vídeo veremos que también será de tipo 3 vamos ahora a ver qué ocurre con él con el cilindro el cilindro si se acuerdan era más o menos una estaba más o menos de estar en esta parte de arriba que podemos definir nuestro dominio en el plano de z como un rectángulo y este rectángulo en el dominio z correcto muy bien y ahora lo que vamos a necesitar es una función que por abajo y acote a nuestra coordenada x que en este caso puede ser la media circunferencia o más bien digamos el medio cilindro que más o menos se ve por aquí atrás ok estamos pensando en esta función y que nos da una superficie trasera digamos esta sería nuestra g1 también tendremos bueno esto está esta región azul esta es nuestra región de dos que es la región en donde está definido en los puntos 10 eta y ahora necesitamos una que es una función que esté por delante digamos que sea esta otra parte de la circunferencia o menos así vamos a dibujar un poco menos mejor esta caída y así queda correcto entonces esta parte de adelante es nuestra función c1 c1 y es la que define también al cilindro como una una superficie de tipo 2 vámonos con la última con el último ejemplo vamos a tomar este último ejemplo en donde teníamos nuestra especie de reloj de arena entonces aquí en la superficie vamos a recordar un poquito la figura este es el reloj de arena entonces podemos definir en el plano z justo esta figura que más o menos hace este reloj ok que de que debe quedar claro que en realidad esta figura está únicamente en el plano que se está ahora qué es lo que vamos a hacer análogamente definimos que esta región de atrás esta región de atrás del reloj de arena sea nuestra función g1 esta esta de aquí y de frente también necesitamos definirla entonces tenemos una función aquí y definida para todos estos valores de gm déjenme ver si puedo dibujarlo de forma que al menos se entienda que es lo que estamos haciendo más o menos es esta superficie muy bien entonces también ya pudimos ver que nuestra nuestra superficie del reloj de arena se puede ver como una región de tipo de tipo 2 ahora sí si nosotros rotamos si nosotros rotamos vamos a hacer una de un reloj de arena un poco rotado si por ejemplo hacemos el reloj de arena de la siguiente forma que la tapa superior este de este lado y entonces el reloj de arena hace algo así - ok si tenemos aquí nuestro reloj de arena entonces de la forma parecida como vimos en el vídeo anterior éste no puede ser una región de tipo 2 no es región de tipo 2 porque por ejemplo nuestra función nuestra función no podemos definir dos funciones que atacó también a la equis y nos damos cuenta de aquí acá hay como como algunas partes en donde tienen que ser funciones distintas entonces ese es exactamente el mismo argumento no podemos tener dos funciones que acoten a equis pero ésta está si es de tipo 1 podemos definir una región en en el plano xy y después acotar a z por dos funciones pero ésta no puede ser de tipo 2