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Transcripción del video

en este vídeo voy a intentar demostrar o más bien en los próximos videos intentaré demostrar un caso muy especial del teorema stoxx el teorema stocks para una versión digamos muy especial y estoy haciendo esto porque sus demostraciones un poco más sencilla y al mismo tiempo es muy convincente en el caso especial que suponemos es que la superficie con la que con la que estamos trabajando es la gráfica de una función que depende de x ideye que están en alguna región r es decir si me das un punto equis o ye particular sólo determina un único punto en esta superficie entonces es un es como un mapeo de esta región r a la superficie que ya está en tres dimensiones así que esta prueba no aplica superficies como son las esferas o algo así donde en cada punto se le pueden asociar a otros dos puntos en el espacio o algo así pero bueno este es un muy buen comienzo la otra cosa que que vamos a suponer es que nuestra función z que que es la altura digamos es una función de x ideye pero además que tiene derivadas de segundo orden continuas entonces vamos a notar eso son derivadas de segundo orden continuas continuas ok y eso eso para qué lo hacemos bueno eso lo que nos va a permitir esencialmente es que cuando yo tomé la deriva de z con respecto de yee y luego de ome su derivada al respecto de x men o esencialmente esto va a ser la derivada primero respecto de x y luego respecto de ye es decir que las derivadas cruzadas vamos a llamarlo así sean iguales esto es para lo que vamos a utilizar que sus derivados de segundo orden sean continuas y bueno hablemos un poquito también de nuestro campo vectorial porque queremos hacer es evaluar la integral del campo de vectorial a lo largo de la curva no entonces vamos a pedir que las derivadas parciales de primer orden de nuestro campo vectorial sean continuas ok entonces con esto dicho vamos a ver qué nos dice el teorema de vamos a tratar de ver cuándo es cierto el teorema stocks entonces el tema stocks nos dice que la integral del campo vectorial punto de rr a lo largo de nuestra curva se que ir que de hecho es una curva cerrada así que le podemos poner esto cuál es nuestra curva bueno la va a estar pintando en azul esencialmente es esta que es la frontera de nuestra superficie a estamos pensando en una superficie que está acotada por esta curva que digamos es suave y blas las cosas que ya hemos dicho no en otro video entonces ésta integral de línea va a ser igual a la integral doble que es esencialmente de superficie al hecho de que no ponerlo con este color va a ser la integral sobre nuestra superficie sé de quién pues va a ser del rotación al df rotación al df punto de efe.es ok esta es una integral de superficie entonces en este vídeo y el próximo vamos a enfocarnos en desarrollar esta parte de aquí déjenme mostrarlo la parte de la derecha vamos a tratar de desarrollar la parte de la derecha y en los siguientes vídeos tratar de desarrollar la parte de la izquierda y ver si coinciden en algún momento ok entonces para ir empezando esto vamos a ver quién es el rey el rotación al df entonces vamos a calcular el rotación al df que recordemos que lo podemos ver cómo el hombre o el operador gradiente cruz el campo vectorial que significa es bueno esto es en realidad es un determinante verdad son determinante donde tenemos a los vectores canónicos y al vector canónico j y al vector canónico k que lo voy a hacer con verde vamos a ponerlo con verde ok tenemos estos vectores esto es un determinante que en realidad es notación recordemos que esto sólo es notación y luego quién va a ir aquí bueno pues va a ir él el operador gradiente pero s es simplemente es la parcial respecto de x la parcial respecto de yee y la parcial respecto de z quien va en el último renglón pues el los elementos o las entradas de nuestro campo vectoriales de que los voy a poner en azul que es p q y r que son funciones que dependen de tres variables x jay z que están de hecho acá arriba entonces vamos a calcular esto quienes esto pues si empezamos con nuestro vector y el vector y va a multiplicar a quién pues a la parcial respecto de ye de r - la parcial respecto de z de cuba entonces la parcial de rr respecto de ye - la parcial de cv respecto de zeta luego va - - - j que multiplica a quién vamos a quitar columna y renglón de jota y nos queda la parcial de r respecto de x rx - la parcial del pp respecto de z parcial de p respecto de zeta y ahora quién nos queda más cada vez es bueno el vector acá por la parcial de cv respecto de x q psuv x - la parcial de p respecto de ye entonces este es el rotacional de efe y ahí voy a dejarlo estoy estoy tratando de hacer vídeos cada vez más cortos así que en el próximo video voy a intentar expresar de ese diferencial de ese y luego evaluar este producto punto para poder así llegar a la integral de superficie ya después veremos quién es la integral de efe a lo largo de una curva y veremos qué esto en realidad coincide