Demostración del teorema de Stokes (parte 2)

vamos ahora parametrizar la superficie que tenemos aquí y luego veremos cómo calcular de ese para que así podamos hacer más cuentas sobre esta integral de superficie que tenemos del lado derecho que era nuestro primer objetivo de esta de esta lista de vídeos entonces para empezar a parametrizar lo simplemente pues vamos a ir definiendo una función digamos r que depende de dos parámetros pero si nos damos cuenta aquí ya estan esos dos parámetros ya que la superficie es la gráfica de la función de z verdad entonces simplemente los parámetros serán esas dos variables de las cuales depende nuestra función z y decimos primero que pues si tenemos un punto digamos amarillo aquí en la región r ok entonces ya tenemos x es decir ya tenemos localizado un punto x de x aquí en la región r y ese punto simplemente lo subimos con z entonces en la dirección simplemente tenemos a x vamos a sumar en la dirección j pues ayer ok y en la dirección z que es hacia arriba perdón en la dirección del vector k es simplemente la función zeta que depende de x y correcto entonces ya que tenemos esta función pues simplemente hay que restringir en donde estamos moviendo los parámetros y en este caso los parámetros se encuentran sobre ere es decir x que está en nuestra región r porque si tenemos un punto fuera de la región pues ya no estamos considerando ese pedazo de la superficie si es que existe entonces con esto estamos ya completando la parametrización y ya estamos listos para calcular quién es de ese vamos a movernos un poquito hacia abajo y entonces de ese recordemos que de ese simplemente es el producto cruz de nuestros vectores que resultan de ser las derivadas parciales de nuestra función r y que simplemente son los cambios direccionales en al mover nuestros parámetros correcto entonces ya con esto dicho también tenemos que multiplicar por una diferencial de área correcto en otros términos si lo escribimos matemáticamente estamos diciendo que vamos a tener que hacer el producto cruz de nuestros vectores direccionales digamos rx cruz r y aja que son las derivadas parciales ya esto hay que multiplicarlo por los cambios los cambios que hay tanto en la dirección x como en la dirección ya que si no queremos volvernos medio engorrosos con la anotación simplemente lo podemos poner como una diferencial de área entonces esto es de s vamos a vamos a ver ahora que este producto cruce es decir nuestro vector normal a la superficie que es así es como se cae se calcula está realmente en la dirección que queremos porque si recordamos y si queremos atravesar esta está esta curva que es la frontera de nuestra superficie pues tenemos que garantizar que el producto y apunta siempre o más bien que si vamos recorriendo en este sentido siempre tengamos del lado izquierdo la superficie ok y eso implicaría que nuestro producto cruzó el vector normal apunta hacia arriba muy bien es decir es como si colocamos nuestra cabeza en dirección del vector normal entonces vamos a ver cómo nos movemos como es r x la derivada de r respecto de x por ejemplo si estábamos en este punto al movernos en la dirección x pues simplemente es movernos de esta forma ok y si nos movemos en la dirección o en la dirección del vector j es movernos en esta dirección por lo tanto vamos a recordar cómo es la regla de la mano derecha simplemente en la dirección del primer vector ponemos nuestro dedo índice ok en la dirección del segundo vector ponemos nuestro dedo digamos en medio y realmente no nos importa qué pasa con los otros dedos no pueden estar así digamos ok y ya una vez hecho esto pues si ustedes colocan sus dedos de esa forma en la dirección donde queda el pulgar es a donde apunta el vector normal entonces esto quedaría más o menos de esta forma ok y entonces nuestro vector normal si apunta en esta dirección entonces estamos muy bien estamos parametrizado muy bien de hecho estamos calculando muy bien el producto cruz apunta justo de la de la forma en que queremos si invirtiéramos el orden pues apuntaría hacia abajo pero bueno con esto basta y ahora sí vamos a calcular esto vamos a ver quiénes rx vamos a bajar un poquito más quienes ere x cruz r quién es esto bueno pues esto lo podemos calcular como el determinante de una matriz bueno no es una matriz como tal sino como técnicamente al menos es eso donde ponemos a los vectores canónicos y el vector canónico j y el vector canónico k que apuntan en las direcciones horizontal vertical y hacia digamos de altura ok y saca y aquí va a ir el vector rx la derivada de r respecto de x pero quién es ese es derivar cada una de las entradas respecto de x entonces al derivar la primera nos queda 1 al derivar la segunda nos queda 0 porque sólo está ahí y al derivar la tercera nos queda la derivada parcial de 7 respecto de x correcto entonces esto estamos suponiendo entonces que la función zeta es es derivable al menos en ese punto entonces vamos ahora a calcular el vector r es decir la derivada de r respecto de ella y al derivar la primera entrada respecto de llenos de a 0 al derivar la segunda nos queda uno y al derivar la tercera nos queda detalle es decir la derivada de zeta respecto de y vamos a calcular esto entonces nos tomamos nuestro primer elemento que es que multiplica al quitar la columna y el renglón de iu pues nos queda el determinante de esta sub matriz que simplemente es menos zeta x correcto luego nos vamos con él con el segundo elemento y le cambiamos el signo esto va a multiplicar al quitar renglón y columna nos queda el determinante de una sub matriz que simplemente es detalle correcto es la derivada de z respecto de iu y ahora simplemente nos tomamos nuestro vector k nuestro vector k quitamos su renglón y su columna y nos que el determinante de esta sub matriz que es 1 entonces así es simplemente como se queda no voy a escribirlo un poquito más agradable esto simplemente será menos se está sub x es decir la derivada de 7 respecto de x por y menos la derivada de zeta respecto de y por jota más acá