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Demostración del teorema de Stokes (parte 3)

Escribir nuestra integral de superficie como una integral doble sobre el dominio de nuestros parámetros. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

ya hemos montado todo lo necesario para expresar esta integral de superficie que es la parte derecha del teorema de stocks y que escribimos completo aquí ahora podemos expresar esto como un integral doble sobre el dominio de los parámetros que nos importan esto es lo que haremos en este vídeo lo que haremos en los siguientes será hacer lo mismo pero con esta expresión de la izquierda usando el teorema de greene y veremos que obtenemos las mismas expresiones que del lado derecho y así demostraremos que el teorema de 'stocks' es cierto al menos para esta clase especial de superficies con la que empezamos aquí pero en realidad este teorema es mucho más general entonces vamos a intentar hacer eso ahora vamos a escribir la integral de superficie de quien del rotacional de f esto es la parte derecha del teorema stoxx punto de ese punto de s entonces si nos damos cuenta el rotacional ya lo habíamos encontrado de este lado aquí está el rotacional y el de ese ya lo tenemos acá esto es de s es igual a todo esto ok y esto y multiplicado por una diferencial de área entonces aquí está la de s simplemente hay que hacer producto punto con el rotacional entonces vamos a ir haciendo esto porque esto se convierte en una integral doble sobre el dominio r que quien es el dominio r pues el dominio r es justamente este donde estamos moviéndonos sobre los parámetros entonces es la integral doble sobre el dominio r pero ahí se vea absolutamente todo lo que necesitamos de quién bueno pues tenemos que multiplicar las coordenadas en y entonces tenemos menos zx con ere y menos cruceta entonces el menos lo que va a hacer con esta resta es que cambien digamos que estos dos los pueda intercambiar en esta resta y simplemente me va a quedar zx que multiplica a q zeta - xerez y ok esta es la parte en la coordenada i ahora vamos a ver en la en la coordenada j tenemos menos detalle que con este menos de aquí se hace se cancelan y multiplica simplemente a este entonces tendremos más detalle que multiplica a r x menos p z y ahora la última parte es la más sencilla es la más sencilla porque aquí acá no tiene no tiene una función bueno esencialmente es la constante 1 entonces uno va a multiplicar a esta parte vamos a hacerlo con ese mismo color entonces esto será simplemente sumar q x menos correcto entonces ya que ya tenemos esto entonces ya hemos acabado expresamos la integral de superficie como una integral doble en el dominio de los parámetros que nuevamente pues aquí está este es el ere el dominio de los parámetros correcto entonces lo que haremos en los próximos vídeos será hacer lo mismo usando el teorema de greene y veremos que obtenemos exactamente el mismo valor