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Demostración del teorema de Stokes (parte 6)

Más sobre la manipulación de las integrales... Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en donde nos quedamos expresamos la integral del ine a lo largo de nuestra superficie en términos de la diferencia al dt y eso en el dominio del parámetro t todo eso lo sacamos de ese punto de r lo que quiero hacer en este vídeo es un poco de manipulaciones algebraicas para aplicar después el teorema de greene que aunque no nos dará tiempo de hacerlo en este vídeo pero así veremos después que es lo mismo que cuando calculamos la integral de superficie hace ya algunos vídeos que era justo está esta misma expresión entonces lo que voy a hacer primero es es calcular esta integral esta integral vamos a reagrupar lo de alguna forma especial por ejemplo vamos a escribir esto como la integral desde ave y lo que voy a hacer es agrupar primero todos los términos que tengan a la derivada de x respecto de t entonces por ejemplo aquí tenemos este término que tiene la derivada de x respecto de t y también tenemos este este también lo tenemos pero bueno simple aquí estoy pensando realmente que estoy haciendo la distribución de este producto no estamos pensando que re multiplica a estos dos suman dos así que en realidad estaremos tomando este primer sumando correcto entonces si tomamos estos dos que marque con amarillo lo que vamos a tener es simplemente a p más r veces zeta la derivada de zeta respecto de x que multiplica a la derivada de x respecto de t muy bien ahora vamos a tomarnos todos los que los términos que tienen a la derivada de ye respecto de t que en este caso es este y este otro término ok que en realidad es r por esté sumando entonces vamos a tener vamos a tener factor izando a la derivada de ye respecto de t aqu + ere por la derivada parcial de z respecto de y que multiplica a la derivada de y respecto de t y todo esto hay que multiplicarlo por la diferencial de t todo esto va x la diferencial de t y esto se empieza a volver extraño y un poquito familiar porque justamente es lo que habíamos obtenido o más o menos de la misma forma que lo que obtuvimos aquí en esta integral de hace algunos vídeos ok entonces ya es bastante parecido pero justamente eso nos permite que podamos aplicar este resultado así que déjenme copiar y pegar esta expresión pero por ahí vas te nuts y así no vamos a intentarlo una vez más creo que con esto bastará ok entonces copiar y pegar vamos a pegarlo aquí muy bien ahí está entonces si lo pegamos aquí vamos a dejarlo esto por aquí muy bien ahí servirá entonces una vez que ya hemos hecho esto podemos comparar fíjense esta expresión con la que tenemos acá arriba en este caso lo que va a suceder es que esta parte es más r zx jugará el papel de m porque después multiplica a la derivada de x respecto de t y este de éste resulta de simplemente distribuir este este dt con éste con éste suma con esta suma correcto entonces el papel de la m lo va a jugar p más rbc es la derivada de zeta respecto de x y el papel de nuestra n que es la que multiplica la derivada de ye respecto de t pues lo jugará este de acá éste será n correcto entonces ya que tenemos esto podemos reescribirlo como la integral de línea de sobre la curva se 1 entonces ya no estamos en la región del parámetro es decir estamos como des parametrizado esta integral porque ahora lo que vamos a hacer es simplemente escribir esto utilizando esta expresión que tenemos aquí abajo vamos a utilizar la íbamos a escribirlo como la integral de línea sobre c 1 que se 1 es la frontera de nuestra región r entonces vamos a escribirlo como esta integral de línea que como es una línea cerrada le podemos poner este si está este circulito de quien pues será de m que en este caso es p más ere por la derivada de zeta respecto de x por de equis n por 10 pero n es q mas ere z y de correcto entonces estas afirmaciones todas las que hemos hecho son análogas realmente calcular esta integral es equivalente a calcular esta otra integral por esta propiedad por que que vimos hace en unos vídeos como repaso entonces lo que es poderoso de haber llegado a este punto es que ahora podemos aplicar el teorema de greene a esta última integral y con esto podríamos llevarlo esencialmente a una integral doble sobre la región acotada por esta trayectoria hace 1 que es la que cumpla la que rodea a la región r y cuando empecemos a jugar con esto veremos que veremos que llegamos a la misma expresión al mismo resultado que llegamos en otros vídeos y que es justamente este entonces ahí le voy a parar para continuar en el próximo vídeo