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Demostración del teorema de Stokes (parte 7)

Usar el teorema de Green para terminar la demostración. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

donde nos quedamos en el último vídeo habíamos expresado nuestra integral de línea a lo largo a lo largo de la frontera a nuestra superficie de esta frontera estamos calculando la integral de línea sobre la frontera de ese punto de r donde la trayectoria era la frontera de s ese era nuestra superficie ok entonces esta está le expresamos en términos al final de una integral de línea esta integral de línea pero alrededor de una curva c1 donde se 1era la frontera de nuestra región r y la razón por la cual esto será valioso para nosotros es porque podremos usar el teorema de green directamente a esta a esta última expresión de acá abajo y llevarlo a una integral doble sobre la región r acotada ok entonces así que vamos a hacerlo vamos a utilizar el teorema de green vamos a usar el teorema de green y vamos a aplicarlo directamente aquí entonces vamos a usar él teorema de green de green ok y vamos a utilizarlo sobre esta última que esta última realmente la obtuvimos de esta expresión de aquí abajo aunque nosotros utilizamos esta expresión de aquí abajo para llegar de esta última integral o esta penúltima donde sobre la región digamos sobre la línea donde está definido el parámetro t lo utilizábamos para llevarlo a una integral de línea sobre la trayectoria cerrada c 1 entonces vamos a usar el teorema de green que es lo que nos dice el teorema de green que esta integral la podremos llevar a una integral doble sobre nuestra región r de quien de la derivada parcial respecto de x de la segunda parte es decir de q q más r por la derivada de z respecto de i eso mismo con blanco y después hay que restar la derivada parcial respecto de y de la primera parte que es p de más de bs es la derivada de zeta respecto de x vamos a cerrar esto y hay que multiplicar por nuestra diferencial de área entonces lo que queremos es ver que llegamos a la misma expresión que teníamos aquí arriba eso es lo que nos gustaría para finalmente decir que el teorema de 'stocks' es cierto al menos para este este caso especial que nos estamos tomando entonces hay que recordar muy bien quiénes eran pq y r aquí estaban las funciones pq y r donde p q r dependen de x jay-z pero no hay que perder de vista algo z es una función que depende de xy de y entonces realmente pq jr dependen de x y y de zeta que al final de cuentas depende de xy de y entonces a la hora de derivar parcialmente respecto de x o de alguna de estas funciones tendremos que cuidar muy bien cómo lo hacemos tenemos que usar la regla de la cadena en varias variables porque al final de cuentas q puede cambiar respecto de x pues simplemente cambiando respecto de x o también puede cambiar respecto de z que después cambia respecto de x correcto porque z puede cambiar respecto d entonces si esto no te ha confundido mucho vamos a seguir vamos a tomar la derivada parcial respecto de x de q yo creo que con un ejemplo será mucho mejor entonces como derivamos respecto de q pues primero simplemente podemos tomar la derivada de q respecto de x pero también podemos tomar la derivada de q respecto de zeta y multiplicar por la derivada de zeta respecto de x todo esto es el cambio que puede tener q respecto de x verdad esto es simplemente haber usado la regla de la cadena ahora bien también si por ejemplo queremos tomar la derivada respecto de x de esta segunda parte de ere por la derivada de zeta respecto de ye pues primero tenemos que usar la regla del producto que me dice es primero la derivada de este primero por el segundo más la derivada del segundo por el primero entonces tendremos que tomar la derivada de r respecto de xy multiplicarlo por la derivada de 7 respecto de jay ahorita vemos que más tenemos que agregar entonces como derivó r respecto de x pues igual que cuando derivamos a q tomamos la derivada de r respecto de x y también puede cambiar respecto de z que cambia respecto de x ok esto fue haber utilizado la regla de la cadena y hay que multiplicar por el otro término que es la derivada de zeta respecto de ella y ahora hay que sumar la otra parte la la derivada respecto de x de la derivada de zeta respecto de iu por r eso simplemente es la derivada de zeta respecto de iu y luego respecto de x que multiplica a la función r muy bien ya tenemos esta primera parte vamos a sacar esta segunda entonces vamos a calcular la derivada parcial respecto del pp quien es eso la derivada parcial de t respecto y después es simplemente la derivada de t respecto de y más la derivada de p respecto de z porque z puede cambiar respecto de ella entonces esto fue haber utilizado la regla de la cadena y vamos a todo esto que vamos a ir encontrando ahora la derivada parcial respecto de jett de esta segunda parte dejen de utilizar los mismos colores que use anteriormente entonces de forma muy parecida podemos ver que esto es la derivada parcial de r respecto de ye más la derivada parcial de r respecto de z por la derivada de z respecto de y que multiplica al otro término que en este caso es la derivada de zeta respecto de x y hay que sumar ahora la la derivada de zeta primero respecto de de de quien derivamos primero de x y luego vamos a derivar respecto de y que multiplica a r entonces aquí utilizamos la regla del producto en esta en este es el segundo término ahora bien vamos a utilizar un poquito de álgebra para ver que esto es esencialmente es lo mismo que teníamos arriba porque bueno primero vamos a simplificar vamos a dejar esto igual la primera parte en rojo la derivada de q respecto de x la derivada de q respecto de z por la derivada de 7 respecto de x y vamos a hacer vamos a distribuir este producto entonces tendremos la derivada de respecto de x que multiplica la derivada de zeta respecto de y es simplemente hacer esta multiplica multiplicación más la derivada de r respecto de z por la derivada de zeta respecto x por la derivada de zeta respecto de iu y ahora hay que sumar este último término que es la derivada de aceptar primero respecto de ella y luego respecto de x por r y vamos a restar la parte de acá abajo vamos a restar la ching vamos a hacerlo con el mismo color la derivada vamos a restar la derivada de p respecto de y menos la derivada de t respecto de z por la derivada de z respecto de y menos y hacemos este es la distribución de este producto y es la derivada de r hacerlo con el mismo color azul menos la derivada de r por la derivada de 7 respecto de x menos la derivada de r respecto de zeta ceta jay-z x y hay que restar también esta última parte que es la derivada de zeta respecto de xy luego respecto de ye por r y ahora hay que notar algo hay que simplificar esto porque si nos damos cuenta estos dos términos son los mismos excepto que invertía el orden de los productos entonces esto es esencialmente lo mismo y ahora también recordemos algo muy importante que nuestra función zeta tenía que ser déjenme ver si lo escribí aquí aquí lo escribí que sus derivadas de segundo orden son continuas lo cual nos dice que sus derivadas cruzadas son iguales entonces si eso es cierto estas estos dos términos son también iguales entonces se pueden cancelar sin ningún problema y finalmente al simplificar esto es lo que nos queda dentro de la integral sobre la región r por lo tanto vamos a expresar lo pero con un poquito de preámbulo porque queremos llegar a esta expresión entonces vamos a factorizar lo que tiene la derivada de zeta respecto de x y lo que tiene la derivada de zeta respecto de iu y lo que no tiene nada para ver si se parece o no a eso que quiere que quisiéramos llegar ok entonces nos tomamos vamos a tomarnos con azul como estaba arriba lo que tiene la derivada parcial resta de z respecto de x que son estos dos entonces tenemos la derivada de zeta respecto de x que multiplica a la derivada de q respecto de zeta menos la derivada de r respecto de i y ahora si factor izamos lo que tiene la derivada parcial respecto de la derivada de zeta respecto de jay que son estos dos tendremos la derivada de zeta respecto de ella que multiplica a la derivada de r respecto de x menos la derivada de p respecto de zeta y sumamos lo que no tiene nada es decir estos dos entonces tendremos la derivada de q respecto de x menos la derivada de p respecto de ella y esto sí esto sí es lo que hay que integrar a lo largo de nuestra región r y hay que multiplicarlo por nuestra diferencial de área entonces vamos a ver vamos a ver si esta última expresión que obtuvimos déjenme copiarla y pegarla es igual a la que teníamos arriba entonces copiamos vamos a ver si es igual a ésta vamos a pegarla y fíjense nada más yo sé que se está encimando ahorita pero bueno lo voy a quitar en unos momentos entonces estas dos integrales ya pudimos haber visto que son idénticas no tienen ningún cambio excepto quizás en en los colores así que nuestra integral de línea vamos a retomarlo todo lo que estamos viendo acá arriba nuestra integral de línea del campo vectorial sobre la curva se se simplificó a esa última expresión a esta a esta de aquí y la integral de superficie también se simplificó a lo mismo así que usando las suposiciones que teníamos ambas se si se simplifican a la misma cosa entonces ahora sabemos que para este caso especial en donde la superficie está dada por la gráfica de una función la integral de línea esta integral de línea es igual a la integral de superficie ya hemos acabado demostrando que el teorema de stocks para este caso es cierto