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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 2

Lección 11: La divergencia y el rotacional (artículos)

El rotacional: rotación de un fluido en tres dimensiones

El rotacional es un operador que mide la rotación en el movimiento de un fluido descrito por un campo vectorial de tres dimensiones.

Antecedentes

Observa: A lo largo de este artículo usaremos la siguiente convención

$\hat{i}$ ‍ representa al vector unitario en dirección de la coordenada $x$ ‍.
$\hat{j}$ ‍ representa al vector unitario en dirección de la coordenada $y$ ‍.
$\hat{k}$ ‍ representa al vector unitario en dirección de la coordenada $z$ ‍.

Qué vamos a construir

El rotacional es un operador que toma una función, la cual representa un campo vectorial de tres dimensiones, y le asigna otra función que representa un campo vectorial diferente de tres dimensiones.
Si un fluido se esparce en un espacio de tres dimensiones a lo largo de un campo vectorial, entonces la rotación de dicho fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dada por el rotacional del campo vectorial original evaluado en ese punto. El campo vectorial rotacional se debe multiplicar por un medio para que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez rotacional del fluido.
Si una función que toma valores de vectores tridimensionales $\vec{v} (x, y, z)$ ‍ tiene como funciones componentes a $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ y $v_{3} (x, y, z)$ ‍, entonces el rotacional se calcula de la siguiente manera:
$\underset{Notación para el rotacional}{\underset{⏟}{\nabla \times \vec{v}}} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k}$ ‍

Describir la rotación con un vector

Si un objeto está rotando en dos dimensiones, puedes describir completamente la rotación con un número: la velocidad angular. Una velocidad angular positiva indica que la rotación es en sentido contrario de las manecillas del reloj mientras un número negativo indica una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. El valor absoluto de la velocidad angular describe la velocidad de la rotación, normalmente en radianes por segundo.

Para un objeto rotando en tres dimensiones, la situación es más complicada. Necesitamos representar tanto la velocidad angular como la dirección en el espacio de tres dimensiones en el que el objeto está rotando.

Para hacer esto, la rotación en tres dimensiones normalmente se describe usando un simple vector. La magnitud del vector indica la rapidez angular y la dirección es determinada por una convención muy importante llamada la "regla de la mano derecha".

REGLA DE LA MANO DERECHA: dobla los dedos de tu mano derecha en la dirección de la rotación y extiende tu dedo pulgar. El vector que representa esta rotación en tres dimensiones está, por definición, orientado en dirección de tu dedo pulgar.

Tu dedo pulgar debe apuntar a lo largo del eje de rotación. Adoptar esta convención de usar la mano derecha en vez de la izquierda nos permite distinguir entre una rotación en tres dimensiones y su rotación inversa. Básicamente, esto extiende la idea del sentido de las manecillas del reloj y el sentido contrario de las manecillas del reloj en tres dimensiones.

Por ejemplo, la rotación de la Tierra en el espacio se describiría usando un vector que apuntara desde el centro de la Tierra hacia el polo norte, cuya longitud es igual a la rapidez angular de la rotación de la Tierra (que resulta ser

0.0000729

radianes/segundo).

Repaso de rotación de un fluido en dos dimensiones

En la introducción al rotacional, presentamos cómo un fluido se mueve a lo largo de un campo vectorial de dos dimensiones definido por una función.

\begin{aligned} \vec{v} (x, y) & = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \end{array}] \\ = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} \end{aligned}

La siguiente animación muestra una simulación de este fenómeno, en el cual las partículas del fluido (dibujadas de color azul) siempre se mueven en la dirección del vector más cercano. Con el fin de estudiar el rotacional, nota qué pasa dentro y alrededor de las regiones circulares.

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El fluido rota en sentido contrario a las manecillas del reloj en los círculos de la izquierda y la derecha, y en sentido de las manecillas del reloj en los círculos de arriba y abajo. En el estudio del rotacional, la pregunta clave es esta: ¿qué tanto rota el fluido alrededor de un punto específico $(x_{0}, y_{0})$ ‍ en el plano?

En el último artículo, dimos una idea intuitiva de que la respuesta a esta pregunta es lo que llamaríamos el rotacional en dos dimensiones de

\vec{v}

, el cual tiene la siguiente fórmula:

\begin{array}{r} rotacional en dos dimensiones \vec{v} (x_{0}, y_{0}) = \frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}

En este caso,

v_{1}

v_{2}

son las componentes de la función vectorial

\vec{v}

. Por ejemplo, con el campo vectorial expresado arriba, definido por

(y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j}

, la respuesta sería

\begin{aligned} \frac{\partial (x^{3} - 9 x)}{\partial x} - \frac{\partial (y^{3} - 9 y)}{\partial y} & = 3 x^{2} - 9 - (3 y^{2} - 9) \\ = 3 x^{2} - 3 y^{2} \end{aligned}

Observación, el resultado es una función escalar. Evalúas un punto, como

(2, 1)

, y obtienes un único número que indica la velocidad angular del fluido alrededor del punto,

3 (2)^{2} - 3 (1)^{2} = 12 - 3 = 9

. Resulta que este número representa dos veces la rapidez angular del fluido alrededor del punto, así que la rapidez de rotación es

4.5

radianes/segundo (más adelante hablaremos más sobre esto). El punto importante es que obtengas un simple escalar que describa la rotación.

Esto debe tener sentido porque la rotación de un único objeto en dos dimensiones puede ser representado con un único número (o escalar), así que la rotación alrededor de todos los posibles puntos en un fluido desplazándose debe ser representada con una función escalar

Pregunta para reflexionar: en la animación del flujo de fluido mostrada anteriormente, ¿el fluido tiene una componente rotacional en el origen

(0, 0)

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
Sí, en el sentido de las manecillas del reloj
(Elección B)
Si, en sentido contrario de las manecillas del reloj
(Elección C)
No

Al evaluar la fórmula $3 x^{2} - 3 y^{2}$ ‍ que se encuentra arriba en el punto $(x, y) = (0, 0)$ ‍, obtenemos $3 (0)^{2} - 3 (0)^{2} = 0$ ‍. Esto quiere decir que no hay rotación del fluido alrededor de este punto.
Esto debería ser consistente con la animación de arriba. Alrededor del origen, las partículas del fluido entran desde la región superior derecha e inferior izquierda y salen hacia la región superior izquierda e inferior derecha, pero no hay una rotación detectable de cómo hacen esto.

Moverse a tres dimensiones

Como preparación para movernos hacia tres dimensiones, vamos a expresemos la rotación del fluido anterior utilizando vectores. Enfoquémonos en la región de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj, tal como lo muestra la animación anterior en el círculo hasta la derecha. Imagínate que mueves los dedos de tu mano derecha alrededor de este círculo, de tal manera que apunten en la dirección de las flechas (en sentido contrario a las manecillas del reloj en este caso), y extiende tu pulgar. Tu pulgar debe estar apuntando hacia afuera de la página, en una dirección positiva sobre el eje

z

, paralelo al vector unitario

\hat{k}

Si hiciéramos esto en cada punto, asignando un vector a la rotación alrededor de cada punto en el plano

x y

de acuerdo a la fórmula

rotacional en dos dimensiones \vec{v} (x, y) = 3 x^{2} - 3 y^{2}

, obtendrías algo así:

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Los vectores que apuntan en una dirección positiva sobre el eje

z

indican que la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de ese punto. Los vectores que apuntan en la otra dirección indican que la rotación es en sentido de las manecillas del reloj, como vimos previamente en el plano

x y

. La longitud de cada vector indica la rapidez de la rotación. Puedes describir este sistema de vectores con la expresión

$(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

Esto es prácticamente un campo vectorial en tres dimensiones salvo que solo estamos observando puntos en el plano

x y

, no en todo el espacio. El rotacional por sí mismo únicamente sirve en campos vectoriales de tres dimensiones, así que para poder presentar adecuandamente el siguiente material, hagamos propiamente un ejemplo en tres dimensiones. Para empezar, extendamos nuestra función vectorial original

\vec{v}

a una función similar en tres dimensiones

{\vec{v}}_{3 d}

\begin{array}{r} {\vec{v}}_{3 d} (x, y, z) = [\begin{array}{c} y^{3} - 9 y \\ x^{3} - 9 x \\ 0 \end{array}] = (y^{3} - 9 y) \hat{i} + (x^{3} - 9 x) \hat{j} + (0) \hat{k} \end{array}

Para ser un campo vectorial en tres dimensiones esto todavía se ve muy plano, ¿verdad? La componente

\hat{k}

0

en todos lados y ninguna de las componentes depende del valor de entrada

z

. Básicamente solo copiamos el campo vectorial original de dos dimensiones en cada rebanada del espacio de tres dimensiones de manera paralela al plano

x y

El siguiente video muestra cómo se ve el campo vectorial

{\vec{v}}_{3 d}

, en el cual mantenemos el plano

x y

(de color gris) y los círculos rojos como puntos de referencia. Observa que en cada plano paralelo al plano

x y

, los vectores son idénticos a los vectores originales que estaban en el plano

x y

del campo vectorial de dos dimensiones

\vec{v}

de la sección anterior.

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De nuevo, imagínate que este campo vectorial está representando el movimiento de un fluido, como si fuera aire en un cuarto o agua en una piscina. Cuando representamos la rotación de este fluido alrededor de cada punto como un vector añadido a dicho punto, obtenemos un nuevo campo vectorial tal como se muestra en el siguiente video:

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Esto está dado por la función vectorial

$\vec{w} (x, y, z) = (0) \hat{i} + (0) \hat{j} + (3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}$ ‍

Esta es la misma fórmula que teníamos previamente,

(3 x^{2} - 3 y^{2}) \hat{k}

, pero lo importante es que ahora lo aplicamos a todos los puntos

(x, y, z)

en el espacio, no solo a los puntos

(x, y)

en el plano

x y

El hecho de que la entrada $z$ ‍ no afecte al valor de salida refleja que el movimiento de nuestro fluido es el mismo en todas las rebanadas paralelas al plano $x y$ ‍.
El hecho de que las componentes $\hat{i}$ ‍ y $\hat{j}$ ‍ sean $0$ ‍ significa que todos los vectores de rotación apuntan únicamente en dirección del eje $z$ ‍, lo que quiere decir que la rotación del fluido es paralela al plano $x y$ ‍.

Este nuevo campo vectorial (azul)

\vec{w}

es llamado el "rotacional" del campo vectorial (verde) inicial

{\vec{v}}_{3 d}

. Una manera en la que puedes ver esto expresado es

\begin{array}{r} \vec{w} = rot {\vec{v}}_{3 d} \end{array}

Este es nuestro primer ejemplo de un verdadero rotacional en tres dimensiones: el rotacional, como un operador matemático, toma funciones vectoriales en tres dimensiones ${\vec{v}}_{3 d}$ ‍, pensadas como si representaran el flujo de un fluido, y le asigna como valor de salida otra función vectorial en tres dimensiones " $rot {\vec{v}}_{3 d}$ ‍" que representa la rotación alrededor de cada punto del fluido

Visualizar la rotación de un fluido en tres dimensiones

La rotación del flujo de un fluido en tres dimensiones no siempre es paralela totalmente al plano

x y

. Esto puede hacer difícil imaginarse lo que sucede. Muy difícil.

Por ejemplo, imagina que el aire alrededor tuyo está soplando y arremolinándose de una manera caótica. Ahora elige un punto específico

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

en el espacio. ¿De qué manera podrías interpretar el significado de la "rotación del aire cerca de ese punto"?

Aquí hay un par de estrategias:

Imagina que hay una pelota de tenis diminuta cuyo centro es el punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍, pero que puede rotar libremente. A lo mejor has hecho algún tipo de magia para que permanezca ahí o puede que tenga algún tipo de dispositivo ingenioso con suspensión magnética. El aire que sopla alrededor podría estar causando que gire en una dirección u otra. El vector rotacional asociado a ese punto será el vector que describe la rotación de esta pelota de tenis diminuta; de la misma manera, hemos descrito previamente la rotación de la Tierra utilizando solo un vector.

De manera alternativa, imagina una flecha de arquero con unas plumas gruesas y bonitas, como las que Robin Hood lanzaría. Coloca la flecha a la mitad del aire de tal manera que las plumas estén en el punto $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ‍. De nuevo, has hecho algún tipo de magia y logrado que, de alguna manera, la base de la flecha esté fija en este punto, pero tienes la libertad de orientar la flecha en cualquier dirección que quieras y esta rota libremente dependiendo de la manera en la que el viento sopla sobre las plumas.

Si pruebas varias orientaciones para la flecha y encuentras una dirección en la que la corriente de aire provoque que la flecha gire lo más rápido posible, entonces esta es la dirección del vector rotacional en el punto

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

Esto es, de alguna manera, análogo a la manera en la que el gradiente apunta en la "dirección de mayor crecimiento"; el rotacional apunta en la "dirección de mayor rotación".

El rotacional es un operador limitado

Técnicamente, todas las decripciones de arriba describen el movimiento de un fluido en una región: las regiones circulares de la animación, la región que ocupa la pequeña pelota de tenis, la región que abarcan las plumas de la flecha, etc. Ninguna de estas es, literalmente, una rotación en un solo punto.

De hecho, la idea de "rotación en un punto" es un poco ridícula, ¿no? Solo tiene sentido hablar de la rotación de un fluido alrededor de un punto. Sin embargo, el rotacional de un campo vectorial, como una operación matemática, toma un punto como valor de entrada, no una región, entonces qué quiere decir esto realmente

Como con todos los operadores diferenciales, la definición formal del rotacional involucra un proceso limitado. Puedes pensarlo como si tomaras el límite de la rotación en regiones más y más pequeñas, todas rodeando al punto dado. Por ejemplo, imagina que la pelota de tenis de arriba está haciéndose más y más pequeña. Si tienes muchos deseos de ver una definición formal, más adelante veremos la definición formal del rotacional, una vez que hayamos visto integrales de línea.

Ten en mente que todas las descripciones usando animaciones, imágenes de pequeñas bolas rotando, o cualquier cosa por el estilo, necesariamente son aproximaciones sobre lo que realmente está midiendo el rotacional.

Notación y fórmula para el rotacional

Denotemos a

\vec{v}

como una función vectorial en general, con tres entradas

(x, y, z)

y un valor de salida con tres coordenadas. Escribiremos a este valor de salida de tres coordenadas en términos de tres funciones escalares:

v_{1} (x, y, z)

v_{2} (x, y, z)

, y

v_{3} (x, y, z)

\begin{aligned} \vec{v} (x, y, z) & = [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = v_{1} (x, y, z) \hat{i} + v_{2} (x, y, z) \hat{j} + v_{3} (x, y, z) \hat{k} \end{aligned}

La notación del rotacional usa el mismo símbolo "

\nabla

" utilizado en las expresiones del gradiente y la divergencia, y de nuevo lo pensaremos como que representa a un vector de operadores de derivadas parciales:

\begin{array}{r} \nabla = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \end{array}

El rotacional se piensa como el producto cruz de este "vector" con la función

\vec{v}

, que se calculó usando el determinante como de costumbre:

\begin{aligned} rotacional \vec{v} & = \nabla \times \vec{v} \\ = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \times [\begin{array}{c} v_{1} (x, y, z) \\ v_{2} (x, y, z) \\ v_{3} (x, y, z) \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}]) \\ = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}

Ya sé lo que estás pensando: "Es el determinante más extraño que he visto en la vida. ¡Ninguno de los elementos son siquiera números! Un renglón tiene vectores, otro tiene operadores y otro tiene funciones. ¿De verdad se puede hacer eso?" Es un poco raro, desde luego, pero funciona como un truco de notación más que nada.

Cuando "multiplicas" un operador como

\frac{\partial}{\partial x}

con una función como

v_{2}

, realmente no estás multiplicando, sino que estás aplicando el operador para obtener una nueva función,

\frac{\partial v_{2}}{\partial x}

. De manera análoga, multiplicar un vector como

\hat{k}

con una función como

\frac{\partial v_{2}}{\partial x}

resulta en una función vectorial

\frac{\partial v_{2}}{\partial x} \hat{k}

La expresión final para el determinante es la suma de

6

funciones vectoriales como esta

Idea intuitiva de la fórmula

Observemos detenidamente el resultado final:

\begin{array}{r} rotacional \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}

Nota, cada componente es como su propia versión del operador

rotacional en dos dimensiones

que vimos en la introducción al rotacional. De hecho, la componente

\vec{k}

tiene exactamente la misma fórmula que el

rotacional en dos dimensiones

. Esto debería tener sentido porque la componente

\vec{k}

del rotacional debe medir la componente de la rotación del fuido que es paralela al plano

x y

De manera análoga, las componentes

\hat{i}

\hat{j}

miden las componentes de la rotación del fuido paralela a los planos

y z

x z

respectivamente.

\begin{array}{r} (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} \leftarrow Componente del rotacional paralelo al plano y z \\ (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} \leftarrow Componente del rotacional paralelo al plano x z \\ (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \leftarrow Componente del rotacional paralelo al plano x y \end{array}

Una pequeña diferencia que debo subrayar es que cuando evalúas el rotacional cerca de un punto para obtener un vector (pensado como un vector de rotación), la magnitud de ese vector no es igual a la rapidez angular del fluido imaginado alrededor de ese punto. Sin embargo, la magnitud es dos veces la rapidez angular del fluido.

En pocas palabras, esto pasa porque hay dos términos en cada componente, que deberían ser promediados y no sumados.

Veamos el

2º-rotacional

evaluado en un punto

(x_{0}, y_{0})

, ya que todas las componentes del rotacional son de esta forma.

\begin{array}{r} \frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0}) - \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0}) \end{array}

Puedes recordar la idea intuitiva detrás de esta fórmula explicada en el artículo del rotacional en dos dimensiones:

El término $\frac{\partial v_{2}}{\partial x} (x_{0}, y_{0})$ ‍ da la rapidez angular de las partículas de la izquierda y de la derecha $(x_{0}, y_{0})$ ‍.
El término $- \frac{\partial v_{1}}{\partial y} (x_{0}, y_{0})$ ‍ da la rapidez angular de las partículas de arriba y de abajo $(x_{0}, y_{0})$ ‍.

A lo que nos referimos realmente con "rotación total alrededor de

(x_{0}, y_{0})

" es a la rapidez angular promedio de todas las partículas alrededor del

(x_{0}, y_{0})

, así que deberíamos estar promediando las influencias en esas dos direcciones, no sumándolas.

Por ejemplo, piensa en una rueda rotando a

3

radianes por segundo. Los puntos de la parte izquierda y derecha del borde podrían ser descritos como si tuvieran rapidez angular de

3

radianes por segundo cada uno, relativa al centro de la rueda. De manera análoga, los puntos de la parte de arriba y abajo del borde tienen rapidez angular de

3

radianes por segundo, relativa al centro de la rueda. Pero esto no quiere decir que la rotación total de la rueda de pronto sea

6

radianes por segundo. La rotación en sí sigue siendo

3

radianes por segundo.

Los fluidos que rotan son un poco más complicados que una rueda fija, así que la rapidez angular de las partículas por abajo y por arriba de un punto

(x_{0}, y_{0})

pueden no ser iguales a la rapidez angular de las partículas a la izquierda y a la derecha de

(x_{0}, y_{0})

. Aún así, sumar estos dos valores de rapidez no es la manera correcta de medir "la rotación total", promediarlos sí.

Ejemplo: encontrar la rotación de un campo vectorial en tres dimensiones usando el rotacional

Problema: supón que un fluido se mueve en tres dimensions de la manera en la que se muestra en el siguiente campo vectorial

$\vec{v} (x, y, z) = (x^{3} + y^{2} + z) \hat{i} + (z e^{x}) \hat{j} + (x y z - 9 x z) \hat{k}$ ‍

Describe la rotación del fluido alrededor del punto

(0, 1, 2)

Paso 1: evalúa el rotacional (es probable que necesites una hoja de papel para esto).

$\nabla \times \vec{v} =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Primero, encontramos el rotacional para esta función. Personalmente nunca puedo recordar la fórmula para calcular el rotacional. Solo recuerdo que el rotacional es $\nabla \times \vec{v}$ ‍ y escribo el producto cruz completo, con todo y determinante, cada vez que necesito calcularlo a mano:
$\begin{aligned} \nabla \times \vec{v} & = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array}] \times [\begin{array}{c} x^{3} + y^{2} + z \\ z e^{x} \\ x y z - 9 x z \end{array}] \\ = det ([\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^{3} + y^{2} + z & z e^{x} & x y z - 9 x z \end{array}]) \end{aligned}$ ‍
Analicemos este determinante una componente a la vez. La componente $\hat{i}$ ‍ es
$\begin{aligned} \hat{i} det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z e^{x} & x y z - 9 x z \end{array}]) & = (\frac{\partial}{\partial y} (x y z - 9 x z) - \frac{\partial}{\partial z} (z e^{x})) \hat{i} \\ = (x z - 0 - e^{x}) \hat{i} \\ = (x z - e^{x}) \hat{i} \end{aligned}$ ‍
La componente $\hat{j}$ ‍ es
$\begin{aligned} - \hat{j} det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^{3} + y^{2} + z & x y z - 9 x z \end{array}]) & = - (\frac{\partial}{\partial x} (x y z - 9 x z) - \frac{\partial}{\partial z} (x^{3} + y^{2} + z)) \hat{j} \\ = (- (y z - 9 z) + 0 + 0 + 1) \hat{j} \\ = (1 - y z + 9 z) \hat{j} \end{aligned}$ ‍
Y la componente $\hat{k}$ ‍ es
$\begin{aligned} \hat{k} det ([\begin{array}{cc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ x^{3} + y^{2} + z & z e^{x} \end{array}]) & = (\frac{\partial}{\partial x} (z e^{x}) - \frac{\partial}{\partial y} (x^{3} + y^{2} + z)) \hat{k} \\ = (z e^{x} - (0 + 2 y + 0)) \hat{k} \\ = (z e^{x} - 2 y) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Al juntar todo esto, el rotacional es
$\begin{aligned} \nabla \times \vec{v} & = (x z - e^{x}) \hat{i} + (1 - y z + 9 z) \hat{j} + (z e^{x} - 2 y) \hat{k} \end{aligned}$ ‍

Paso 2: evalúa en el punto

(0, 1, 2)

$\nabla \times \vec{v} (0, 1, 2) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Paso 3: interpreta tu resultado

Alrededor del punto $(0, 1, 2)$ ‍, la rotación del fluido es de
radianes por segundo, con rotación casi paralela al

Sobre la pregunta anterior, la rotación del fluido alrededor de $(0, 1, 2)$ ‍ es sobre el eje $- \hat{i} + 17 \hat{j}$ ‍. Ya que la rapidez angular está dada por la mitad de la magnitud del rotacional, la rapidez angular de nuestro fluido alrededor del punto $(0, 1, 2)$ ‍ es
$\frac{1}{2} \sqrt{1^{2} + 17^{2}} \approx 8.51$ ‍ radianes/segundo.
Ya que este vector apunta predominantemente en la dirección $\hat{j}$ ‍, la rotación del fluido alrededor de este punto es casi por completo paralela al plano $x z$ ‍.

Resumen

El rotacional es un operador que toma una función que representa un campo vectorial en tres dimensiones y le asigna otra función que representa un campo vectorial en tres dimensiones distinto.
Si un fluido se mueve en un espacio vectorial de tres dimensiones, el rotacional de este fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dado por el rotacional del campo vectorial original evaluado en dicho punto. El campo vectorial del rotacional debe ser escalado a la mitad si quieres que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez de rotación del fluido.
Si una función vectorial en tres dimensiones $\vec{v} (x, y, z)$ ‍ tiene como funciones componentes a $v_{1} (x, y, z)$ ‍, $v_{2} (x, y, z)$ ‍ y $v_{3} (x, y, z)$ ‍, el rotacional debe ser calculado de la siguiente manera:
$\begin{array}{r} \nabla \times \vec{v} = (\frac{\partial v_{3}}{\partial y} - \frac{\partial v_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial v_{1}}{\partial z} - \frac{\partial v_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial v_{2}}{\partial x} - \frac{\partial v_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{array}$ ‍

Solo por placer

Aquí te presentamos una animación del flujo de un fluido que te mostramos al inicio de este artículo, esta vez cada punto lo vemos de manera más precisa como una gotita de agua, estirada y doblada dependiendo de cómo el campo vectorial ejerce fuerza sobre cada partícula en la gotita. También quitamos los vectores del campo vectorial para que se pueda apreciar más fácilmente cómo se mueve el fluido. Esperemos que esto te dé una idea de qué tan complejo y al mismo tiempo hermoso puede ser el concepto de flujos de fluidos de un campo vectorial.

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borchukluciano
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Ayuda! No entiendo por qu...” de borchukluciano
Ayuda! No entiendo por que la velocidad angular es 1/2 del modulo del vector rotacional...
Ademas siguiendo esta logica, Si trabajara en 3 dimensiones la velocidad angular seria 1/3 del modulo del vector rotacional?
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Respuesta
elaskouski
Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Una consulta, el componen...” de elaskouski
Una consulta, el componente J del rotacional en la fórmula que se plantea (al momento de evualuarlo) no sería negativo? No se terminaría planteando que RotF = + (...)i - (...)j + (...)k ? Porque en todos los sitios donde lo vi explicado aparece así
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Respuesta
- Paul Aguilar
  Publicado hace hace 6 años. Enlace directo a la publicación “Si te fijas veras que el ...” de Paul Aguilar
  Si te fijas veras que el signo lo aplicaron a las derivadas parciales y ya queda como debe de ser :)
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