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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 12: Integrales de superficie (artículos)

Integrales de superficie

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¿Cómo sumas infinitas cantidades infinitamente pequeñas asociadas con puntos sobre una superficie?

Antecedentes

No estrictamente necesario, pero útil para la intuición y analogías:

Integrales de línea

Qué vamos a construir

En principio, la idea de la integral de superficie es la misma que la de las integrales dobles, excepto que en vez de "sumar" puntos en una región plana de dos dimensiones, sumarás puntos en una superficie en el espacio, que es potencialmente curva. La notación abstracta para las integrales de superficie se ve muy similar a la de la integral doble:

$\begin{array}{r} \underset{S representa una superficie}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{Pequeño pedazo de área en S}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

Calcular una integral de superficie es casi igual a calcular el área de superficie usando una integral doble, excepto que ahora meterás una función dentro de la integral:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) \underset{Pequeño pedazo de área}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s}} \end{array}$ ‍

Aquí,

\vec{v} (t, s)

es una función que parametriza la superficie

S

de la región

T

del plano

t s

(Esto es análogo a la similitud que existe entre calcular integrales de línea e integrales de longitud de arco, excepto que pones una función dentro de la propia integral).

Puedes encontrar un ejemplo sobre cómo trabajar con este tipo de integrales en el siguiente artículo.

La idea de las integrales de superficie

Si entiendes las integrales dobles, y entiendes cómo calcular el área de superficie de una superficie paramétrica, prácticamente ya entiendes las integrales de superficie. Solo es cuestión de juntar las dos ideas intuitivas. Dentro de poco veremos el cálculo de integrales de superficie con un ejemplo, pero primero, pienso que es importante que tengas una buena idea de lo que una integral de superficie hace exactamente.

Recordatorio de integrales dobles

Recuerda lo que hace una integral doble:

$\begin{array}{r} \iint_{R} f (x, y) d A \end{array}$ ‍

Donde,

R

representa una región del plano

x y

, y

f (x, y)

es una manera de asociar cada punto de

R

con un número.

Quizá $R$ ‍ representa una hoja de metal, y $f (x, y)$ ‍ representa la densidad en cada punto.
O quizá $R$ ‍ representa una región geográfica, y $f (x, y)$ ‍ representa la temperatura en cada punto.

La integral doble nos proporciona una manera de "sumar" los valores de

f

en esta región. Sin embargo, la idea de "sumar" puntos en una región continua es vaga, así que me gusta imaginar el siguiente proceso:

Corta la región $R$ ‍ en muchos pedazos pequeños.
Multiplica el área de cada pedazo, pensado como $d A$ ‍ por el valor de $f$ ‍ en alguno de los puntos dentro de ese pedazo.
Suma los valores resultantes.

Por ejemplo,

Si $R$ ‍ representa una hoja de metal, y $f (x, y)$ ‍ es una función de densidad, la integral doble te dará la masa de la hoja. (¿Por qué?).
Si $R$ ‍ representa una región geográfica, y $f (x, y)$ ‍ da la temperatura en cada punto, tomar esta doble integral y luego dividir entre el área de $R$ ‍ te dará la temperatura promedio de la región. (¿Por qué?).

Integrales dobles sobre regiones curvas

Pero, ¿por qué quedarnos con lo plano? Esta idea de sumar valores sobre una región continua de dos dimensiones también puede ser útil para superficies curvas.

¿Qué pasa si estás considerando la superficie de un ala curveada de un avión con densidad variable y quieres encontrar su masa total?
¿Qué pasa si tienes la temperatura de cada punto de la superficie curva de la Tierra y quieres saber cuál es la temperatura promedio?

Esta vez, la función

f

, que representa la densidad, temperatura, etc., debe tomar un punto de tres dimensiones porque los puntos en la superficie viven en tres dimensiones. La notación abstracta para integrar una función de tres variables

f (x, y, z)

sobre una superficie es casi la misma que la notación abstracta para integrales dobles:

$\begin{array}{r} \underset{S representa una superficie}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{Pequeña parte de área en S}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

(La notación puede variar dependiendo del autor).

Esta se llama integral de superficie. La pequeña

S

debajo del doble signo de integración representa la superficie misma, y el término

d Σ

representa un pequeño pedazo de área de esta superficie. Puedes pensar las integrales de superficie de la misma manera que las integrales dobles:

Corta la superficie $S$ ‍ en muchos pedazos pequeños.
Multiplica el área de cada pedazo pequeño por el valor de la función $f$ ‍ en uno de los puntos en ese pedazo.
Suma esos valores.

¿Por qué escribir

d Σ

en vez de

d A

? No hay una diferencia real; cada uno representa una pequeña parte del área del objeto sobre el que estás integrando. Sin embargo, cuando hay que hacer cálculos, la manera de manejar un pedazo pequeño de área en una superficie curva es fundamentalmente diferente a hacerlo en una superficie plana, entonces vale la pena enfatizar en la diferencia usando variables diferentes.

Cómo calcular integrales de superficie

La notación abstracta y visiones de cortar el ala de un avión están bien y funcionan, ¿pero de qué manera calculas una de estas integrales de superficie? El truco consiste en convertirla sigilosamente en una integral doble, plana, común.

Específicamente, la manera en la que tiendes a representar una superficie matemáticamente es con una función paramétrica. Tendrás una función vectorial

\vec{v} (t, s)

, que toma puntos en el plano de dos dimensiones

t s

(hermoso y plano), y dé como valores de salida puntos en un espacio de tres dimensiones. También necesitas especificar la región

T

del plano

t s

que se proyecta sobre la superficie

S

El truco para las integrales de superficie es, entonces, encontrar una manera de integrar sobre la región plana

T

que tiene el mismo efecto que integrar sobre una superficie curva

S

. Esto requiere describir lo que significa un "pedazo pequeño de área" de

S

en términos de algo dentro del parámetro.

Casi todo el trabajo para esto fue hecho en el artículo área de superficie. Ahí, vimos cómo un pequeño rectángulo dentro de

T

con área

d t d s

se transforma en un paralelogramo en

S

con área

\begin{array}{r} | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}

Para nuestros deseos de integral de superficie, esto significa desarrollar

d Σ

de la siguiente manera:

$d Σ = | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

Específicamente, así se debe escribir una integral de superficie con respecto al espacio paramétrico:

$\iint_{S} f (x, y, z) d Σ = \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s$ ‍

Desglosemos un poco esa expresión:

$\begin{array}{r} \underset{Integral sobre superficie}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{Área de una pequeña parte de S}{\overset{⏞}{d Σ}} = \underset{\begin{array}{c} Integral sobre el \\ espacio parametral \end{array}}{\underset{⏟}{\iint_{T}}} \overset{\begin{array}{c} Ve en dónde cae cada \\ punto (t, s) en S, \\ luego evalúa en f \end{array}}{\overset{⏞}{f (\vec{v} (t, s))}} \underset{\begin{array}{c} Qué tanto es reescalada \\ una pequeña parte de T \\ después de ser llevada a S por \vec{v} \end{array}}{\underset{⏟}{| \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} |}} \overset{\begin{array}{c} Área de una pequeña \\ parte de T \end{array}}{\overset{⏞}{d t d s}} \end{array}$ ‍

Lo principal es enfocarnos en esto, y lo que hace que los cálculos sean una labor particularmente intensiva, es la manera de expresar

d Σ

En el siguiente artículo, puedes hacer todo un ejemplo de una de estas integrales de superficie.

Resumen

Las integrales de superficie se usan en todo momento que sientas la necesidad de sumar un montón de valores asociados a puntos en una superficie. Esto es el análogo en dos dimensiones de las integrales de línea. Alternativamente, puedes verlo como una manera de generalizar integrales dobles a superficies curvas.

$\begin{array}{r} \underset{S representa una superficie}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} f (x, y, z) \overset{Pequeño pedazo de área en S}{\overset{⏞}{d Σ}} \end{array}$ ‍

Calcular una integral de superficie es casi lo mismo que calcular el área de la superficie usando integrales dobles, excepto que metes una función dentro de la integral:

$\begin{array}{r} \iint_{T} f (\vec{v} (t, s)) | \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} \times \frac{\partial \vec{v}}{\partial s} | d t d s \end{array}$ ‍

Como muchas cosas en cálculo multivariable, mientras la teoría detrás de integrales de superficie es hermosa, calcular una puede ser una labor intensamente dolorosa.

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