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El teorema de Stokes y el teorema fundamental del cálculo

Tanto el teorema de Green como el de Stokes, son versiones en dimensiones superiores del teorema fundamental del cálculo, ¡mira cómo!

Qué vamos a construir

  • Tanto el teorema de Green como el de Stokes, así como otros varios resultados de cálculo multivariable, son simplemente versiones análogas en dimeniones superiores del teorema fundamental.

Repaso rápido del teorema fundamental del cálculo

¿Recuerdas el teorema fundamental del cálculo?
Aquí está lo que dice:
abf(x)=f(b)f(a)
En otras palabras, cuando integras la derivada de una función sobre una región [a,b] de la recta numérica, es lo mismo que evaluar la función misma sobre la frontera de esa región, es decir los números a y b, y sacar su diferencia.

El teorema de Green

El teorema de Green se puede ver como completamente análogo al teorema fundamental, pero para dos dimensiones.
Rrot en 2 dimensionesFdA=CFdr
  • En lugar de sacar la derivada de una función de una variable f, se involucra el rot en dos dimensiones de una función vectorial de dos variables F(x,y).
  • En lugar de integrar esto sobre una región [a,b] de la recta numérica, toma su integral doble sobre una región R del plano xy.
  • La frontera de un rango unidimensional [a,b] es simplemente el par de puntos a y b. Pero como R es bidimensional, su frontera es una curva C.
  • En lugar de evaluar f en los dos puntos frontera a y b y tomar la diferencia, toma la integral de línea de F alrededor de la frontera C orientada en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
La idea subyacente aquí es que cuando integras la "derivada" de una cosa en una región, el valor solo depende del valor de esa cosa en la frontera de la región. Es solo que en dos dimensiones la noción relevante de derivada es rot 2d, y la frontera de una región involucra una curva completa en lugar de un par de puntos.

El teorema de Stokes

El teorema de Stokes lleva esto a tres dimensiones. En lugar de simplemente pensar en una región plana R sobre el plano xy, piensas en una superficie S que vive en el espacio. Esta vez, hagamos que C represente la frontera a esta superficie.
SrotFn^dΣ=CFdr
  • En vez de una función de una sola variable, f, o un campo vectorial bidimensional, F(x,y,z) es un campo vectorial tridimensional.
  • En lugar de sacar la derivada f(x), o el rot 2d, toma el rotacional completo en tres dimensiones de F.
  • En lugar de sacar la integral simple sobre un intervalo [a,b], o una integral doble en una región bidimensional, toma la integral de superficies sobre S en tres dimensiones. Tomar la integral de superfice sobre un campo vectorial involucra sacar el producto punto de ese vector con los vectores unitarios normales.
  • En el lado derecho, en lugar de escribir f(b)f(a), que implica evaluar f sobre la frontera del intervalo [a,b] y tomar la diferencia, tenemos la integral de línea de nuestra función F alrededor de la frontera C de la superficie S, tal y como hicimos para el teorema de Green.

Más generalizaciones

El teorema de la divergencia, visto rápidamente, es otra versión de este fenómeno. Relaciona la integral tripe de la divergencia de un campo vectorial tridimensional en un volumen tridimensional a la integral de superficie de ese campo vectorial en la frontera de ese volumen.
El teorema fundamental de las integrales de línea también cae sobre el mismo principio general, que relaciona la integral de línea del gradiente de una función a los valores de esa función en los límites de la línea.
En general, parece que el universo está tratando de decirnos que cuando integras la "derivada" de una función en una región, en la que el tipo de integración/derivada/región/función involucrada puede ser multidimensional, obtienes algo que solo depende del valor de esa función sobre la frontera de esa región. Pensamos que esta es solo una de las cosas más bellas en matemáticas.

La forma generalizada del teorema de Stokes

En caso de que seas curioso, las matemáticas puras tienen un teorema más profundo que junta todos estos teoremas (y más) en una fórmula muy compacta. Se llama el teorema de Stokes generalizado. El lenguaje para describirlo es un poco técnico, involucra las ideas de "las formas diferenciales" y "variedades", así que no entraremos en eso aquí. Pero si entiendes todos los ejemplos anteriores, ya entiendes la intuición que subyace y la belleza de este teorema unificante.

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