Esta es la versión tridimensional del teorema de Green, que relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial con una integral de línea alrededor de la frontera de esa superficie.

Antecedentes

No estrictamente necesario, pero muy útil para una comprensión más completa:

Este artículo es para una intuición física

Si quisieras ejemplos del uso del teorema de Stokes para cálculos, puedes encontrarlos en el siguiente articulo. Aquí, el objetivo es presentar el teorema de tal manera que puedas obtener una intuición sobre lo que realmente dice y sobre por qué es verdadero.

Qué vamos a construir

  • El teorema de Stokes es la versión tridimensional del teorema de Green.
  • Relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial con la integral de línea de ese mismo campo vectorial alrededor de la frontera de la superficie:
    • F(x,y,z)\blueE{\textbf{F}}(x, y, z) es un campo vectorial tridimensional.
    • rotF\text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} significa lo mismo que ×F\nabla \times \blueE{\textbf{F}}. Es el rotacional tridimensional de F\blueE{\textbf{F}}, el cual es un campo vectorial.
    • S\redE{S} es una superficie en tres dimensiones.
    • n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} representa una función que asigna vectores unitarios normales a S\redE{S}.
    • C\redE{C} es la frontera de S\redE{S}
    • C\redE{C} está orientada de acuerdo a la regla de la mano derecha, lo que significa que si apuntas el pulgar de tu mano derecha en la dirección de un vector unitario normal n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} cerca del borde de S\redE{S} y enrollas tus dedos, la dirección en la que apuntan indica la dirección en la que debes integrar alrededor de C\redE{C}.

Interpretar una integral de línea en 3 dimensiones

Sea F(x,y,z)\blueE{\textbf{F}}(x, y, z) que representa un campo vectorial tridimensional.
Piensa que este campo vectorial es el vector de velocidad de algún gas, que pasa zumbando por el espacio.
Ahora sea C\redE{C} alguna curva cerrada dentro de este campo vectorial.
¿Cómo interprestas la integral de línea de F\blueE{\textbf{F}} alrededor de C\redE{C}?
CFdr\displaystyle\oint_\redE{C}\blueE{\textbf{F}} \cdot d \textbf{r}
Bueno, primero que nada, esta integral no tiene sentido hasta que la curva esté orientada. El vector diferencial drd\textbf{r} representa un minúsculo paso sobre la curva, ¿pero en cuál dirección? En tres dimensiones, no puedes simplemente decir "en sentido de las manecillas del reloj" o "en sentido contrario a las manecillas del reloj", puesto que eso dependerá de en dónde estés en el espacio cuando mires la curva. Más adelante abordaremos cómo se especifica matemáticamente la orientación, pero por ahora, es más fácil simplemente dibujar una orientación.
Imagina que eres un pájaro que está volando por el espacio sobre la curva C\redE{C} mientras que el viendo sopla de acuerdo al campo vectorial F\blueE{\textbf{F}}. (Para los propósitos de esta animación, eres un pájaro esférico).
Piensa en cada paso (¿aleteo?) de tu movimiento sobre C\redE{C} como si fuera el diminuto vector drd\textbf{r}. Considera el producto punto entre drd\textbf{r} y el vector de la velocidad del viento del campo F\blueE{\textbf{F}} en el que estás. Será positivo cuando el viento te está ayudando y negativo cuando te da en la cara.
Ahora mira de nuevo la integral de línea que originalmente te preguntamos:
CFdr\displaystyle\oint_\redE{C}\blueE{\textbf{F}} \cdot d \textbf{r}
Puedes pensar esto como que se va sumando qué tan útil o molesto fue el viento durante el vuelo. Mide la tendencia del fluido a circular alrededor de C\redE{C}. Si es positiva, el viento fue en general útil, y podrías decir que tiende a circular alrededor de C\redE{C} en la dirección de la orientación específica. Si es negativa, podrías decir que tiende a circular hacia el otro lado.

Cortar una superficie

Aquellos de ustedes que leyeron el artículo sobre el teorema de Green encontrarán lo siguiente muy familiar.
Considera una superficie S\redE{S} en el espacio cuya frontera es la curva C\redE{C}, como si C\redE{C} fuera un lazo de alambre que acabas de meter en jabón, y S\redE{S} es el comienzo de una burbuja de jabón que emerge del lazo.
Corta esta superficie por la mitad, y nombra las fronteras de las dos piezas resultantes como C1\greenE{C_1} y C2\goldE{C_2}. Si las dos están orientadas de la misma forma que estaba C\redE{C}, las integrales de línea (del mismo campo vectorial F\blueE{\textbf{F}}) alrededor de cada una de estas curvas más pequeñas se cancelan sobre el corte que hiciste:
Las porciones de C1\greenE{C_1} y C2\goldE{C_2} que permanecen conforman la frontera original de C\redE{C}. Así que la suma de las integrales de línea alrededor de las piezas más pequeñas es igual a la integral de línea completa alrededor de C\redE{C}:
C1Fdr+C2FdrSe cancela a lo largo del corte sobre S=CFdr\displaystyle \underbrace{ \oint_{\greenE{C_1}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} + \oint_{\goldE{C_2}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{Se cancela a lo largo del corte sobre $\redE{S}$}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}
De forma más general, imagina cortar S\redE{S} en muchas, muchas piezas muy pequeñas, nombras sus fronteras C1,,Cn\redE{C_1}, \dots, \redE{C_n}, y las orientas a todas en el mismo sentido que C\redE{C}. Se pone complicado dibujar esto en tres dimensiones, así que simplemente vamos a robar una imagen del artículo del teorema de Green en dos dimensiones, el cual intuitivamente es esencialmente lo mismo.
Las integrales de línea alrededor de todos estos pequeños lazos se cancelarán a lo largo de los cortes dentro de C\redE{C}, lo que dejará solamente algo igual a la integral de línea alrededor de la propia C\redE{C}.
k=1nCkFdrSe cancela a lo largo del corte sobre S=CFdr\displaystyle \underbrace{ \sum_{k = 1}^n \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{Se cancela a lo largo del corte sobre $\redE{S}$}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}

El rotacional sobre cada pieza

La razón para cortar S\redE{S} así es que la integral de línea alrededor de un lazo muy pequeño se puede aproximar usando el rotacional. De forma más específica, haz un acercamiento a una de estas piezas. Si es suficientemente pequeña, puedes pensarla como que es básicamente plana.
  • Llama Ck"``\redE{C_k}" a la frontera de este pedazo.
  • Escoge algún punto (xk,yk,zk)\goldE{(x_k, y_k, z_k)} sobre la superficie, dentro de este pequeño lazo.
  • Sea n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} un vector unitario normal a la superficie en el punto (xk,yk,zk)\goldE{(x_k, y_k, z_k)}. "¿Hacía dónde apunta?", podrías preguntar. Enrolla los dedos de tu mano derecha alrededor del pequeño lazo Ck\redE{C_k} de tal forma que se alineen son su orientación. Saca tu pulgar y esta es la dirección de n^\greenE{\hat{\textbf{n}}}.
  • Sea dΣ\redE{d\Sigma} que representa el área de esta pequeña pieza (como anticipación a usar un área infinitesimal para una integral de área en solo un pedacito).
Luego, la integral de línea de F\blueE{\textbf{F}} alrededor de Ck\redE{C_k} se puede aproximar de la siguiente forma:
Si no te sientes cómodo con tu intuición sobre lo que significa el rotacional, o sobre cómo un vector puede representar una rotación, considera revisar este artículo sobre el rotacional.
Aquí hay un poco de intuición de por qué esta idea funciona: rotF(xk,yk,zk)\text{rot}\, \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} es un vector que te dice cómo el fluido que fluye a lo largo del campo vectorial F\blueE{\textbf{F}} tiende a rotar cerca del punto (xk,yk,zk)\goldE{(x_k, y_k, z_k)}. Por ejemplo, si imaginas una pequeña pelota de tenis que flota en el espacio, centrada en el punto (xk,yk,zk)\goldE{(x_k, y_k, z_k)}, el vector rotF(xk,yk,zk)\text{rot}\, \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} describe la forma en la que tenderá a girar como consecuencia del viento que sopla alrededor de ella. En otras palabras, el vector va en dirección del eje de rotación, y su magnitud es proporcional a la razón de rotación.
Cuando sacamos el producto punto entre este vector rotacional y n^ \greenE{\hat{\textbf{n}}}, el vector unitario normal a la superficie, se extrae la componente del vector rotacional que es perpendicular a la superficie. Esto describirá la razón de la rotación de flujo sobre la superficie misma. Por otro lado, ese pedacito de rotación de flujo también está descrito por la integral de línea alrededor de la frontera del pequeño pedazo: CkFdr\displaystyle \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}.
En realidad, esa integral de línea produce un número muy pequeño (pues Ck\redE{C_k} es muy corto), pero rotF(xk,yk,zk)\text{rot}\, \blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} produce un número al que no le importa el tamaño del pedazo que contiene a (xk,yk,zk)\goldE{(x_k, y_k, z_k)}. Esta es la razón de por qué reducimos la componente relevante del rotacional por el área del pedazo pequeño.
(Para una comprensión más profunda de esta aproximación, echa un vistazo a la definición formal del rotacional en tres dimensiones).

Integral de superficie del rotacional

Al combinar las ideas de las últimas dos secciones, esto es lo que obtenemos:
A medida que cortamos cosas más y más finamente, esta última suma se aproxima a la integral de superficie de (rotFn^)\big(\text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) sobre la superficie S\redE{S}. (Si esto no tiene sentido para ti, considera revisar el artículo sobre integrales de superficie).
k=1nrotF(xk,yk,zk)n^dΣA medida que  se corta ms y ms finamenteSaˊaˊSrotFn^dΣ\begin{aligned} &\sum_{k = 1}^n \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \small{\gray{\text{A medida que $\redE{S}$ se corta más y más finamente}}} \\\\ &\iint_{\redE{S}} \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Al poner esto junto, tenemos la siguiente ecuación maravillosa, conocida como el teorema de Stokes:
CFdr=SrotFn^dΣ\begin{aligned} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_{\redE{S}} \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Bueno, algunos de ustedes podrían plantear la objeción de que comenzamos con una aproximación para la integral de línea alrededor de cada pedazo y ahora estoy haciendo una conclusión usando una igualdad sin aproximaciones. ¡Y estarían en lo correcto!
En el artículo sobre el teorema de Green, el cual implica una línea de razonamiento casi idéntica, pero en dos dimensiones, ofrecimos un par de notas para adentrarnos a los detalles de cómo desaparece la aproximación. Si eres curioso, te animamos a ir de regreso sobre la misma línea de razonamiento y pensar sobre cómo funciona para el teorema de Stokes y las integrales de superficie.
Este ejercicio también esclarecerá más todo si vas preparado con la definición formal del rotacional en tres dimensiones.

Alinear la orientación

Las superficies están orientadas por la dirección escogida para sus vectores normales unitarios. Por ejemplo, frecuentemente verás una superficie orientada por medio de sus vectores normales unitarios exteriores (aunque no en todas las superficies se tiene una noción de vectores normales unitarios exteriores vs. vectores normales unitarios interiores).
Las curvas se orientan por la dirección elegida por sus vectores tangentes.
Para que el teorema de Stokes funcione, la orientación de la superficie y su frontera deben "coincidir" en la dirección correcta. De lo contrario, la ecuación será diferente en un factor de 1-1. Aquí hay diferentes formas en las que escucharás que la gente describe cómo se ve esta coincidencia; todas describen lo mismo:
  • Si te fijas en la superficie de tal forma que los vectores untarios normales estén todos apuntando a tu cara, la curva debería estar orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
  • La orientación de la curva debería seguir la regla de la mano derecha, en el sentido de que si sacas tu pulgar de tu mano derecha en la dirección de un vector unitario normal cerca del borde de la superficie y enrollas tus dedos, la dirección en la que apuntan sobre la curva debería coincidir con su orientación.
  • Cuando estés caminando a lo largo de la frontera de la curva con tu cuerpo apuntando en la dirección del vector unitario normal, deberías estar caminando en una dirección tal que la superficie esté a tu lado izquierdo.

Soplar burbujas

Aquí hay algo muy impresionante acerca del teorema de Stokes: La superficie misma no importa, lo que importa es lo que es su frontera.
Por ejemplo, imagina un lazo particular en el espacio y piensa en todas las diferentes superficies que podrían tener este lazo como frontera; todas las diferentes burbujas de jabón que podrían emerger de este lazo:
Para cualquier campo vectorial dado F(x,y,z)\blueE{\textbf{F}}(x, y, z), la integral de superficie SrotFn^dΣ\displaystyle \iint_{\redE{S}} \text{rot} \, \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} será la misma para cada una de estas superficies. ¿No está buenísimo? Estas integrales de superficie implican sumar valores completamente diferentes en puntos del espacio completamente diferentes, sin embargo, resultan ser los mismos simplemente porque comparten una frontera.
Lo que esto te dice es cuán especiales son los campos vectoriales rotacionales, puesto que, con la mayoría de los campos vectoriales, la integral de superfice depende absolutamente de la superficie específica de la que se trate. Si sabes acerca de los campos vectoriales conservativos, esto es análogo a la independencia de la ruta, y cómo eso señala cuán especiales son los campos vectoriales gradientes.

¿Qué pasa si no hay frontera?

Si tienes una superficie cerrada, como una esfera o un toro, entonces no hay frontera. Esto significa que "la integral de línea sobre la frontera" es cero, y el teorema de Stokes se lee así:
SrotFn^dΣ=0\begin{aligned} \iint_{\redE{S}} \text{rot}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} = 0 \end{aligned}
Si piensas volver a cortar la superficie para conseguir muchas integrales de línea pequeñas, esto básicamente dice que todas esas integrales de línea se cancelan sin nada más que agregar.

Resumen

  • El teorema de Stokes es la versión tridimensional del teorema de Green.
  • La integral de línea CFdr\displaystyle \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} te dice cuánto del fluido que fluye junto con F\blueE{\textbf{F}} tiende a circular alrededor de la frontera C\redE{C} de la superficie S\redE{S}.
  • La integral de superficie del lado izquierdo se puede ver como la suma de todas las pequeñas partes de rotación del fluido sobre la superficie S\redE{S}. El vector rotF\text{rot}\,\blueE{\textbf{F}} describe la rotación del fluido en cada punto, y al hacerle el producto punto con un vector unitario normal a la superficie, n^ \greenE{\hat{\textbf{n}}}, se extraen las componentes de esa rotación del fluido que ocurren en la superficie misma.
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