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Ejemplos del teorema de Stokes

Mira cómo se usa el teorema de Stokes en la práctica.

La fórmula (breve repaso)

El teorema de Stokes es una herramienta para convertir la integral de superficie de un campo vectorial rotacional en una integral de línea alrededor de la frontera de esa superficie, o viceversa. Especificamente, aquí está lo que dice:
SS es una superficie en 3D(rotFn^)dΣIntegral de superficie deun campo vectorial rotacional=CFdrIntegral de línea alrededor dela frontera de la superficie
Veamos cada término:
  • F(x,y,z) es un campo vectorial tridimensional.
  • rotF, también escrito con frecuencia como ×F. Es el rotacional tridimensional de F, el cual es un campo vectorial.
  • S es una superficie en tres dimensiones.
  • n^ representa una función que asigna vectores unitarios normales a S.
  • C es la frontera de S.
  • C está orientada de acuerdo a la regla de la mano derecha, lo que significa que si apuntas el pulgar de tu mano derecha en la dirección de un vector unitario normal n^ cerca del borde de S y enrollas tus dedos, la dirección en la que apuntan indica la dirección en la que debes integrar alrededor de C.

Ejemplo 1: de una integral de superficie a una integral de línea

Problema
Sea S la mitad de la esfera unitaria centrada en el origen y sobre el plano xy, orientada con vectores normales unitarios apuntando hacia afuera. Sea v(x,y,z) el campo vectorial definido de la siguiente manera:
v(x,y,z)=yi^
Calcula la siguiente integral de superficie:
SvdΣ
Solución
Recuerda, el teorema de Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional de una función con la integral de línea de esa función alrededor de la frontera de la superficie. Esto significa que haremos dos cosas:
  • Paso 1: Encuentra una función cuyo rotacional sea el campo vectorial yi^
  • Paso 2: Toma la integral de línea de esa función alrededor del círculo unitario en el plano xy, pues este círculo es la frontera de nuestra media esfera
Verificación de conceptos: Encuentra un campo vectorial F(x,y,z) que satisfaga la siguiente propiedad:
×F=yi^
Hay muchas formas de hacerlo, pero una en particular hará nuestras vidas más fáciles. En la que estamos pensando, las componentes i^ y j^ son 0, mientras que la componente k^ no. ¿Puedes encontrarla?
F(x,y,z)=0i^+0j^+
k^

La superficie S se define como la porción de la esfera unitaria sobre el plano xy. La frontera de esta semiesfera es el círculo unitario sobre el plano xy.
Verificación de conceptos: Los siguientes parametrizan el círculo unitario sobre el plano xy, pero cada uno con una orientación diferente. ¿Cuál corresponde con la orientación de la semiesfera sobre el plano xy con vectores unitarios normales apuntando hacia afuera? ("Correspondiente" en el sentdo de que podemos aplicar el teorema de Stokes).
Escoge 1 respuesta:

Verificación de conceptos: Sea C que representa la frontera de la superfice S. Usa la parametrización de C que acabas de escoger, junto con la definición de F que encontraste en la pregunta anterior a eso, para resolver la siguiente integral de línea.
CFdr=

Ejemplo 2: viento que pasa por un red para mariposas

Problema
Supón que tienes una red para mariposas con un borde cuadrado y que el viento está soplando a través de la red. Piensa que el borde cuadrado está puesto en el espacio sobre el plano yz de tal forma que sus cuatro esquinas están en los siguientes puntos:
[011][011][011][011]
Además, imagina que la red es una superfice que surge de su borde en la dirección x positiva.
Supón que el campo vectorial de velocidad para el viento está dado por la siguiente función:
F=[y2z2x2]
Suponiendo que el aire tiene una densidad uniforme de 1kg/m3, ¿cuánto aire pasa por tu red por unidad de tiempo? Específicamente, supón que el aire que va de adentro hacia afuera de la red suma positivamente y que el aire que va de afuera hacia adentro de la red suma negativamente.
Paso 1: analizar la pregunta
Antes que nada, necesitamos ordenar nuestros pensamientos y juntarlos para saber cómo este problema que suena a física es una pregunta sobre el teorema de Stokes.
Verificación de conceptos: ¿De qué se trata esta pregunta realmente?
Escoge 1 respuesta:

Verificación de conceptos: Más específicamente, ¿cuál de las siguientes integrales representa la respuesta a la pregunta? Sea S que denota la superficie de una red para mariposas, mientras que C es el borde cuadrado de esa red que se sitúa en el plano yz.
Escoge 1 respuesta:

Realemente esta es una forma de darle una interpretación física a una integral de superficie a través de un campo vectorial.
Paso 2: aplicar el teorema de Stokes
Lo que podría parecer raro acerca de este problema, y lo que sugiere que necesitarás el teorema de Stokes, es que ¡la superficie de la red nunca está definida! Todo lo que se da es la frontera de esa superficie: un cierto cuadrado en el plano yz.
Si podemos encontrar una forma de expresar F(x,y,z) como el rotacional de algún otro campo vectorial, digamos G(x,y,z), seremos capaces de aplicar el teorema de Stokes a este problema de la siguiente forma:
S(Fn^)dΣIntegral de flujo objetivo=S(×G)n^dΣ=CGdrTeorema de Stokes
Esto es análogo a realizar la integral f(x)dx en cálculo de una variable, donde tienes que encontrar una nueva función con la propiedad g(x)=f(x), que luego te deja calcular la integral con base en los valores de frontera. En este caso, estamos buscando el "antirotacional" de F, por decirlo de alguna manera, que nos permitirá calcular la integral de superficie con base en los valores de la función antirotacional sobre la frontera de la superficie.
A diferencia del cálculo de una variable, no todos los campos vectoriales F tienen una función antirotacional. Por suerte para nosotros, esta función particular es una de las especiales que sí.
F=[y2z2x2]
Verificación de conceptos: Encuentra un campo vectorial G(x,y,z) que satisfaga la propiedad ×G=F.
G(x,y,z)=
i^+
j^+
k^

Paso 3: calcula la integral de línea
Dada esta construcción para G, el paso final es calcular la integral de línea del lado derecho en nuestra ecuación central:
S(Fn^)dΣIntegral de flujo objetivo=S(×G)n^dΣ=CGdrCalcula esto ahora.Teorema de Stokes
En este contexto, la curva C representa el cuadrado de 2×2 en el plano yz con vértices en los siguientes cuatro puntos:
[011][011][011][011]
Antes de calcular la integral de línea alrededor de este cuadrado, necesita estar orientado en una forma que se alinee con la orientación de la superficie de la red para mariposas S.
Verificación de conceptos: Dado que la red para mariposas cae en la dirección positiva de x separada del cuadrado C, y está orientada con vectores unitarios normales que apuntan hacia afuera, ¿cómo debería estar orientado C para que el teorema de Stokes se pueda aplicar? Responde esta pregunta desde la perspectiva de estar parado sobre el eje x positivo y mirando directamente a C.
Escoge 1 respuesta:

Verificación de conceptos: Nuestra construcción de G se ve así:
G=13[z3x3y3]
Dado esto, y dada la orientación del cuadrado C que acabas de especificar, termina el problema al calcular la siguiente integral de línea:
CGdr=

Resumen

  • El teorema de Stokes se puede usar para convertir integrales de superficie a través de un campo vectorial en integrales de línea.
  • Esto solo funciona si expresas el campo vectorial original como el rotacional de algún otro campo vectorial.
  • Asegúrate que la orientación de la frontera de la superficie se alinee con la orientación de la superficie misma.

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