Contenido principal

Curso: Cálculo multivariable > Unidad 5

Lección 6: El teorema de Stokes (artículos)

Ejemplos del teorema de Stokes

Mira cómo se usa el teorema de Stokes en la práctica.

Antecedentes

La fórmula (breve repaso)

El teorema de Stokes es una herramienta para convertir la integral de superficie de un campo vectorial rotacional en una integral de línea alrededor de la frontera de esa superficie, o viceversa. Especificamente, aquí está lo que dice:

$\overset{\begin{matrix} Integral de superficie de \\ un campo vectorial rotacional \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S es una superficie en 3D}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (rot F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} Integral de línea alrededor de \\ la frontera de la superficie \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

Veamos cada término:

$F (x, y, z)$ ‍ es un campo vectorial tridimensional.
$rot F$ ‍, también escrito con frecuencia como $\nabla \times F$ ‍. Es el rotacional tridimensional de $F$ ‍, el cual es un campo vectorial.
$S$ ‍ es una superficie en tres dimensiones.
$\hat{n}$ ‍ representa una función que asigna vectores unitarios normales a $S$ ‍.
$C$ ‍ es la frontera de $S$ ‍.
$C$ ‍ está orientada de acuerdo a la regla de la mano derecha, lo que significa que si apuntas el pulgar de tu mano derecha en la dirección de un vector unitario normal $\hat{n}$ ‍ cerca del borde de $S$ ‍ y enrollas tus dedos, la dirección en la que apuntan indica la dirección en la que debes integrar alrededor de $C$ ‍.

Ejemplo 1: de una integral de superficie a una integral de línea

Problema

Sea

S

la mitad de la esfera unitaria centrada en el origen y sobre el plano

x y

, orientada con vectores normales unitarios apuntando hacia afuera. Sea

\vec{v} (x, y, z)

el campo vectorial definido de la siguiente manera:

$\vec{v} (x, y, z) = y \hat{i}$ ‍

Calcula la siguiente integral de superficie:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

Cuando la gente habla de calcular la integral de superficie de un campo vectorial, esto siempre significa evaluar el producto punto con el vector normal unitario a esa superficie:

$\iint_{S} (\vec{v} \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍

Así que en realidad, se trata de una integral de superficie de una función con valores escalares, y es que el valor escalar surge por el producto punto entre dos funciones con valores vectoriales:

(\vec{v} \cdot \hat{n})

Esto es tan universal que a menudo se omite el vector normal unitario, así que la gente se olvida de

\hat{n}

y escribe:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

Solución

Recuerda, el teorema de Stokes relaciona la integral de superficie del rotacional de una función con la integral de línea de esa función alrededor de la frontera de la superficie. Esto significa que haremos dos cosas:

Paso 1: Encuentra una función cuyo rotacional sea el campo vectorial $y \hat{i}$ ‍
Paso 2: Toma la integral de línea de esa función alrededor del círculo unitario en el plano $x y$ ‍, pues este círculo es la frontera de nuestra media esfera

Verificación de conceptos: Encuentra un campo vectorial

F (x, y, z)

que satisfaga la siguiente propiedad:

$\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍

Hay muchas formas de hacerlo, pero una en particular hará nuestras vidas más fáciles. En la que estamos pensando, las componentes

\hat{i}

\hat{j}

son

0

, mientras que la componente

\hat{k}

no. ¿Puedes encontrarla?

$F (x, y, z) = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Primero lo primero, escribamos cómo se calcula el rotacional. Supongamos que $F_{1}$ ‍, $F_{2}$ ‍ y $F_{3}$ ‍ representan las funciones coordenadas de nuestra función vectorial:
$F (x, y, z) = F_{1} (x, y, z) \hat{i} + F_{2} (x, y, z) \hat{j} + F_{3} (x, y, z) \hat{k}$ ‍
Luego, el rotacional se calcula con el siguiente truco de determinante:
$\begin{aligned} | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} | \\ = (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Queremos que toda esta expresión sea igual al campo vectorial $\vec{v} (x, y, z) = y \hat{i}$ ‍. Esto significa que necesitamos la siguiente igualdad:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) = y \end{array}$ ‍
Hya muchos pares de funciones $F_{2}$ ‍ y $F_{3}$ ‍ que harán funcionar esta igualdad. Aunque dado como enunciamos la frase anterior, queremos que $F_{2}$ ‍ sea $0$ ‍.
Esto significa que el término $\frac{\partial F_{3}}{\partial y}$ ‍ debe encargarse de toda la ecuación. Para lograrlo, toma la antiderivada de $y$ ‍, la función en el lado derecho, con respecto a la variable $y$ ‍:
$F_{3} (x, y, z) = \frac{1}{2} y^{2}$ ‍
Cuando estableces que las otras dos componentes sean iguales a $0$ ‍, puedes revisar la expresión rotacional original para que $\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍ tal como queremos.

Dado que puedes encontrar muchas funciones diferentes que satisfagan la propiedad $\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍, ¿cómo sabes cuál escoger?
Para empezar, queremos algo tan simple como sea posible, así que si puedes hacer todo $0$ ‍ excepto una componente, hazlo.
Si embargo, de la explicación de la respuesta, puede que te hayas dado cuenta de que también podríamos haber escogido una función en la que solo $F_{2}$ ‍ fuera distinta de cero; entonces, ¿por qué no usar esa? Aunque estaría bien usar esa otra función, cuando consideras el hecho de que en última instancia estaremos calculando una integral de línea sobre el círculo unitario en el plano $x y$ ‍, tener una función con solo una componente $\hat{k}$ ‍ hará las cosas incluso más simples.

La superficie

S

se define como la porción de la esfera unitaria sobre el plano

x y

. La frontera de esta semiesfera es el círculo unitario sobre el plano

x y

Verificación de conceptos: Los siguientes parametrizan el círculo unitario sobre el plano

x y

, pero cada uno con una orientación diferente. ¿Cuál corresponde con la orientación de la semiesfera sobre el plano

x y

con vectores unitarios normales apuntando hacia afuera? ("Correspondiente" en el sentdo de que podemos aplicar el teorema de Stokes).

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, donde $0 \leq t \leq 2 π$ ‍
(Elección B)
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ - \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, donde $0 \leq t \leq 2 π$ ‍

La primera opción de respuesta es correcta:
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, donde $0 \leq t \leq 2 π$ ‍
Esto corresponde a una orientación en el sentido contrario a las manecillas del reloj del círculo.
Las superficies están orientadas por la dirección escogida por sus vectores unitarios normales, y las curvas están orientadas por la dirección escogida por sus vectores tangentes. Para aplicar el teorema de Stokes, la orientación de una superficie y su frontera se deben "alinear" en la dirección correcta. Aquí hay diferentes, pero equivalentes, formas de enunciar cómo se debe ver esa alineación:
Si te fijas en la superficie de tal forma que los vectores untarios normales estén todos apuntando a tu cara, la curva debería estar orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
La orientación de la curva debería seguir la regla de la mano derecha, en el sentido de que si sacas tu pulgar de tu mano derecha en la dirección de un vector unitario normal cerca del borde de la superficie y enrollas tus dedos, la dirección en la que apuntan sobre la curva debería coincidir con su orientación.
Cuando estés caminando a lo largo de la frontera de la curva con tu cuerpo apuntando en la dirección del vector unitario normal, deberías estar caminando en una dirección tal que la superficie esté a tu lado izquierdo.
Si aplicas cualquiera de estas imágenes a nuestro ejemplo específico, verás que una orientación en el sentido contrario a las manecillas del reloj del círculo unitario "se alínea"" con vectores unitarios normales que apuntan hacia afuera de la semiesfera.

Verificación de conceptos: Sea

C

que representa la frontera de la superfice

S

. Usa la parametrización de

C

que acabas de escoger, junto con la definición de

F

que encontraste en la pregunta anterior a eso, para resolver la siguiente integral de línea.

$\oint_{C} F \cdot d r =$ ‍

Realmente no necesitas sumergirte en ningún cálculo una vez que pienses en lo que significa esta integral. Echa un vistazo a $F (x, y, z)$ ‍:
$F (x, y, z) = \frac{1}{2} y^{2} \hat{k}$ ‍
Más notablemente solo tiene una componente $\hat{k}$ ‍, así que todos los vectores son perpendiculares al plano $x y$ ‍. Como la curva $C$ ‍ reside completamente en el plano $x y$ ‍, todos los pequeños vectores tangentes $d r$ ‍ estarán contenidos en el plano $x y$ ‍. Por lo tanto, el producto punto $F \cdot d r$ ‍ en la integral de línea siempre será $0$ ‍, así que la integral de línea como un todo es simplemente $0$ ‍.
Por supuesto, este es un hecho que podrías haber reconocido incluso antes en el problema, antes de parametrizar el círculo. Sin embargo, queríamos una excusa para que practicaras el razonamiento de emparejar la orientación de la frontera de una superficie con la superficie misma, puesto que esa cosa fácil de confundir accidentalmente en un problema de teorema de Stokes.

Ejemplo 2: viento que pasa por un red para mariposas

Problema

Supón que tienes una red para mariposas con un borde cuadrado y que el viento está soplando a través de la red. Piensa que el borde cuadrado está puesto en el espacio sobre el plano

y z

de tal forma que sus cuatro esquinas están en los siguientes puntos:

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Además, imagina que la red es una superfice que surge de su borde en la dirección

x

positiva.

Supón que el campo vectorial de velocidad para el viento está dado por la siguiente función:

$\begin{aligned} F = [\begin{array}{c} y^{2} \\ z^{2} \\ x^{2} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

Suponiendo que el aire tiene una densidad uniforme de

1 kg / m^{3}

, ¿cuánto aire pasa por tu red por unidad de tiempo? Específicamente, supón que el aire que va de adentro hacia afuera de la red suma positivamente y que el aire que va de afuera hacia adentro de la red suma negativamente.

Paso 1: analizar la pregunta

Antes que nada, necesitamos ordenar nuestros pensamientos y juntarlos para saber cómo este problema que suena a física es una pregunta sobre el teorema de Stokes.

Verificación de conceptos: ¿De qué se trata esta pregunta realmente?

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
El flujo de $F$ ‍ a través de la superfice de una red para mariposas.
(Elección B)
La integral de línea de $F$ ‍ alrededor del cuadrado específico en el plano $y z$ ‍.

Verificación de conceptos: Más específicamente, ¿cuál de las siguientes integrales representa la respuesta a la pregunta? Sea

S

que denota la superficie de una red para mariposas, mientras que

C

es el borde cuadrado de esa red que se sitúa en el plano

y z

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍, donde $\hat{n}$ ‍ representa vectores unitarios normales que apuntan hacia afuera.
(Elección B)
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍, donde $\hat{n}$ ‍ representa vectores unitarios normales que apuntan hacia dentro.
(Elección C)
$\int_{C} F \cdot d r$ ‍, donde $C$ ‍ está orientada en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
(Elección D)
$\int_{C} F \cdot d r$ ‍, donde $C$ ‍ está orientada en el sentido de las manecillas del reloj.

La razón a la que el aire pasa por la red, en términos del volumen por unidad de tiempo, se da por la siguiente integral de flujo:
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍
Como la suposición es que el aire tiene densidad uniforme $1 kg / m^{3}$ ‍, esto también da la masa de aire que pasa por la red por unidad de tiempo.
Para capturar la idea de que el aire que va de adentro de la red hacia afuera cuenta positivamente para el flujo, mientras que el aire que va de afuera hacia adentros cuenta negativamente para el flux, los vectores unitarios normales $\hat{n}$ ‍ deben estar apuntando hacia afuera. De esta forma, el producto punto $F \cdot \hat{n}$ ‍ será positivo en puntos en el que la trayectoria del aire va hacia afuera, y negativa cuando va hacia adentro.
Otra vez, si se esto no te parece familiar, no dudes en revisar el artículo sobre el flujo en 3D.

Realemente esta es una forma de darle una interpretación física a una integral de superficie a través de un campo vectorial.

Paso 2: aplicar el teorema de Stokes

Lo que podría parecer raro acerca de este problema, y lo que sugiere que necesitarás el teorema de Stokes, es que ¡la superficie de la red nunca está definida! Todo lo que se da es la frontera de esa superficie: un cierto cuadrado en el plano

y z

Si podemos encontrar una forma de expresar

F (x, y, z)

como el rotacional de algún otro campo vectorial, digamos

G (x, y, z)

, seremos capaces de aplicar el teorema de Stokes a este problema de la siguiente forma:

$\underset{Integral de flujo objetivo}{\underset{⏟}{\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) \cdot d Σ}} = \underset{Teorema de Stokes}{\underset{⏟}{\iint_{S} (\nabla \times G) \cdot \hat{n} d Σ = \int_{C} G \cdot d r}}$ ‍

Esto es análogo a realizar la integral

\int f (x) d x

en cálculo de una variable, donde tienes que encontrar una nueva función con la propiedad

g^{'} (x) = f (x)

, que luego te deja calcular la integral con base en los valores de frontera. En este caso, estamos buscando el "antirotacional" de

F

, por decirlo de alguna manera, que nos permitirá calcular la integral de superficie con base en los valores de la función antirotacional sobre la frontera de la superficie.

A diferencia del cálculo de una variable, no todos los campos vectoriales

F

tienen una función antirotacional. Por suerte para nosotros, esta función particular es una de las especiales que sí.

$F = [\begin{matrix} y^{2} \\ z^{2} \\ x^{2} \end{matrix}]$ ‍

Verificación de conceptos: Encuentra un campo vectorial

G (x, y, z)

que satisfaga la propiedad

\nabla \times G = F

$G (x, y, z) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

Sean $G_{1}$ ‍, $G_{2}$ ‍ y $G_{3}$ ‍ las funciones componentes de $G$ ‍:
$G (x, y, z) = G_{1} (x, y, z) \hat{i} + G_{2} (x, y, z) \hat{j} + G_{3} (x, y, z) \hat{k}$ ‍
A continuación, simplemente escribe la definición del rotacional:
$\begin{aligned} | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ G_{1} & G_{2} & G_{3} \end{array} | \\ = (\frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
Al introducir la definición de $F$ ‍, significa que la propiedad deseada de que $\nabla \times G = F$ ‍ se descompone en las siguientes tres ecuaciones:
$\begin{aligned} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z} & = y^{2} \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x} & = z^{2} \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y} & = x^{2} \end{aligned}$ ‍
Resolver esto es como resolver un rompecabezas. Pruebas algunas cosas, las modificas cuando no funcionan, intentas todas sin complicarte. Después de jugar un poco, podrías encontrar que la estrategia más simple es la siguiente: dejemos que $G_{3}$ ‍ se encargue de la primera ecuación completa, $G_{1}$ ‍ de la segunda ecuación completa y $G_{2}$ ‍ de la última ecuación. Específicamente:
$\begin{aligned} G_{3} & = \frac{1}{3} y^{3} \\ G_{1} & = \frac{1}{3} z^{3} \\ G_{2} & = \frac{1}{3} x^{3} \end{aligned}$ ‍
O. escrito en el formato solicitado en la pregunta:
$G (x, y, z) = \frac{1}{3} z^{3} \hat{i} + \frac{1}{3} x^{3} \hat{j} + \frac{1}{3} y^{3} \hat{k}$ ‍
En cierto sentido, tuvimos suerte con este ejemplo, pues hubo suficiente simetría para que las cosas no se complicaran. En general, las ecuaciones que se expresan con derivadas parciales de una función pueden ser muy difíciles de resolver. Tal como una de ellas tiene actualmente un premio de un millón. El estudio de este tipo de ecuaciones se llama "Ecuaciones diferenciales parciales", que desde luego involucra tácticas más sofisticadas que el adivina-y-checa que se sugirió para esta.> $\begin{aligned} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z} & = y^{2} \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x} & = z^{2} \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y} & = x^{2} \end{aligned}$ ‍

Paso 3: calcula la integral de línea

Dada esta construcción para

G

, el paso final es calcular la integral de línea del lado derecho en nuestra ecuación central:

$\underset{Integral de flujo objetivo}{\underset{⏟}{\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) \cdot d Σ}} = \underset{Teorema de Stokes}{\underset{⏟}{\iint_{S} (\nabla \times G) \cdot \hat{n} d Σ = \overset{Calcula esto ahora.}{\overset{⏞}{\int_{C} G \cdot d r}}}}$ ‍

En este contexto, la curva

C

representa el cuadrado de

2 \times 2

en el plano

y z

con vértices en los siguientes cuatro puntos:

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

Antes de calcular la integral de línea alrededor de este cuadrado, necesita estar orientado en una forma que se alinee con la orientación de la superficie de la red para mariposas

S

Verificación de conceptos: Dado que la red para mariposas cae en la dirección positiva de

x

separada del cuadrado

C

, y está orientada con vectores unitarios normales que apuntan hacia afuera, ¿cómo debería estar orientado

C

para que el teorema de Stokes se pueda aplicar? Responde esta pregunta desde la perspectiva de estar parado sobre el eje

x

positivo y mirando directamente a

C

Escoge 1 respuesta:
(Elección A)
En sentido de las manecillas del reloj
(Elección B)
En sentido contrario de las manecillas del reloj

En sentido contrario a las manecillas del reloj.
Como mencionamos en la respuesta a una pregunta similar en el último ejemplo, hay varias formas diferentes de enunciar la regla para esta orientación:
Si te fijas en la superficie de tal forma que los vectores untarios normales estén todos apuntando a tu cara, la curva debería estar orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj.
La orientación de la curva debería seguir la regla de la mano derecha, en el sentido de que si sacas tu pulgar de tu mano derecha en la dirección de un vector unitario normal cerca del borde de la superficie y enrollas tus dedos, la dirección en la que apuntan sobre la curva debería coincidir con su orientación.
Cuando estés caminando a lo largo de la frontera de la curva con tu cuerpo apuntando en la dirección del vector unitario normal, deberías estar caminando en una dirección tal que la superficie esté a tu lado izquierdo.

Verificación de conceptos: Nuestra construcción de

G

se ve así:

$G = \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}]$ ‍

Dado esto, y dada la orientación del cuadrado

C

que acabas de especificar, termina el problema al calcular la siguiente integral de línea:

$\int_{C} G \cdot d r =$ ‍

Primero, dibuja el cuadrado con su orientación designada en sentido contrario a las manecillas del reloj en el plano $y z$ ‍.
Ahora considera la siguiente integral de línea sobre cada uno de estos lados:
$\int \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}] \cdot d r$ ‍
Lado derecho: Mientras vamos hacia arriba en el lado derecho, el pequeñó vector de paso $d r$ ‍ es un paso hacia arrriba en la dirección $z$ ‍.
$d r = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ d z \end{matrix}]$ ‍
Aquí está lo que esto significa para la integral:
$\int \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ d z \end{matrix}] = \int \frac{1}{3} y^{3} d z$ ‍
Esta integral se toma a lo largo del lado derecho del cuadrado, donde el valor de $y$ ‍ es la constante $1$ ‍, y $z$ ‍ tiene los límites $z = - 1$ ‍ y $z = 1$ ‍. Así, nuestra integral se simplifica a:
$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{3} (1)^{3} d z = \frac{2}{3}$ ‍
Lado de arriba: Cuando vamos hacia la izquierda sobre el lado de arriba, el pequeño vector de paso es
$d r = [\begin{matrix} 0 \\ - d y \\ 0 \end{matrix}]$ ‍
Ya que esta línea va de $y = - 1$ ‍ a $y = 1$ ‍, esto significa que la integral de línea en esta porción del cuadrado se vuelve:
$\int_{- 1}^{1} - \frac{1}{3} x^{3} d y$ ‍
Como $x$ ‍ es cero en toda esta recta (o en todo el cuadrado para este caso), esta integral es $0$ ‍.
Lado izquierdo: casi idéntico al lado derecho, excepto que $d z$ ‍ es negativo y el valor constante de $y$ ‍ también es negativo. Estas diferencias se cancelan, por lo que la integral en este lado también resulta ser $\frac{2}{3}$ ‍.
Lado inferior: casi idéntico al lado superior. También se vuelve $0$ ‍.
Con todo, entonces, la integral de línea suma $\frac{4}{3}$ ‍.

Resumen

El teorema de Stokes se puede usar para convertir integrales de superficie a través de un campo vectorial en integrales de línea.
Esto solo funciona si expresas el campo vectorial original como el rotacional de algún otro campo vectorial.
Asegúrate que la orientación de la frontera de la superficie se alinee con la orientación de la superficie misma.

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Brandon Alvarino Vasquez
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “No había pensado en esa f...” de Brandon Alvarino Vasquez
No había pensado en esa forma de solucionar el último ejercicio dado que no aplicaba la normalizacion de la curva parametrizada que es un cuadrado donde salen 4 trozos. Sin embargo, tuve mis duda y realicé mis cálculos y me dio exactamente 👌 4/3 es genial.
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(1 voto)
Respuesta

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.