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Condiciones para el teorema de Stokes

Entender cuándo puedes utilizar el teorema de Stokes. Curvas y superficies suaves definidas por partes. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

ahora que hemos explorado el teorema de stocks un poquito quiero hablar de las situaciones en las que podemos usarlo verás que realmente este es un teorema bastante general pero tenemos que pensar en qué tipo de superficies y qué tipo de fronteras vamos a tratar y en el caso del teorema de stocks tenemos dos cosas a considerar la curva frontera que define a nuestra superficie y la misma superficie entonces primero hablemos un poquito de la superficie en realidad ésta debe ser suave por trozos ok suave por trozos qué quiere decir que una superficie sea suave por trozos esencialmente estamos pensando en que la derivada de las derivadas parciales sean continuas por ejemplo supongan sé ustedes que tienen un punto sobre la superficie y aquí estamos viendo la derivada parcial respecto de una variable y aquí el vector derivada respecto a otra variable esencialmente lo que nos están diciendo estos vectores son cambios graduales de la pendiente en una u otra dirección así esta palabra que sea suave en realidad nos está diciendo que tenga derivadas parciales voy a desdecir solo derivadas continuas ok es decir que los cambios sean graduales sean poquito a poquito no sean muy bruscos por ejemplo y bueno también nos dice que sea por trozos y les voy a dar aquí un ejemplo que tengo a mi derecha tengo una lata en donde pongo todos mis y todas mis plumas y todos mis lápices más o menos tiene esta forma algo así por ejemplo si fuera un poquito transparente veríamos esta parte de atrás y para que se vea que realmente no tiene esta parte de arriba no tiene una tapa aquí voy a poner una de mis plumas que tengo esta es una de mis plumas y bueno el detalle es el siguiente esta superficie que es como un cilindro esencialmente si en la tapa es suave por trozos no es suave por sí misma porque por ejemplo si nosotros tenemos una pendiente que va en esta dirección cuando nosotros pasamos a este punto hace un brinco hace que la pendiente brinque de forma muy brusca verdad entonces no es suave en un conjunto como tal de forma global pero si es suave por trozos porque ésta la puedo descomponer en dos superficies que son suaves ok por ejemplo que es una de ellas es esta que es digamos el muro que define el cilindro que sale y la otra es la tapa esta de acá abajo que es simplemente una circunferencia un círculo ok entonces ya que pude descomponer esta superficie en dos superficies que si son suaves completitas entonces eso es que sea suave por trozos otra cosa que hay que considerar es la curva frontera está ce la curva frontera hay que pedirle que sea cerrada ok y que también sea simple cerrada y simple por supuesto también vamos a tener que pedirle suave por trozos suave por trozos vamos a explicar cada una de estas cosas primero que sea simple que una curva sea simple es que no cometa auto intersecciones por ejemplo esta curva si yo la voy recorriendo de esta forma en realidad no es simple porque tuve una auto intersección ok entonces ésta no es simple aunque la puedo partir digamos de esta forma en dos curvas que si son cerradas y simples que es una curva cerrada pues justamente que de dónde empiezo yo termino por ejemplo esto no es una curva cerrada yo tendría que regresar al punto original entonces una curva cerrada así es por ejemplo no se puede hacer cosas muy locas de donde empiezo tengo que regresar al final ok esto es una curva cerrada y por último que una curva sea suave por trozos pues esencialmente es igual que con las superficies por ejemplo aquí les voy a mostrar una curva que no es suave pero si es suave por trozos ok este cuadrilátero por ejemplo lo podemos partir en cuatro curvas suaves esta primera curva tiene la pendiente está bastante sencillita es una es un segmento de recta pero por ejemplo si yo fuera en esta en este segmento llegó a este punto y me sigo hago un brinco hago un cambio muy brusco en cómo va cambiando la pendiente pero yo puedo partir esta curva en cuatro segmentos que por sí mismos son suaves entonces esta curva es es suave por trozos además de ser cerrada y simple entonces si tenemos una superficie que es suave por trozos y su frontera es una curva simple es decir que no comete auto intersección es que es cerrada es decir que de donde inició regreso al final y suave por trozos entonces se puede utilizar muy bien el teorema de stocks