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Evaluar la integral de línea directamente (parte 1)

Mostrar que no tuvimos que usar el teorema de Stokes para evaluar esta integral de línea. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en los últimos vídeos evaluamos esta integral de línea de esta trayectoria usando el teorema de stocks diciendo esencialmente que es equivalente a una integral de superficie del rotacional df cuando hacemos el producto punto con el vector normal a la superficie lo que quiero hacer en este vídeo es mostrarles que no tuvimos necesariamente que usar el teorema de stocks que realmente pudimos simplemente evaluar la integral de línea y lo que hay que tener en mente en este caso es que es realmente como un volado a veces determinar cuál es la integral más fácil de hacer pero el teorema de 'stocks' es valioso porque a veces es mejor realizar la integral de superficie que la de línea así que intentemos evaluar ahora la integral de línea y esperemos obtener la misma respuesta si es que hacemos todo correctamente entonces vamos a vamos a empezar parametrizado esta curva ok vamos a necesitar parametrizar la curva para poder resolver el problema entonces ya hemos hecho esto muchas ocasiones vamos a voy a hacerlo nuevamente aunque sea un poco más rápido todos los dos ejes está un poco checo ahí está voy a pintar los dos ejes digamos aunque no se vea tan derechito este es el eje y el eje x y lo que vamos a hacer es parametrizar por ejemplo primero el círculo unitario ok entonces podemos pintar aquí nuestro círculo unitario perfecto digo es un poquito chueco pero se entiende la idea y lo que vamos a hacer es introducir un parámetro que vamos a llamar teta porque la letra griega teta que generalmente usamos justamente para para ángulos verdad entonces nuestro ángulo teta vamos a tener que utilizarlo si vamos a quererle dar sólo una vuelta al círculo unitario pues lo tendremos entre 0 ok que es cuando no tengo un ángulo ok entonces el ángulo está entre 0 y 2 pi como parámetro en la variable x esto es en el plano xy verdad entonces x simplemente usando pues las identidades o las funciones trigonométricas aquí si el radio es 1 pues x es el coseno del ángulo verdad simplemente es la base de este triángulo entonces x es igual al coseno del ángulo mientras que es la altura que es el seno del ángulo como vamos a parametrizar z bueno vamos a obtenerlo de esta expresión ye maceta es igual a 2 por lo tanto z es igual a 2 - pero jesse no detecta por lo tanto 7 es igual a 2 menos el seno de t está aquí lo que estamos diciendo es bueno me voy tomando puntitos en el círculo unitario que se esté morado que está ya visto en tres dimensiones y lo que vamos a ir subiendo con la función zeta a nuestra curva rojita ok eso es esencialmente lo que estamos diciendo con esta parametrización entonces nuestro vector digamos nuestra curva está dado en términos de una función vectorial que es r de teta vamos a llamarle r de teta que simplemente es coseno de teta en la primera coordenada más seno de teta en la segunda coordenada y vamos a sumar también dos menos seno de teta en la 3ª coordenada ok aquí ya tenemos parametrizar nuestra curva y entonces para calcular esta integral necesitamos calcular quién es de r también y entonces sabemos que de r simplemente es la derivada de r respecto al parámetro theta por de de beteta verdad por de teta y esto simplemente después vamos derivando entrada por entrada la derivada de coseno de teta es menos seno de teta en la 1ª coordenada y ahora la derivada de seno de teta es coseno de teta entonces hay que tener coseno de teta en la segunda coordenada y ahora la la derivada de dos menos seno de teta es pues la derivada de dos es una constante simplemente cero y la derivada de menos seno de teta es menos coseno dt está en nuestra tercera coordenada y todo esto multiplicado de teta que son nuestros cambios infinitesimalmente pequeños en la variable teta ya con esto podemos ir calculando nuestra integral porque tenemos que efe punto de r aunque íbamos a calcular primero el campo vectorial punto de r de r simplemente es pues bueno vamos a ver tenemos efe que en la primera coordenada es menos ye cuadrada y si multiplica a de r en la primera coordenada tenemos menos en dónde está entonces menos por menos es más y simplemente me queda que cuadrada que multiplica a seno de teta seno de teta vamos a ver ahora multiplicamos la segunda en la segunda centrada si tenemos equis que vamos a sumar equis que multiplica a la segunda coordenada de r que es coseno de teta cocino de teta vámonos con las terceras coordenadas tenemos esta cuadrada que multiplica menos coseno detecta entonces tendremos menos zeta cuadrada que multiplica a jose no detecta y todo esto multiplica de teta entonces si nosotros queremos calcular la integral simplemente vamos a calcular esta integral a lo largo de nuestra curva se y aquí ya está en términos del parámetro entonces simplemente quema la integral dibuje simplemente es la integral donde se mueve el parámetro que es entre 0 y 2 y entonces vamos a bueno aquí el detalle es que x y z pues ésta no están dados aún en términos del parámetro theta vamos a vamos a hacer esto que es lo único que faltaba entonces esto será igual a la integración déjenme déjenme lo hago mejor abajo para que se vea más claro entonces esto será igual a la integral de 0 a 2 pi de ye cuadrada pero cuadrada es el seno cuadrado seno cuadrado de teta verdad aquí está ya al cuadrado será seno de teta al cuadrado que multiplica a seno de teta por lo tanto déjenme ponerlo esto en azul esto nos quedará encuadrado por cero pues simplemente es seno al cubo de ted eso es de la la de multiplicar y cuadrada por 9 teta ahora bien vamos a multiplicar x que en este caso es coseno de teta por jose no detecta también verdad entonces de esta segunda de estas de este segundo sumando tendremos que sumar coseno cuadrado de t ahora lo más complicado viene ahorita que es multiplicar menos zeta cuadrada coseno etc entonces vamos a subir tantito para que se vea un poquito más claro entonces quienes se está cuadrada se está cuadrada es 2 - seno de teta al cuadrado déjenme hacerlo un poquito más grande para que sea más claro se está cuadrada simplemente es 2 - seno de teta al cuadrado pero eso es un binomio al cuadrado entonces tenemos el primero al cuadrado que es cuatro menos dos veces el primero por el segundo que será cuatro por seno de teta más el segundo al cuadrado que es seno cuadrado de teta ahora bien nosotros tenemos menos se está cuadrada entonces menos se está cuadrada será menos cuatro más cuatro seno de teta menos seno cuadrado de teta ok y esta es la expresión para menos se está cuadrada ahora para calcular esta integral todavía nos falta multiplicar por cosa por por coseno de teta correcto entonces vamos ya ya esté cerrando todo esto porque menos está cuadrada al multiplicarlo por coseno de teta nos queda déjenme ponerlo en -4 y multiplicar por coseno de teta este es el primero luego más 4 seno de teta y multiplicar otra vez por coseno de teta también nos falta menos seno cuadrado de teta y multiplicar por este coseno dt está ok entonces ya que tenemos todo esto hay que multiplicarlo por de teta y ya tenemos expresada la integral que tenemos que resolver ya hemos planteado no esté integral final y de hecho es una integral definida en una dimensión que es un poquito complicada de resolver se ve muy grande así que vamos a tener que sacar del baúl algunas identidades trigonométricas para para poder resolver esta esta integral propiamente pero bueno el punto es que podremos hacerlo ahí ahí voy a dejar este vídeo en el próximo vídeo voy a calcular esta última integral