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Evaluar la integral de línea directamente (parte 2)

Terminar la integral de línea con una pequeña integración trigonométrica. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

todo lo que nos resta por hacer es evaluar esta integral que obtuvimos en el último vídeo que es más bien un ejercicio de evaluar integrales trigonométricas más que cualquier otra cosa pero bueno esto no le hace daño a nadie no le hace daño a nadie un poquito de práctica así que hagámoslo paso a paso correcto entonces empezamos con el seno al cubo de teta no es fácil encontrar un anti derivada de esto así que vamos a usar nuestras identidades trigonométricas para poder ver si podemos escribirlo esto de alguna otra forma más fácil de integrar y en efecto podremos porque por ejemplo seno al cubo de teta lo podemos reescribir como seno de teta seno de teta por el seno cuadrado de teta pero seno cuadrado de teta simplemente es sen es uno menos coseno cuadrado de teta y esto al hacer la distribución nos queda seno de teta menos seno de teta coseno cuadrado de detalles o ya es fácil de integrar conocemos una anti derivada de seno de teta ok y de la otra seno de teta es la derivada de coseno entonces podemos usar una sustitución vámonos con el término verde coseno cuadrado de teta pues también lo podemos reescribir como como un medio de uno más coseno de dos tetas que éste ya no es tan inmediato pero bueno se han visto los vídeos de trigonometría me creerán que esto es cierto y esto al distribuirlo nos queda un medio más un medio del coseno de dos tetas ok y eso también es sencillo de integrar ahora nos falta la parte roja que es a de por sí ya era sencilla de integrar ya lo veremos con más detalle así que lo voy a copiar tal cual esto es menos cuatro veces el coche no de teta más cuatro veces el seno de teta coseno de teta - el seno cuadrado de teta coseno de teta de teta esto lo vamos a integrar respecto de teta todo esto y vamos a integrar desde cero a dos ok este son dos muy bien entonces vamos a hacer lo vamos a ir obteniendo las anti derivadas de esto entonces la anti derivada de seno de teta simplemente es menos coseno de teta que es como la primera parte de esto ahora quién será la anti derivada de menos beteta por coseno cuadrado de teta bueno si nos damos cuenta la derivada de coseno de teta es menos seno que aquí justamente lo tenemos entonces podemos hacer o igual a coseno de teta y nos queda la integral de cuadrada por la integral de un cuadrado escocés no es eso al cubo entre tres y un escocés no así que esto simplemente nos queda coseno cubo de té está sobre tres este es un ejercicio simplemente de sustitución ahora bien una anti derivada de un medio pues simplemente será un medio de teta correcto entonces vámonos con este otra vez necesitamos la integral de un medio de coseno de dos tetas si hacemos igual a dos teta su derivada es dos pero aquí no aparece el 2 bueno pues vamos a hacer que aparezca multiplicamos por 2 pero para que no se altere todo esto necesitamos dividir entre 2 así que este 2 se va a convertir en un 4 finalmente que es lo que nos queda pues va a ser un cuarto de la integral de dos veces coseno de dos tetas que eso es seno de seno de dos te está muy bien vámonos ahora con la parte roja una anti derivada de de coseno eta es seno de teta por lo tanto esto nos queda menos 40 de teta ahora aquí la derivada de seno de teta coseno de teta así que haciendo una sustitución simplemente nos queda la anti derivada de esto es 4 seno cuadrado de teta sobre 2 que es y dividido entre 2 y tengo este 4 pues puedo puedo simplemente eliminar esto y ponerlo como un dos actos ok ya que divide entre dos muy bien y de hecho si ustedes derivan esto pues es dos por la derivada de seno cuadrado es dos veces seno de teta por la derivada del seno que es cosa y no detecta usando regla de la cadena y el 2 por el 2 nos da 4 entonces aquí pueden verificar que esto es cierto ahora bien vamos a restar la de la anti derivada de seno cuadrado de teta por coseno beteta pero otra vez la derivada de seno de teta es coseno etc entonces con una sustitución tendremos que esto es seno al cubo de teta sobre 3 y ahora qué es lo que vamos a hacer todo esto que obtuvimos es una anti derivada de lo que teníamos acá arriba esto vamos a evaluarlo desde cero a dos muy bien vamos a hacerlo poco a poco entonces quién es el costo el coseno de dos pi pues es uno así que vamos a tener menos uno estamos evaluando todo en dos y cosenos al cubo de 2 p coseno de ccoo seno de dos pies uno al cubo pues es uno entre tres correcto ahora vámonos con el verde un medio y por teta pero te 32 pi entonces tendremos pi y ahora vamos a ver en lo siguiente por qué un seno de dos veces dos pies seno de 40 seno de cuatro pies cero si nos damos cuenta aquí tendremos menos cuatro seno de 2 piqué también es cero más dos veces seno de dos y al cuadrado que es cero y menos seno de dos pie al cubo entre tres es cero entonces todo eso fue muy fácil de calcular muy bien hechos no calculamos nada puede ser y a esto le tenemos que restar esta este resultado que obtuvimos pero evaluado en 0 entonces vamos a ver coseno de cero es 1 y con el menos de acá tendremos menos 1 coseno de cero es 1 al cubo es uno entre 3 es un tercio y ahora un medio de tt evaluado en cero pues es 0 y nuevamente seno de cero es cero así que todos estos se cancelan muy bien entonces simplemente ya terminamos con esto y vamos a ver quién es tendremos menos uno más un tercio y aquí vamos a sumarle pi muy bien ya le sumamos y le restamos menos 1 entonces nos queda más 1 y le restamos un tercio y es menos un tercio y esto se cancela con este este tercio con este otro y ahora sí nos merecemos unos grandes redobles porque ya llegamos al resultado que speed merecemos un redoble en todo se simplificó al mismo resultado que cuando usamos el teorema stoxx de hecho creo que ahora fue más fácil al evaluar la integral de línea más que la de superficie llegamos todo a simplificarlo al mismo resultado que es pi