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Relación entre los teoremas de Green y Stokes

Ver que el teorema de Green solo es un caso especial del teorema de Stokes. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el último vídeo empezamos a explorar lo que es el teorema de stocks y lo que quiero hacer en este vídeo es ver si es consistente con algunas de las ideas que ya hemos visto por ejemplo si de esta forma podemos hacerlo consistente con algunos otros teoremas entonces voy a empezar a hacer como casi siempre algunos dibujos voy a pintar los ejes digamos ok entonces vamos a hacer este otro eje finalmente este otro que va a ser caps el eje de las 10 aquí está el eje de las 10 es el eje de las equis ok y este vertical por supuesto es el eje de las setas y ahora vamos a imaginar una una región que esté contenida únicamente en el plano xy por ejemplo algo que se vea como de esta forma no sé y esta región sólo para hacer buena onda con ella vamos a ponerle un nombre y que se llame r ok entonces tengo esta región que solo está contenido en el plano xy y que además de todo pues está definida por una curva cerrada si queremos utilizar el teorema de stocks como lo vimos en el vídeo pasado voy a tener que definir esta curva pero además como la recorro y como ya es costumbre voy a recorrerla como en el sentido contrario a las manecillas del reloj de esta forma le pongo las flechitas para que sea más claro entonces recorremos esta curva en ese sentido entonces que es lo único que nos falta para poder usar el teorema de stocks pues es un campo vectorial y me voy a tomar uno muy particular digamos qué efe s/a pd xy que es una función que sólo depende de x y en la primera componente en la dirección x más una función q que también sólo depende de xy de y en la dirección del vector j y no vamos a tener ninguna componente en la dirección z entonces aquí puedo tener yo distintas cosas no sé a lo mejor cosas muy locas pero el detalle es que una vez que yo tengo esto como no tengo ninguna condición sobre la la la componente z entonces todo esto queda contenido en el plano xy además si yo me elevo por ejemplo por acá arriba voy a tener que todos estos vectores son los mismos pues sólo dependen de xy de ye verdad entonces déjenme déjenme bueno va a dejarlo así sale entonces lo que ahora sí voy a poder hacer es calcular la integral de esta sobre esta curva del campo vectorial efe pero estamos integrando a lo largo de nuestra curva y multiplicamos por de er a lo largo de esta curva verdad donde la curva es la frontera muy bien entonces si quiere usar el teorema de stocks esto me dice que va a ser la integral doble sobre la superficie pero la superficie en realidad es sólo nuestra región r ok lo único que nos falta determinar es quién es el rotacional de este campo vectorial y quién es el vector normal unitario pero bueno al menos podemos decir que lo que sea que eso sea va a multiplicar a una diferencial de área no donde ya sabemos que que significa eso entonces vamos a ver quién es el rotacional de f vamos a ver el rotacional de f podemos calcularlo como el un determinante verdad al menos nemo técnicamente esto es el determinante de los vectores y jota y acá en nuestra primera fila luego en la segunda ponemos la parcial respecto de x la parcial respecto de ye y la parcial respecto de z y aquí ponemos las entradas de nuestro campo vectorial que son en la dirección x q en la dirección y 0 en la dirección zeta entonces al calcular este determinante este determinante vamos a hacerlo va a ser nos tomamos primero y que multiplica a este sub determinante la parcial de 0 respecto de cero menos la parcial de cv respecto ez pero que sólo depende de xy de y no de z así que esto es 0 ahora menos nos tomamos la segunda que es jota que multiplica a la parcial de cero respecto de x que es cero menos la parcial de p respecto de z pero otra vez que sólo depende de x y así que esto es cero ahora nos tomamos el vector k que multiplica a este sub determinante la parcial de q respecto de x parcial de q respecto de x menos la parcial de p respecto de y ok entonces notemos que esto se hace cero verdad porque 0 -0 es cero y solo nos queda que el rotacional es esto lo único que nos falta determinar es ver quién es nuestro vector normal unitario y regresemos al dibujo veamos que esta superficie en realidad es una porción de plano entonces un vector normal es el que apunta en la dirección vertical así esto ya es ortogonal es perpendicular a esa región de plano por lo tanto para que tenga vector normal el perdón para que tenga norma 1 unitaria entonces nuestro vector n no es otra cosa más que el vector cada verdad justo el vector acá es el vector que apunta en la dirección vertical y que tiene norma 1 así que n es acá qué es lo que nos queda entonces al sustituir en la fórmula del teorema de stocks pues tenemos la parcial el rotacional que es parcial de q respecto de x menos la parcial de p respecto de iu y luego multiplicamos cada punto acá pero que apuntó que es simplemente la norma de acá y la norma de acá es 1 así que esto es lo único que nos queda por calcular y si eres bastante si tienes muy buena memoria recordarás que esto no es otra cosa más que el famosísimo teorema de greene el teorema de greene entonces qué es lo que estamos concluyendo el teorema de green es un caso especial del teorema de stocks para cuando tengo un campo vectorial definido de esta forma y la regional a lo largo de la cual estoy integrando es simplemente con esta contenida en un plano por una curva cerrada ok entonces no hemos demostrado aún el teorema de stocks no lo hemos aún demostrado sin embargo ya vemos que al menos tiene bastante o al menos coincide muy bien con lo que ya hemos visto hasta ahora que es el teorema de greene verdad al menos esto le da sentido y todo esto lo hicimos basado en la intuición del último vídeo