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El teorema de Stokes. Ejemplo (parte 2)

Parameterizar la superficie. Creado por Sal Khan.

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  • Avatar blobby green style para el usuario Ian93B
    En el video se menciona que la variable r varía entre 0 y 1, pero r=1, porque el radio de la circunferencia es x^2+y^2=1 y no x^2+y^2<1.
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Transcripción del video

ahora que hemos planteado nuestra integral de superficie vamos a intentar parametrizar la superficie y algo que hay que pensar es tomar todos los valores del círculo unitario déjenme marcarlo aquí digamos este es nuestro círculo unitario ok vamos de hecho asombrar lo que es justamente la intersección de nuestro cilindro con el plano xy verdad entonces tomamos todos estos puntos y los valores z ya vimos que son función de ye de hecho de hecho sabemos que aquí podemos despejar como se está igual a 2 - y entonces ya que tenemos esto visto podemos obtener cada punto de la superficie porque en cada punto de este círculo unitario le podemos asignar de gm lo pongo un poquito mejor le podemos asignar aquí en cada punto le podemos asignar un punto de la superficie entonces visto como como una función de esa forma entonces vamos a buscar todos los puntos primero del círculo unitario me pinto estos ejes rota 2 y aquí está el eje y y vamos a poner también el eje x ok con eso basta y ahora vamos a pintar aquí nuestro círculo unitario keith más o menos estoy haciendo mi mejor esfuerzo para pintar unitario más o menos de esta forma y ahora buscamos todos los puntos interiores de este círculo entonces voy a introducir un primer parámetro que voy a llamar teta teta la letra griega theta va a indicar el ángulo en el cual nos estamos moviendo para recorrer este círculo que entonces theta lo que me está midiendo esencialmente es el ángulo que yo voy recorriendo al moverme en el círculo entonces si teta es este ángulo y yo puedo moverme desde este punto alrededor del círculo pues tetas sólo le queda a tener valores entre 0 y 2 para entonces z está entre 0 y 2 pi muy bien ahora otro valor que yo tengo que introducir u otro parámetro es el valor de r donde r lo que me va a estar haciendo es medir la distancia que yo esté del origen del del origen de las coordenadas del 0 0 al círculo ok entonces qué es lo que voy a hacer por ejemplo fijándome en alguna en un radio fijo al moverme a lo largo o al variar el parámetro theta lo que va a estar haciendo es recorrer alrededor del origen con un radio fijo entonces y ahora variamos el radio puedo ir recorriendo más círculos de tal suerte que yo voy a rellenar todo está este círculo unitario o también lo puedes pensar de la siguiente forma que si yo fijo el ángulo y después le permito mover r entonces yo puedo ir moverme desde el origen hasta el extremo que es el círculo unitario entonces esto nos dice que el radio no está o sea no puede pasar de uno ni de cero es decir el radio es más grande que cero pero menor o igual que uno ok entonces con esto dicho vamos a utilizar trigonometría para expresar x y y ceta de esta forma porque x es esta distancia que no es otra cosa más que ere josé no de teta también tenemos por mismos argumentos que ya es igual a ere seno de teta simplemente es cosa de construir un triángulo rectángulo y considerar este ángulo teta y ahora bien cómo obtenemos está pues zeta de acá arriba sabemos que es despejando z es igual a 2 - y por lo tanto por lo tanto tenemos que zeta va a ser igual a 2 - jacques ere s no de teta 2 - r seno de teta ok entonces ya para concluir tenemos una parametrización de nuestra superficie en el plano x y esencialmente tenemos las famosas coordenadas polares y z es 2 - rc 90 donde r seno de teteyé entonces déjenme poner aquí ese va a ser igual en la primera en la primera entrada va a ser coseno dt está por y que es nuestro vector dirección en la dirección x más r seno de teta que va en la dirección vertical que es el vector j + 2 - r seno de teta en la dirección zeta