El teorema de Stokes. Ejemplo (parte 3)

ya estamos listos para llegar a la parte más sustancial de evaluar esta integral y poder expresarla en términos de una integral doble de los parámetros y lo primero que haré es expresar esta parte de aquí que es esencialmente la que contiene al vector normal unitario y vamos a reescribir lo usando los parámetros bajo las bajo los cuales parametrizados nuestra superficie ese entonces vamos a reescribir nds porque n de s también sabemos que lo podemos escribir como un vector de esta forma como la diferencial de un vector la diferencial de s que esencialmente está tomando un vector que apunta en la misma dirección del vector normal unitario pero que no tiene norma 1 este este compadre de aquí lo podemos expresar como ese ere que es la derivada de ese respecto de r cruz la derivada de ese respecto de theta la derivada parcial hay que multiplicar por las diferenciales de los parámetros es decir de teta de r ok este de teta y de r los podemos cambiar de orden eso dependerá de qué tan fácil o no es calcular la integral que nos va a resultar ok entonces vamos a ver también que necesitamos orientar muy bien nuestra superficie y para eso vamos a regresar nos al dibujo de aquí arriba porque hacia donde apunta el ese ere ese ere es la la derivada direccional al aumentar r pero se aumenta r pues esencialmente nos estamos alejando del centro ok y ahora bien simplemente es eta st está que es este de aquí bueno pues cambia según como estamos girando entonces no es fácil no es difícil más bien convencerse de que esto apunta de esta forma y eso es por cómo está girando esta superficie o más bien la curva ok como gira el ángulo esencialmente respecto al cual estamos parametrizado y por lo tanto pues cuando calculamos el producto cruz este vector no normal apunta justamente como estamos pensando en este dibujo entonces ya que tenemos esto lo que vamos a hacer es lo siguiente vamos a calcular quién es ese ere cruz ese teta vamos a calcular eso en adelante y que la forma que mejor me me gusta es cuando tenemos una lo podemos hacer de forma con con el determinante no entonces ese ere cruz ese teta pues lo podemos expresar como un determinante en donde en esta primera parte ponemos y ponemos a j y luego ponemos a cada ok y luego en esta parte vamos a poner las derivadas parciales ok respecto de r&d x 67 entonces la derivada parcial de x respecto de r simplemente es coseno de teta vamos a ponerlo simplemente coseno de teta la derivada de jr respecto de ere es seno de teta ya tenemos aquí seno de teta y la derivada de zeta respecto de r pues simplemente es menos seno de teta ok al derivar este 12 anula y seno de teta pues es una constante para fines de derivar respecto de r vamos a calcular este determinante de aquí y ahora vamos a ver a derivar respecto a este está cuál es la derivada de x respecto de teta pues es r por la derivada de coseno que es menos seno y entonces tenemos menos ere seno de teta ok es la primera parte luego la derivada de ye respecto de teta pues es r por la derivada de seno que es coseno entonces es r coseno de teta y luego es la derivada de zeta respecto de teta que es menos r por la derivada de seno que es coseno entonces es menos r coseno dt está ok entonces esto a quien va a ser igual bueno pues simplemente ponemos a y ok vamos a tomarnos primero esta entrada y por vamos a utilizar otro color entonces es el sub determinante de esta parte que es menos r jose no detecta por seno de teta ok es esta diagonal multiplicada menos este producto que es el recogen o beteta por menos seno de teta pero como es menos nos queda más r jose no de teta seno de teta y estas partes son las que me fascinan porque si se dan cuenta esto se cancela y se hace 0 entonces realmente no tenemos parte en y vamos a ver qué pasa con con j porque al tomar j aquí tenemos que considerar - j que multiplica ya este sub determinante que que queda de quitar esta columna está este renglón perdón y esta segunda columna que nos queda coseno beteta por - r coseno beteta que es menos r coseno cuadrado de teta y luego menos menos el producto de este por éste que es menos r s no detecta por menos de teta menos por menos es más y nos queda r seno cuadrado de teta que si se dan cuenta esto lo vamos a poder simplificar pero vamos vamos haciéndolo por pasitos y luego tengo que sumar ahora tomando el término en k de que multiplica a este sub determinante que es esta diagonal que es r coseno cuadrado de teta de teta y aquí es menos por menos crs no beteta porción a beteta entonces nos queda más r seno cuadrado de teta seno cuadrado de teta entonces si se dan cuenta de en esta parte de acá arriba yo por distribuir el menos y aquí tengo más más y más es decir el menos que multiplica cada uno de los sumandos y tengo r que multiplica a coseno cuadrado de teta más seno cuadrado de teta pero cocino cuadrado más seno cuadrado es la la identidad más fundamental que tenemos esto simplemente es uno entonces r por uno simplemente es r del lado de abajo tenemos esencialmente lo mismo porque tenemos r por coseno cuadrado de teta más seno cuadrado de teta que nuevamente por la identidad trigonométricas más sencilla que conocemos esto es uno que es lo que nos quedó pues qué s cruz s t está simplemente es j que multiplica a r mas k que multiplica también a r entonces vamos escribiendo esto porque esta integral de aquí finalmente como nos queda es de la siguiente forma tenemos la integral ok la integral del rotacional de nuestro campo efe punto nuestro vector normal por de s que ya lo calculamos que esto es simplemente déjenme lo escribo bien es rj más cerca rk y aquí es de teta de r pero te está entre key que se mueve pues teta se mueve entre 0 y 2 pi y la r se mueve entre 0 y 1 porque todo esto era el círculo unitario entonces lo voy a dejar ahí en el próximo vídeo vamos a calcular el rotacional df y quizás en ese mismo vídeo si tenemos suficiente tiempo llegamos a la última parte