Si estás viendo este mensaje, significa que estamos teniendo problemas para cargar materiales externos en nuestro sitio.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Contenido principal

El teorema de Stokes. Ejemplo (parte 4)

Encontrar el rotacional del campo vectorial y luego evaluar la integral doble sobre el dominio de los parámetros. Creado por Sal Khan.

¿Quieres unirte a la conversación?

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.

Transcripción del video

ya estamos en la parte final del problema solo tenemos que evaluar el rotacional df y hacer el producto punto con el vector que obtuvimos en el vídeo anterior ya que tenemos esto simplemente nos falta evaluar la integral doble así que para allá de una vez ir concretando esto vamos a calcular el rotacional de f entonces el rotacional de f de hecho nuestro campo vectorial efe lo acabo de copiar aquí para que tengamos muy presente de qué es lo que estamos hablando lo podemos entender como un un determinante el determinante que no es tal cual un determinante simplemente es como digamos una regla nemotécnica para acordarnos muy bien ponemos en el primer renglón a los vectores canónicos a los vectores y jk en el siguiente renglón ponemos la parcial respecto de x parcial respecto de ye y la parcial respecto de z y en el último renglón vamos a poner las entradas del campo vectorial entonces la primera entrada es menos de cuadrada las siguientes equis y la última es cuadrada vamos a calcular esto ok entonces nos tomamos primero el vector y el vector y simplemente es calcular el determinante de esta pues digamos de esta forma matricial que no es tal cual una matriz entonces nos tomamos el sub determinante de esto y es la parcial de zeta cuadrada respecto de iu que es cero menos la parcial respecto de zeta de x que también es cero porque x no depende de z así que esta primera parte no no es relevante para para este rotacional cuál es la siguiente parte nos tomamos el vector jota o que iba a ser jota que multiplica hay que ponerle su signo menos recuerden que vamos alternando el signo entonces cuando tomamos el vector jota quitamos el renglón y la columna y nos queda la parcial respecto de x dz cuadrada que es cero - la parcial respecto de z de menos de cuadrada que también es cero todos esos no dependen de las variables por las cuales estamos derivando entonces toda esta parte no va vamos a tomar ahora la que tomamos acá que multiplica a la parcial respecto de xx que es 1 y la parcial bueno nos falta menos la parcial respecto de ye de menos de cuadrada pero eso es menos 2 y como estamos restando nos queda más 2 entonces toda esta parte no fue relevante simplemente nos quedamos con que el rotacional es uno más 2 y por el vector k el unitario en la dirección zeta que vamos a hacer ahora pues vamos a sustituir eso en nuestra integral entonces tenemos la integral de 0 a 1 que es la para la variable r de la integral de 0 a 2 pi para la variable teta del rotacional aunque y el rotacional que es uno más dos por el vector k que multiplica al vector que obtuvimos en el vídeo anterior que es rj más cerca y todo esto lo integramos respecto de theta respecto de r vamos a simplificar esto porque cuando uno tiene cada punto bueno este este producto interior lo podemos distribuir entonces nos queda uno más dos por r que multiplica a cada punto jota pero acá punto j como son ortogonales es decir tenemos que el vector k es el 0 0 1 y el vector j es el vector 0 10 entonces al hacer el producto interior entre estos dos que simplemente multiplicar entrada por entrada y sumarlo entonces nos queda 0 si nos queda 0 entonces lo único que nos queda es hacer cada punto acá que es 1 y simplemente nos queda entonces dejen me dejen ir escribiendo esto un poco más abajo entonces nos queda r que multiplica a 12 y entonces vamos a ir escribiendo esto esto es la integral de 0 a 1 de la integral de 0 a 2 y ok la integra la ciudad 2 pide quien dijimos r que multiplica a 1 r más dos veces r porque pero y vamos a recordar quién era y es rs no detecta entonces si multiplicamos por r nos queda dos ere cuadrada seno de teta y todo esto vamos a integrarlo respecto a teta ok respecto a r vamos a ver ahora si quienes esto porque al integrar respecto de teta simplemente si nos damos cuenta la integral de r respecto de teta pues es es receta ok y ahora si integramos 12 cuadradas enoé teta respecto de teta es 2 r cuadrada por la por la integral de ese 9 teta que es menos coseno etc entonces déjenme déjenme quitar esto y le pongo menos 2 r cuadrada coseno de teta que todo esto hay que evaluarlo entre 0 y 2 para que de esta forma y que es lo que hay que hacer ahora pues integral respecto de r de 0 a 1 respecto de r y esto por supuesto es muy sencillo ya es una integral definida de una sola variable vamos a ver quien es esto esto es igual a la integral de 0 a 1 ok de quién es esto vamos a ver vamos a ir calculando porque rt está evaluado en dos pies r por 2 y menos 2 r cuadrada y coseno de tt valuado en 2 pi pues es 1 ok ya todo esto hay que restarle cuando evaluamos en cero pero el reporte está evaluado en cero es cero y simplemente restamos dos r cuadrada coseno de cero que es 1 entonces aquí podemos hacer los más tenemos 12 re cuadrada y menos 12 re cuadrada estos dos se cancelan y simplemente la integral que me toca resolver es 2 pi por r respecto de r y esto simplemente es esto es muy sencillo verdad porque esto es 2 pi por la integral de r por la integral de r es r cuadrada entre 2 x 2 pi simplemente me queda para borrar por r cuadrada y esto evaluado entre 0 y 1 pero en uno vale y por 1 al cuadrado espí y al restarle cuando evaluamos en cero r cuadrada en cero es cero y nos queda menos cero que esto simplemente es pi y aquí podemos ya sacar los redobles porque ya terminamos el problema después de cuatro vídeos así que sólo para recordar lo que hemos hecho en estos últimos vídeos nos pedían calcular queríamos calcular esta integral verdad la integral a lo largo de una curva de nuestro campo vectorial pero bueno utilizábamos el teorema de stocks para hacerlo digamos lateralmente después en otros vídeos vamos a hacerlo está vamos a calcular esta integral de línea directamente para que vean que si en efecto es el mismo resultado después calculamos la integral de superficie sobre esta región que era suave por trozos con fronteras también suave por trozos y la trayectoria de la de la cual queríamos integrar pues era la frontera de esta región ok entonces al evaluar esta integral de superficie que fue lo que hicimos en todos estos vídeos ya después de varias cuentas llegamos a que el resultado es pi