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Transcripción del video

he dibujado varias versiones de la misma superficie es decir de hecho sólo hice una superficie y la copié cinco veces y cinco copias de ella y lo que quiero es que pensemos por un momento en el valor de una integral la integral de línea de estética de cada uno de los campos vectoriales es decir estoy pensando en la integral de nuestro campo vectorial efe punto a punto de rr sobre la curva sé dónde déjenme explicarles quienes cada cosa se en este caso es la curva que define a nuestra superficie es decir la curva en su frontera la curva de la frontera que definen la región en el espacio de tres dimensiones de esta superficie de cada una de estas superficies y efe es un campo victoria lo una función vectorial que está definida de forma distinta en cada uno de los casos aunque hay entonces a partir de esto quiero llover o pensar en el valor de la integral de la línea de cada uno de los casos cuando estamos cambiando el ejemplo del campo vectorial ok entonces vamos a iniciar en este primer caso éste que está acá arriba y algo que hay que notar es que la curva que define esta superficie no es lo mismo recorrerla en el sentido de las manecillas del reloj hacia acá a el sentido contrario entonces yo voy a recorrerlo en sentido contrario a las manecillas del reloj y vamos a ir viendo qué pasa con este con este valor de la integral entonces por ejemplo si empezamos aquí si vamos recorriendo la la superficie en esta dirección entonces notamos que nuestro recorrido sobre la trayectoria va en la misma dirección que el campo vectorial entonces en ese sentido está integral en esta parte es positiva vamos a ver qué pasa si seguimos por aquí si vamos subiendo en ésta en este sentido digamos podemos pensar cómo que el campo vectorial que es constante es digamos ortogonal lo que es perpendicular a nuestro recorrido entonces vamos a pensar que aquí en realidad estoy agregando nada es decir estoy agregando 0 a éste a este valor de la de la integral sobre sobre esta curva que pasa cuando nos saltamos a esta región de la de la curva que define a la superficie es decir si ahora recorremos en esta dirección y déjeme poner bien las fechas y recorremos ahora en esta dirección dirección estamos recorriendo en el sentido contrario en el que apunta el campo vectorial entonces en este caso el valor de la integral es negativo sobre este pedacito y bueno cuando bajamos cuando bajamos ok que estamos recorriendo esta bajada sobre la superficie aquí otra vez podríamos pensar que son ortogonales el recorrido de la trayectoria con digamos la dirección en la que apunta el campo vectorial entonces vamos a poner que 0 qué es lo que podemos notar si este campo vectorial es constante y digamos estas longitudes son iguales entonces podríamos pensar que este valor negativo que está acá arriba es igual a este valor pero que que acá abajo es positivo pero como son signos distintos en realidad se cancelan digamos esto es porque el campo victoria les constante tenemos algunas propiedades de que sean la misma longitud en fin vamos a pensar que en efecto estas dos magnitudes se están cancelando ok entonces en este caso en este caso tenemos que la integral del campo vectorial punto de res sobre la curva se es cero ok en este caso se anulan ok está perfecto vámonos al siguiente caso a ver qué pasa con este si vamos recorriendo a lo largo de ésta de este pedazo entonces tenemos que aquí otra vez coincide la dirección entonces tengo que el signo es positivo que pasa a la hora de ir subiendo cuando vamos subiendo otra vez podríamos pensar que es ortogonal verdad es decir éste apunta hacia arriba y éstos o bueno éste apunta en la dirección de la trayectoria de forma ver vertical mientras que el campo victoria ya sea que arriba o abajo apunta de forma horizontal entonces vamos a pensar que es cero otra vez en este caso qué pasa cuando nos recorremos digamos esta sección entonces ahora a diferencia del caso anterior tenemos que coincide el campo vectorial con la dirección en la que recorremos la trayectoria entonces aquí le asignamos un valor positivo ubs eso parece más bien como una estrellita valor positivo muy bien y ahora finalmente cuando bajamos pues tenemos el mismo caso de que lo hacemos digamos de forma vertical y el campo vectorial apunta de forma horizontal así que tenemos cero cuál es la gran diferencia con el caso anterior aquí hubo un cambio en la dirección del campo vectorial verdad hubo un cambio en la dirección en esta parte de abajo apunta hacia la derecha y arriba apunta del lado izquierdo entonces en realidad podríamos pensar aquí bueno de hecho podríamos garantizar que la integral es positiva ok este valor es positiva el de la integral sobre la curva cerrada ahora esto a qué se debe pensamos lo por ejemplo en éste en esta sección es en donde hubo un cambio en la dirección y podríamos pensar que tenemos por ejemplo un palito aquí aquí tenemos un palito que ésta no se digamos que este campo vectorial representa el el campo de di de velocidades de un fluido por ejemplo aquí hay un fluido que se está moviendo y las flechas nos apuntan que tan rápido y en qué dirección lo está haciendo entonces si ponemos un palito aquí lo que va a ser este palito por por digamos por acción del fluido del agua digamos es empezar a girar ok entonces este campo victoria lo que tiene es un rotacional tiene un rotacional rotacional ok y de hecho éste rotacionales positivo sale este look piensa que está escribiendo tengo un rotacional positivo muy bien entonces cuál fue la gran diferencia en este caso tengo un rotacional es decir hay un cambio en la dirección que hace que a lo mejor un palito si está en un líquido pues empieza a girar no ok vamos a nuestro tercer caso aquí por ejemplo si vamos recorriendo en esta dirección coinciden entonces otra vez le toca ser positivo pero el campo vectorial está diseñado para que cuando estemos subiendo coincida nuevamente con él con la dirección en la que recorremos la trayectoria y eso pasa también acá arriba y también ocurre cuando vamos bajando keith effect entonces en todos lados está ocurriendo que coincide la dirección de la trayectoria en la que la recorremos con la dirección del campo vectorial ok entonces en este caso la integral de el campo vectorial a lo largo de nuestra curva es más positiva que es más positiva aquí se deberá esto bueno en este caso podríamos ver que también tenemos cambios en la dirección y tenemos rotacionales podríamos pensar en el mismo ejemplo del palito que está girando pero aquí el campo vectorial de ayuda muchísimo entonces en este caso también podríamos decir que tenemos más rotación al que el caso anterior más rotacional será no sé quizás ya te está dando alguna idea que mientras más rotacional más positivo es ésta es ésta integral ok y en realidad efe lo que quiero no está ahorita es que efe la función es el campo vectorial puede hacer cosas muy locas afuera de esta superficie no no sé exactamente qué es lo que está haciendo pero dentro tiene esta configuración sólo nos interesa ver qué es lo que pasa dentro de la superficie vamos con este cuarto caso por ejemplo entonces en este cuarto caso lo que vamos a tener es que si recorremos en esta misma dirección ok coincide completamente entonces tenemos que es positivo hala hala al ir subiendo ok otra vez digamos son ortogonales y tengo cero ahora cuando recorro esta parte hasta aquí tengo un valor positivo pero aquí ya hubo otra vez un cambio en la dirección entonces cuando recorro esta última parte digamos aquí voy a tener un pequeño valor negativo que pasa cuando voy bajando otra vez pues eso pues será nulo ok son ortogonales vamos a pensar que eso es cero y por lo tanto qué es lo que me queda este campo vectorial digamos tiene un valor si es positivo de es muy pequeña la parte en donde es negativo pero no es tan positivo como este segundo caso es decir si comparamos con estos dos éste tenía un campo común una un valor de cero su integral a lo largo de esa curva y éste tenía un valor positivo pero muy positivo éste tiene una partecita negativa y que le resta le resta valor ok entonces en ese sentido podríamos hacer esta comparación donde está la el rotacional en estos cambios por ejemplo si aquí tenemos un palito otra vez tenemos un palito aquí que este es el campo de velocidad de lo de un fluido entonces éste palito va a girar en esta sección vámonos al último caso que nos dice el último caso bueno aquí por ejemplo podríamos y recorriendo la la trayectoria y tenemos un valor positivo lo que hay que notar en stem en este mismo ejemplo es que también tenemos cambio de direcciones por ejemplo tenemos este cambio de direcciones y este otro cambio de direcciones ok entonces estoy representando rotacionales por ejemplo distintos es decir si yo pongo un alito aquí que está flotando sobre este fluido entonces éste gira de esta forma pero si yo pongo un palito de este lado gira en sentido contrario entonces quiere decir que esté rock estos dos rotacionales se anulan es decir tienen direcciones contrarias ok entonces podríamos pensar que sí que sí tenemos estos dos rotacionales de forma distinta pues entonces la integral sobre esta superficie va a ser cero y vamos a ver que si bien vamos a terminar este recorrido por ejemplo qué pasa si subimos ahora por aquí entonces otra vez tengo que en esta sección es cero y ahora cuando recorremos esta parte notamos que este campo victoria la punta en dirección contraria donde me estoy moviendo entonces tengo un valor negativo ok entonces realmente sí hubo varios cambios de dirección pero al final el que me importó fue el que está hasta arriba y luego cuando vamos bajando cuando vamos bajando aquí tengo valor cero entonces otra vez qué fue lo que pasó tuvimos que la integral la integral de efe sobre esta trayectoria sobre esta curva sobre esta trayectoria fue otra vez 0 pero a diferencia de la primera aquí no teníamos un campo vectorial constante sino si teníamos varios cambios de varios cambios de dirección entonces por qué qué fue lo que ocurrió aquí entonces dejé me dejen ir bajando era notando algunas cosas será que todos estos ejemplos todos estos ejemplos me están dando idea de que el rotacional tiene mucho que ver con el cálculo de la integral de línea será cierto por ejemplo esto esto nos sugiere que como que hay que sumar todos los los rotacionales es decir si yo quiero calcularla integral de la línea d efe efe a lo largo de esta curva es decir de rr a lo largo de esta curva será cierto que esto va a ser igual a la suma a la suma de todos los rotacionales y eso se representa como un integral verdad si yo quiero sumar muchas cosas a lo largo de esto pues será la suma del rotacional de efe ok y esto lo vamos a hacer a lo largo de toda la superficie es decir vamos a sumar todo el rotacional ok ahora respecto a quién tengo que integrar bueno pues aquí es en una integral es una integral perdón sobre una superficie entonces tengo que hacer producto puntocom n ok y todo esto multiplicarlo por d&s de qué otra forma puedo yo ex e escribir esto como vimos en algunos vídeos anteriores esto es lo mismo que la integral sobre la superficie ese del campo vectorial efe pero voy a hacer producto con ds donde ese vamos a pensarlo como un vector sale entonces qué es lo que estamos haciendo esta es una intuición de que la suma de los rotacionales sobre la superficie tiene mucho que ver con la integral a lo largo de la curva que define a esta a esta superficie y todo esto el objetivo de este vídeo oro de este vídeo perdonar a dar idea de qué era lo que estaba pasando y si en realidad esto aunque ahorita lo planteamos como una pregunta en realidad es cierta y tiene un nombre ok tenemos tenemos un nombre para esta idea y lo expresamos con el nombre del teorema de stocks el teorema de stops ok este teorema stocks es lo que justifica que podamos hacer estas igualdades pero vamos a explorar un poco más en futuros vídeos