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Transcripción del video

ahora que tenemos un entendimiento conceptual de lo que una integral de superficie puede ser quiero pensar en cómo construir un vector unitario normal porque cuando queríamos calcular esta esta integral de superficie necesitamos encontrar un vector unitario normal a esta superficie para poder hacer este producto / efe y n entonces esa pregunta nos queda y vamos a resolverlo primero suponiendo que esta superficie está parametrizar a esto es que la superficie es ese perdón en realidad es la imagen de una función vectorial r que depende de dos parámetros o ive ahora ya que tenemos esto lo que tenemos que ver es cómo cambia r sobre cada una de las direcciones vive es decir queremos ver cómo como es r ok la la derivada de r respecto de u y como es r es decir la derivada de de r respecto debe ok entonces si consideramos esto de esta forma vamos a ponerlo sobre la superficie para verlo claramente entonces tomemos un punto y coma ok ese punto v después de aplicarle la función r es en realidad un vector sobre esta esta superficie ok ahí está rv entonces si yo vario es decir en la dirección en la dirección y a lo mejor me da un punto por aquí ok no sé cuál sea déjenme ponerlo más claro este me da este punto de aquí y pues eso me determina un vector cierto este vector que es hereu que resulta de ver cómo cambia el el vector r sobre la dirección u y por lo tanto como es una derivada estamos hablando de un vector tangente a la superficie ahora bien cómo cambiaría el el bueno si quieren vamos a hacerlo un poquito más grandes por ejemplo vamos a pintarlo de este lado ok más o menos así se vería el vector r muy bien ahora pensemos lo mismo pero en la dirección b es decir cómo cambia el vector r cuando nos movemos sobre la dirección b entonces no sé a lo mejor es un punto aquí y esto me determina un vector citó que pues no sé cómo sea a lo mejor lo podemos representar de esta forma que aquí está el r&b otra vez este vector r&b como estamos hablando de vectores derivada entonces es tangente a la superficie y es tangente sobre la dirección b entonces estos dos vectores estarán generando digamos si tomamos combinaciones lineales de ellos están estarán generando un cierto plano un cierto plano y como estos dos son vectores tangentes a la superficie en realidad están generando un vector perdón un plano tangente un plano tangente a la superficie en este punto sobre de ella entonces en realidad pensemos ahora en lo siguiente si yo quiero un vector ortogonal o normal a la superficie en realidad estoy pensando que sea ortogonal o normal es lo mismo a todo el plano tangente en ese punto entonces si yo me tomo un vector aquí un vector normal a este plano ya estaría encontrando el vector o más bien uno de los vectores normales a la superficie entonces basta con tomarme el producto cruz de estos dos vectores para encontrar uno que sea ortogonal a la superficie ok como vemos el producto cruz bueno pues no sé si recuerden esto de la regla de la mano derecha déjenme hacer todo mi mejor esfuerzo para dibujarlo en serio estoy viendo ahorita aquí mi mano mi mano derecha para poder dibujarlo por ejemplo aquí mi dedo pulgar se los juro estoy haciendo mi mejor esfuerzo ok ahí está mi dedo pulgar y voy a tener por aquí mi dedo índice déjenme ponerlo un poquito más más claro porque quiero pasar un dedo por encima de él entonces este es mi dedo índice sale muy bien ahí está mi dedo índice y lo que estamos haciendo es es considerar que mi dedo el que está en medio el dedo el dedo de medio de la mano este dedo en realidad está apuntando digamos hacia adentro está apuntando hacia adentro de dónde están los otros dos entonces éste en realidad estará apuntando más o menos de esta forma como lo estoy viendo ok ahí está mi dedo el dedo de en medio y aquí tengo el resto de los dedos pero eso es bueno no importan mucho los otros dos dedos y bueno aquí estaría de la mano ok entonces en realidad estamos poniendo aquí digamos el rv sobre este el dedo el dedo pulgar y si ponemos el r&b r&b el revés sobre el sobre el dedo índice hacia donde apunta el dedo el dedo el dedo de en medio es en dónde está hereu cruz r&b ok entonces de esta forma con la regla de la mano derecha espero le la agarre en la onda mi dibujo es cómo podemos determinar la dirección hacia donde apunta ok entonces ya que tenemos esto dicho este es uno de los tantos vectores normales a la superficie ok este es un vector normal no es único ahorita tenemos por ejemplo si tienen uno en una dirección si lo estiran o lo encogen también son vectores normales entonces de estos solo queremos considerar aquel vector de hecho este de aquí este de aquí es un es un vector que es ortogonal o perpendicular tanto a hereu como hervé ok entonces lo que queremos encontrar es ahora un vector pero que no sólo sea eso ahora ojo lo de la regla lo de la regla de la mano derecha es porque tenemos dos vectores digamos o dos direcciones posibles la que apunta hacia afuera como está aquí en el dibujo o la que apunta digamos hacia dentro de la superficie ok entonces después de que ya tenemos este vector seleccionado yo quiero uno que sea unitario es decir cuya norma sea 1 cómo hago eso pues voy ahora sí a definir con todas todas mi vector unitario que de hecho está definido en cada punto b ok y este va a ser pues simplemente este vector que tenía hereu cruz rb y ahora lo que voy a hacer es dividir este vector entre su norma de esta forma estaría garantizando que estoy recortando lo recortando lo tanto como sea posible para que este nuevo vector ok este nuevo vector que defino como hereu cruz rv sobre su norma esto ya tiene norma 1 verdad porque la norma de o más bien un vector dividido entre su norma ya tiene norma 1 ok de esta forma hemos construido ya un vector normal unitario en cada punto de la superficie y espero que haya quedado bastante claro de cómo hacerlo