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La representación vectorial de una integral de superficie

Transcripción del video

en el último vídeo vimos cómo construir un vector normal unitario a la superficie y estaba dado por esta fórmula que estoy marcando aquí este vector n que esencialmente es la parcial de r respecto de cruz la parcial de r respecto de b entre la norma de este mismo vector esta es el dividido entre su norma es lo que nos hacía que fuera unitario entonces lo que queremos hacer en este vídeo es sustituir esta fórmula en la integral original que de hecho ya la volvía a copiar y estamos integrando sobre la superficie y lo que quiero es que veamos una forma de simplificar esto un poco y podamos resolver esta integral o bien de expresar esta misma integral de varias formas según según algunas aplicaciones que pudiéramos tener o algunos autores que quieran darnos a entender algunas cosas lo pueden expresar de distintas formas entonces vamos a tratar de abarcar unas varias así que vamos a empezar el vídeo justamente sustituyendo esto el igual a la integral a la integral sobre la sobre la superficie de f donde f si se acuerdan es una función vectorial es un campo vectorial ok y vamos a multiplicar a m quien sn déjenme hacerlo solo con blanco para para notar darme tanto entonces esto va a ser r b cruz r b todo esto lo dividimos entre la norma de hereu cruz rb la norma o la magnitud ok y ahora lo que hay que hacer también es sustituir de s quien desde ese bueno vimos en vídeos anteriores cuando cuando estábamos construyendo la integral de superficie que de ese esencialmente es el área es una área verdad es como el área de un parche que se encuentra sobre la superficie entonces como calcula vamos es a esa área pues lo calculamos como la magnitud o la norma de eeuu rb ok y esto lo multiplicamos por dvd que que aunque es notación lo podemos interpretar como que son cambios muy pequeños en el parámetro y en el parámetro b ahora como ya estamos de esta forma ya no estamos integrando sobre la superficie ya ya ya la sobre lo que estamos integrando es sobre beebe entonces vive estarán definidos en el plano recuerden que la superficie estaba en en el espacio de tres dimensiones vive están en el plano en la en el espacio de dos dimensiones en alguna región r digamos ok entonces si eres bastante listo y bastante abusado te darás cuenta que esto ya se puede simplificar bastante verdad porque porque tenemos la misma magnitud de hereu cruz rb en este denominador y aquí arriba multiplicando este salida del factor de quien era de s así que para simplificar esto podemos simplemente quitar estos dos numeritos así que esto será la integral la integral sobre nuestra región r donde estén definidos los parámetros de f que es nuestro campo vectorial punto y r estos dos se cancelan verdad entonces nos queda r 1 cruz r b y esto lo integramos sobre las variables y ve ok esta fórmula es la que usaremos a menudo para calcular esta integral es la más sencilla digamos para que podamos calcular es lo que lo que signifique esta integral de superficie ahora esencialmente así vamos a calcular esto es decir si tenemos una parametrización r porque herrera la parametrización de la superficie entonces podemos calcular sus derivadas parciales hacer un producto cruz y eso nos da un vector que si hacemos producto punto o producto escalar producto punto vamos a llamarle con con el vector efe que f es un campo vectorial o una función vectorial esto nos va a dar un número y eso ya lo podemos integrar sobre beebe entonces lo que quiero ahora ver es otra forma en que podríamos ver esta misma integral y voy a empezar de esta de esta expresión de aquí ok hereu cruz r&b por dv entonces vamos a vamos a expresar esto por ejemplo tenemos hereu es la parcial de r respecto de v ok y estamos haciendo producto cruz con la parcial de r respecto de be ok y todo esto estamos multiplicando lo todo esto por dv dv ok entonces lo que lo que podemos ver es que de wii debe esencialmente aunque son notación podemos interpretarlos como cambios pequeños en la variable v y en la variable b entonces lo que voy a hacer es recordar por ejemplo que pasa cuando tengo la multiplicación de un escalar lambda cuando multiplica a cruz b ok a y b son dos vectores entonces esto yo lo puedo expresar como lambda es decir en la constante pueden meterse con alguno de estos vectores y después hacer el producto cruz con el otro o bien puede meterse con el otro vector verdad es decir que yo puede expresar esto como a cruz lambda b entonces voy a usar esta idea para que debe vistos como numeritos yo sé que no es formal esto que estoy haciendo es quizás son son un poco esotéricas estas matemáticas que estoy haciendo pero da muy bien la idea de qué es lo que lo que estamos viendo en una integral de superficie entonces ésta dv yo puedo meterlo con la parcial de r respecto de qué y entonces tengo la parcial de r respecto de v que multiplica a de q aunque y tengo esto y esto lo puedo asociar ahora debe puede meterse con la parcial de r respecto debe entonces voy a tener la parcial de r respecto de b que multiplica a debe ok así es cómo puedo yo separar este producto cruz ahora bien esto esto esencialmente digamos dv la parcial de r respecto de eeuu es que tanto cambia el vector r al variar el valor y entonces desde esta perspectiva de eeuu es un cambio infinitesimalmente pequeño la está digamos este parcial de v es también un cambio infinitesimal mente pequeño entonces lo que yo puedo hacer e insisto esto no es del todo formal pero pero se vale es cancelar estos dos numeritos cancelo estos dos iguala parcial debe con debe porque esencialmente son los mismos cambios ok esencialmente son los mismos cambios no es formal esto pero da mucha intuición de a dónde vamos a llegar entonces esto lo puede escribir como déjenme bajar un poco esto es digamos la diferencial vamos a llamarlo así la diferencial de r en la dirección y esto esto no es la derivada parcial de r respecto de eeuu simplemente es el cambio en r la diferencial que hay en esta dirección y vamos a hacer el producto cruz con la diferencial de r en la dirección b ok entonces esto se volvió simplemente otra vez un producto cruz de dos vectores entonces que que es lo que estamos haciendo déjenme hacer un dibujito de esto vamos a ver y digamos que tengo aquí mi superficie ahí tengo una superficie vamos a de esta forma que me pase un poco pero no importa la idea es que quede claro entonces cuando yo tengo aquí un punto digamos me fijo en un punto constante sobre la superficie quién es la diferencial de herrera en la dirección es decir vario tantito y vemos cómo varía el vector el vector r entonces esto me da un vector de esta forma ok también tengo la diferencial de r respecto de b entonces voy a tener también un cambio en este vector en alguna dirección correcto entonces cuando yo estoy calculando el producto cruz de dos vectores lo que yo obtengo es un tercero que es ortogonal a ellos verdad es decir que su ángulo con respecto a los otros déjenme pintarlo mejor que tengo yo este tengo un ángulo de 90 grados entonces es ortogonal a los otros dos pero esencialmente ahora déjenme lo quito quiero quiero que nos fijemos en otra cosa esto esto nos da un vector normal normal a la superficie a la superficie pero además sabemos que el área del producto cruz de estos dos vectores esencialmente se perdón la magnitud de este producto es el área que definen estos dos vectores en un paralelogramo que es esta área entonces esto es su magnitud su magnitud es igual escribirlo así es igual al área vamos a dejarlo así al área cual área al área definida por el paralelogramo entre estos dos vectores entonces si nos damos cuenta esto podría ser común de ese está de ese cual es la única gran diferencia la gran diferencia es que este de aquí es un vector y de ese es un número es un área entonces vamos a digamos a nombrarlo como desee pero vector ok en donde de ese vector significa justamente esto estamos calculando un vector normal a la superficie cuya magnitud es el área de este pequeño parchecito definido por las diferenciales entonces al final que es lo que nos queda esto va a ser igual a la integral a la integral son son símbolos bastante chistosos verdad muy elegantes sobre la superficie de efe perdón vamos a él el f lo tenía con color rojo entonces esto es efe punto y ahora de ese que es esta parte del morado es d es la diferencia es que esto es un vector y no es un número entonces ya tenemos tres formas distintas de escribir esta misma integral de superficie que ya está esta es la última que encontramos también tenemos esta que es la que más nos va a servir para calcular esencialmente la la integral y también su expresión original que teníamos ok cuál es la diferencia pues realmente depende de lo que el autor quiere hacer con cada uno de ellos bueno aquí vamos a pararle y nos vemos en el próximo vídeo