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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 6: Integrales dobles (artículos)

Integrales dobles más allá del volumen

Las integrales dobles nos sirven para más que encontrar el volumen bajo gráficas tridimensionales. En esta lección estudiamos otros usos, establecemos una notación más general para estas y explicamos la "sensación" de usar integrales dobles.

Antecedentes

Integrales dobles sobre regiones que no son rectangulares

Qué vamos a construir

Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el sentimiento de querer cortar una región bidimensional en un número infinito de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada una por algún valor y luego sumarlas.
La notación más general para una integral doble es
$\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}$ ‍
donde
$R$ ‍ es la región de integración.
$d A$ ‍ significa un "fragmento pequeño de área", que típicamente significa $d x d y$ ‍ o $d y d x$ ‍, a menos que se utilice otro sistema de coordenadas.
$f (x, y)$ ‍ es una función de dos variables.

Ejemplo 1: masa de una placa

Imagina una placa de metal de

3

metros de base y

2

metros de altura. Nuestro objetivo es encontrar su masa, pero resulta que su densidad no es constante.

Para poder describir con una función esta densidad variable, comienza por situar la placa en el plano

x y

Donde su esquina inferior izquierda está en el origen y su base descansa a lo largo del eje

x

Digamos que la densidad de esta placa, en

kg / m^{2}

, está dada por la función

σ (x, y) = (\sin (π x) + 1) y

(

σ

es una letra típica para denotar densidades bidimensionales). La densidad es igual a la masa por unidad de área, así que puede parecer extraño definirla con una función que toma puntos individuales como valores de entrada. Después de todo, ¿qué significa que un punto como

(1, 2)

tenga densidad

σ (1, 2)

? Si lo prefieres, puedes interpretar esta función como la densidad dentro de una pequeña región alrededor de cada punto.

Para determinar la masa de la placa, puedes imaginar que la cortas en muchos pedacitos, cada uno un rectángulo, y luego sumas sus masas.

Piensa que la base de cada uno de estos pequeños rectángulos es

d x

, y su altura es

d y

Piensa en un rectángulo específico, tal vez el que contiene el punto

(1, 2)

. Puesto que este rectángulo es muy pequeño, su densidad será básicamente igual a la constante

σ (1, 2)

. Mientras más fino cortes la región, y más pequeños sean los rectángulos, más certero es suponer que la densidad de cada rectángulo es constante.

Esto significa que podemos calcular la masa de cada uno de estos rectángulos. Por ejemplo,

\begin{array}{r} \underset{densidad}{\underset{⏟}{σ (1, 2)}} \underset{área pequeña}{\underset{⏟}{d x d y}} = (\sin (π) + 1) (2) d x d y = 2 d x d y \end{array}

Para obtener la masa total de la placa, integramos todas estas pequeñas masas. Ya que estamos integrando sobre una región bidimensional, necesitamos una integral doble. Precaución: el orden de integración depende de si expresas el área de cada pequeño rectángulo como $d x d y$ ‍ o como $d y d x$ ‍.

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales dobles representa la masa de nuestra placa de metal, cuya base es

3

metros y altura es

2

metros?

Verificación de conceptos: si

σ (x, y) = (\sin (π x) + 1) y

, evalúa esta integral doble (si no estás seguro de cómo hacerlo, considera revisar el artículo de introducción a las integrales dobles).

\begin{array}{r} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} (\sin (π x) + 1) y d x d y = \end{array}

Pensar en áreas pequeñas

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Cuando hablamos por primera vez de integrales dobles, fue en el contexto de calcular el volumen bajo una gráfica. El razonamiento fue más o menos así:

Primero corta el volumen en un número infinito de rebanadas. Cada rebanada representa un valor constante para alguna de las variables, por ejemplo, $x = 0.78$ ‍.
Calcula el área de cada una de las rebanadas (esto es lo que hace la integral interior).
Al darle un poco de profundidad, haz que el volumen de cada rebanada sea infinitesimal. Matemáticamente, esto significa multiplicar el área de cada rebanada ya sea por $d x$ ‍ o por $d y$ ‍, cualquiera que represente un pequeño paso en la dirección perpendicular a la rebanada.
Integra todos esos volúmenes infinitesimales para obtener el volumen de todo el sólido (esto es lo que hace la integral exterior).

Por el contrario, el ejemplo de la sección anterior para encontrar la masa de la placa se ve y se siente distinto. Comenzamos por pensar en áreas pequeñas, luego multiplicamos cada una por una constante (la densidad) e intentamos sumarlas todas en una sola pasada.

Por supuesto, ambas perspectivas son equivalentes. Y cuando llegamos a las cuentas, nada es diferente. Siempre acabas con una integral dentro de otra, calculas la integral interior y luego la exterior.

Sin embargo, en términos de visualización y comprensión conceptual, construir una integral en términos de áreas pequeñas es distinto de construirla en términos de una integral dentro de otra. Por ejemplo, si piensas en calcular el volumen bajo una gráfica al partir primero tu región en el plano

x y

en áreas pequeñas, puedes imaginar que sumas todos los volúmenes de las pequeñas alturas sobre estas áreas.

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Notación general para las integrales dobles

Cuando pensamos en una integral doble en términos de áreas pequeñas, es común escribirla de forma abstracta así:

\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}

$R$ ‍

R

representa la región sobre la que integramos. La razón para escribirla de esta forma es que, mientras pones en orden los elementos de la integral o razonas sobre las integrales dobles en general, normalmente no quieres molestarte con la definición específica (y potencialmente complicada) de tu región.

Cuando llega el momento de calcular la integral, reemplazamos

\iint_{R}

con un par de integrales ordinarias cuyos límites de integración definen la región. Si

R

es un rectángulo, estos límites son constantes:

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \dots

De forma más general, cuando

R

está definida en términos de algunas curvas en el plano

x y

, los límites de la integral interior se expresan como funciones de la variable exterior:

\int_{y_{1}}^{y_{2}} \int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} \dots

(Revisa el artículo anterior para practicar esta idea).

$d A$ ‍

d A

representa un área pequeña, de la misma forma en que, para una integral ordinaria,

d x

representa una pequeña longitud.

Normalmente, imaginarás que cortas la región

R

en pequeñas piezas, y este término representa el área de una de esas piezas. Una vez que te pongas a calcular la integral doble, lo reemplazaras por

d x d y

, o

d y d x

. En otros sistemas coordenados, hay diferentes maneras de seccionar

d A

, pero eso lo veremos en el siguiente artículo.

$f (x, y)$ ‍

f (x, y)

es una función de dos variables. Cuando cortas tu región en muchas piezas pequeñas, cada una representa típicamente un valor que esperas sumar. Tal vez este valor es una pequeña masa, o el volumen pequeño de una columna delgada bajo una gráfica.

Esperemos que puedas expresar esta cantidad pequeña como algo más que el área de tu pequeña pieza. Por ejemplo, la masa de una pieza es su densidad por su área; y el volumen de una columna sobre una pieza es la altura de la columna por el área.

En estos ejemplos,

f (x, y)

representa la densidad o la altura. En general, es la cantidad que debe multiplicarese por el área

d A

de un pedacito, y habitualmente depende de la posición en el pedacito, expresada en términos de las coordenadas

(x, y)

"¿Qué pasa si no puedo expresar el pequeño valor que quiero sumar como algo multiplicado por

d A

Bueno, en este caso, las integrales dobles no son la herramienta adecuada. Aunque por ahora no podamos pensar en ejemplos donde esto ocurra...

La notación abstracta tiene dos beneficios:

Simplicidad: cuando comienzas a plantear un problema, o si quieres hacer una referencia rápida a la idea de cierta integral doble sin ahondar en los detalles, es bueno ser capaz de escribir algo. También, expresamos muchos de los teoremas y las herramientas que surgen en el cálculo multivariable de forma abstracta con esta notación.
Generalidad: escribir tu integral como $\iint_{R} f d A$ ‍ te da opciones para calcularla. Por ejemplo, en el siguiente artículo, estudiaremos las integrales dobles en coordenadas polares, en donde la forma en que desarrollas $d A$ ‍ y la forma en que escribes los límites de integración son distintas que en coordenadas cartesianas.

Ejemplo 2: centro de masa

¿Cuál es el centro de masa de un semidisco?

Por simplicidad, digamos que el radio del disco es

1

, y orientémoslo de tal forma que su diámetro repose a lo largo del eje

y

. También, supongamos que la densidad del disco es uniforme.

Este es un problema muy interesante, ¿no crees? Podrás adivinar que la respuesta es un punto un poco a la izquierda del

(0.5, 0)

, pero no es obvio cuál es el punto exacto, ¿o sí?

Por la simetría vertical de este semidisco, puedes saber que el centro de masa se localizará sobre el eje

x

. En cierto sentido, lo que buscamos el el valor promedio en la coordenada

x

de los puntos en el disco.

Verificación de conceptos: si hacemos que

H

represente el semidisco, y denotamos su área por

| H |

, ¿cuál de las siguientes integrales, escritas en forma abstracta, representa el valor en

x

del centro de masa de

H

Verificación de conceptos: ¿cuál es el área del semidisco

H

| H | =

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes expresiones es la forma correcta de desarrollar

\iint_{H} x d A

como una integral calculable?

Termina el problema: resuelve esta integral y utilízala para encontrar el centro de masa de

H

Coordenada

x

del centro de masa:

Resumen

Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el sentimiento de querer cortar una región bidimensional en un número infinito de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada una por algún valor y luego sumarlas.

La notación más general para una integral doble es

\begin{array}{r} \iint_{R} f d A \end{array}

donde

$R$ ‍ es la región de integración.
$d A$ ‍ significa un "fragmento pequeño de área", que típicamente significa $d x d y$ ‍ o $d y d x$ ‍, a menos que se utilice otro sistema de coordenadas.
$f (x, y)$ ‍ es una función de dos variables.

De aquí en adelante, las integrales dobles estarán inextricablemente atadas a la mayoría de los temas del cálculo multivariable. Y en la mayoría de los casos, es de utilidad pensar en lo que pasa dentro de cada "pequeña área" de la región dada, en vez de pensar en integrar primero sobre una recta y después en la dirección perpendicular.

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