Si tienes una función de dos variables que está descrita en coordenadas polares, ¿cómo calculas su integral doble?

Qué vamos a construir

  • Cuando calculas una integral doble,
    RfdA \displaystyle \iint_\blueE{R} f\,\redE{dA}
    si deseas expresar la función ff y los límites de integración de la región R\blueE{R} en coordenadas polares (r,θ)(r, \theta), la forma de desarrollar el pequeño pedazo de área es
    dA=rdθdr\redE{dA} = r\,d\theta\,dr
    (Presta atención al hecho de que la variable rr es parte de esta expresión).
  • Más allá de esta única regla, trabajar con estas integrales dobles implica en mayor medida cuidar que los límites de integración describan apropiadamente la región RR.
  • Integrar por medio de coordenadas polares es útil siempre que tu función o tu región cuenten con alguna clase de simetría radial. Por ejemplo, las coordenadas polares son adecuadas para integrar sobre discos o para integrar funciones que incluyen la expresión x2+y2x^2 + y^2.

Ejemplo 1: áreas pequeñas en coordenadas polares

Supongamos que tenemos una función multivariable definida en las coordenadas polares rr y θ\theta,
f(r,θ)=r2f(r, \theta) = r^2
Y digamos que queremos encontrar la integral doble de esta función en la región donde
r2r \le 2
Este es un disco de radio 22, centrado en el origen.
Escrita de forma abstracta, así es como podría verse la integral:
r2r2dA\begin{aligned} \iint_{r\le 2} r^2\,\redE{dA} \end{aligned}
Podrías interpretarla como el volumen bajo un paraboloide (el análogo tridimensional de una parábola), como se muestra a continuación:
La pregunta es, ¿qué hacemos con el término dA\redE{dA}?
¡Advertencia!: puede que estés tentado a reemplazar dA\redE{dA} por dθdrd\theta\,dr, pues en coordenadas cartesianas sustituimos el término por dxdydx\,dy. ¡Pero esto no es correcto!
Recuerda lo que hace la integral doble: corta la región que queremos integrar en pedacitos, y dA\redE{dA} representa el área de cada uno de estos pedacitos. Por ejemplo, cortar nuestro disco de radio 22 podría verse así:
¿Por qué escogí cortarlo en un patrón de telaraña, en vez de usar rectas verticales y horizontales? Puesto que estamos en coordenadas polares, será más sencillo pensar en los pedacitos si sus fronteras están dadas por valores constantes de rr o valores constantes de θ\theta.
Concentrémonos en uno de estos pedacitos:
Aún cuando este pedacito está curvado, si hacemos cortes más y más pequeños, básicamente podemos tratarlo como un rectángulo. Podemos pensar la longitud de un lado de este "rectángulo" como drdr, un pequeño cambio en la coordenada rr.
Usar la diferencial drdr para describir esta longitud enfatiza el hecho de que no estamos considerando un pedacito específico, sino que lo que nos importa es qué pasa conforme su tamaño se aproxima a 00.
¿Pero qué tan largo es el otro lado?
No es dθd\theta, un pequeño cambio en el ángulo, pues los radianes no son unidades de longitud. Para transformar los radianes en segmentos de longitud de arco, debemos multiplicarlos por rr.
Por lo tanto, si tratamos este pequeño pedazo como un rectángulo, y dado que el pedacito básicamente es un rectángulo conforme drdr y dθd\theta se aproximan a 00, su área es
dA=(rdθ)(dr)\redE{dA} = (r\,d\theta)(dr)
Al sustituir este resultado en nuestra integral original, obtenemos
r2r2dA=r2r2(rdθ)(dr)=r2r3dθdr\begin{aligned} \iint_{r\le 2} r^2\,\redE{dA} = \iint_{r\le 2} r^2\,(r\,d\theta)(dr) = \iint_{r\le 2} r^3\,d\theta\,dr \end{aligned}
Colocar límites en esta región es relativamente sencillo en este ejemplo, pues las coordenadas polares describen los círculos de forma natural. Ya que escribimos dθd\theta antes de drdr, la integral interior es con respecto a θ\theta. Los límites de integración de esta integral reflejarán el rango completo de θ\theta conforme recorre una vez el círculo mientras va de 00 a 2π2\pi. La integral exterior es con respecto a rr, que va de 00 a 22.
Verificación de conceptos: evalúa esta integral doble.

Ejemplo 2: integrar sobre una flor

Define una función de dos variables, ff, en coordenadas polares como
f(r,θ)=rsin(θ)f(r, \theta) = r\sin(\theta)
Sea RR la región en forma de flor, definida por
rcos(2θ)r \le \cos(2\theta)
Resuelve la integral doble
RfdA\begin{aligned} \iint_R f\,dA \end{aligned}
Paso 1: en la integral doble escrita de forma abstracta, ¿cuál de las siguientes expresiones es la forma correcta de reemplazar fdAf \,dA?
Paso 2: ahora debemos codificar el hecho de que RR está definida como la región donde rcos(2θ)r \le \cos(2\theta). ¿Cuál de las siguientes es la forma correcta de escribir los límites de integración en la integral doble?
Paso 3: resuelve esta integral.

Ejemplo 3: la gaussiana (o curva en forma de campana)

¿Estás listo para uno de mis resultados favoritos de las matemáticas? Este es bastante ingenioso.
Pregunta: ¿qué es la integral ex2dx\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \end{aligned} ?
Esta integral ordinaria es casi imposible de resolver directamente. ¡Tan solo intenta encontrar su antiderivada!
Calcular esta integral es equivalente a determinar el área bajo la gaussiana, ¡que a su vez es superimportante para la probabilidad y la estadística!
"¿Qué tiene que ver esta integral con las integrales dobles en coordenadas polares?"
Te escucho, mi inquisitivo amigo. No parece estar relacionada, ¿o sí? Bueno, aquí es donde alguien se vio superlisto.
Sorprendentemente, es más fácil resolver este análogo multidimensional del problema. Es decir, encontrar el volumen bajo la gaussiana tridimensional sobre el plano completo xyxy.
plano xye(x2+y2)dA\begin{aligned} \iint_{\text{plano }xy} e^{-(x^2 + y^2)} \,dA \end{aligned}
Si mantenemos todo en coordenadas cartesianas, esta integral doble es tan difícil de resolver como la integral ordinaria original.
e(x2+y2)dxdy\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2 + y^2)} \,dx\,dy \end{aligned}
Si embargo, algo mágico sucede cuando la convertimos a coordenadas polares.
Verificación de conceptos: expresa esta integral doble en coordenadas polares.
Ya que la integral interior es con respecto a θ\theta, podemos factorizar todo lo que solamente depende de rr, que en este caso es la función completa:
002πer2rdθdr=0er2r02πdθEsto es igual a .2πdr=0(er2r)(2π)dr=2π0er2rdr\begin{aligned} &\quad \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-r^2} r \,d\theta \,dr \\\\ &= \int_0^\infty e^{-r^2} r \underbrace{ \int_0^{2\pi} \,d\theta }_{\text{Esto es igual a $2\pi$.}}\,dr \\\\ &= \int_0^\infty \left(e^{-r^2} r \right)(2\pi) \, dr \\\\ &= 2\pi \int_0^\infty e^{-r^2} r \, dr \end{aligned}
Verificación de conceptos: encuentra la antiderivada de er2re^{-r^2} r, ya sea por un cambio de variables uu o por la regla de la cadena aplicada al revés.
Observa que la razón por la que ahora puedes encontrar la antiderivada es el pequeño término rr debido al hecho de que dA=rdθdrdA = r\,d\theta\,dr.
Verificación de conceptos: por medio de la antiderivada, termina de resolver la integral que representa el volumen bajo una gaussiana tridimensional.
¿No es acaso una respuesta hermosa? La cosa se pone mejor; puedes usar este resultado multidimensional para resolver la integral ordinaria original. ¿Ves cómo?

Resumen

  • La única cosa que realmente hay que recordar sobre las integrales dobles en coordenadas polares es que
    dA=rdrdθdA = r\,dr\,d\theta
    Más allá de esto, la parte difícil es luchar con los límites de integración y la repugnante tarea de efectivamente resolver las integrales que obtienes. Pero estas son las mismas dificultades con las que te encuentras al trabajar en coordenadas cartesianas.
  • La razón por la que vale la pena aprender esto es que a veces las integrales dobles se simplifican cuando las expresas en coordenadas polares, como en el caso de la gaussiana.
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