Lo que hace complicadas las integrales dobles es encontrar las fronteras de regiones que no son rectangulares. Aquí revisaremos qué significa esto y haremos algunos ejemplos de práctica.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Si deseas integrar sobre una región en el plano xyxy que no sea rectangular, necesitas expresar cada uno de los límites de integración de la integral interior como una función de la variable exterior.
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x,y)dx)Evala a alguna funcin de .uˊoˊydy\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Evalúa a alguna función de $y$.}}dy \end{aligned}
    o, de forma alternativa,
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x,y)dy)Evala a alguna funcin de .uˊoˊxdx\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Evalúa a alguna función de $x$.}}dx \end{aligned}

El problema con las regiones que no son rectangulares

Considera la función
f(x,y)=xy2f(x, y) = xy^2
Así se ve su gráfica:
Encontraremos el volumen bajo una porción de esta gráfica. A diferencia del artículo anterior, este volumen no se encuentra sobre una región rectangular del plano xyxy. En cambio, queremos el volumen cuya base es un triángulo. Para ser específicos, el triángulo que se muestra a continuación:
Este es un triángulo rectángulo isósceles, donde uno de sus lados conecta los puntos (0,0)(0, 0) y (2,0)(2, 0) sobre el eje xx, y otro, los puntos (2,0)(2, 0) y (2,2)(2, 2). El volumen sobre este triángulo y la gráfica de f(x,y)=xy2f(x, y) = xy^2 se ve así:
Este problema es similar al que mostré en el artículo anterior, donde introduje el concepto de integral doble, y, ciertamente, la forma de resolverlo es similar.
  • Encuentra una fórmula para las rebanadas usando una integral.
  • Utiliza una segunda integral para sumar ese infinito número de rebanadas hasta volverlas un volumen.
Lo complicado ahora son los límites de integración. Por ejemplo, considera las rebanadas de este volumen dadas por valores constantes de xx. La animación siguiente muestra cómo se ven estas rebanadas, conforme el valor constante de xx varía de 00 a 22 y de regreso.
La altura de una de estas rebanadas cambia de acuerdo a la altura de la gráfica de f(x,y)=xy2f(x, y) = xy^2 sobre su base. Pero la longitud de la base de la rebanada también cambia. Por ejemplo, cuando x=0.5x = 0.5, el valor de yy en la base puede variar de 00 a 0.50.5, como la banda vertical roja que se muestra a continuación.
De forma alternativa, cuando x=1.5x = 1.5, el valor de yy varía de 00 a 1.51.5:
Esto significa que cuando construimos una integral para encontrar el área de una de estas rebanadas de valor xx constante, escribimos el límite superior en términos de xx.
0xf(x,y)dy=0xxy2dy\begin{aligned} \int_0^\blueE{x} f(x, y) \, dy = \int_0^\blueE{x} xy^2 \, dy \end{aligned}
En cuanto a nuestros cálculos concierne, es perfectamente adecuado tener uno de los límites escrito en términos de xx. Después de todo, de cualquier modo terminaremos con una expresión en xx. Sigue adelante y resuelve tú mismo la integral:
Hasta aquí no hay nada nuevo. Multiplica este valor por dxdx para añadir profundidad a la rebanada y tener un volumen infinitesimal. Ahora que integremos con respecto a xx, los límites serán constantes, es decir, x=0x = 0 y x=2x = 2, pues aquí es donde la base de nuestro triángulo descansa sobre el eje xx.
02x43dx=(x5(5)(3))02=25150515=3215\begin{aligned} \int_0^2 \dfrac{x^4}{3} \, dx &= \left(\dfrac{x^5}{(5)(3)} \right)_0^2 \\\\ &= \dfrac{2^5}{15} - \dfrac{0^5}{15} \\\\ &= \dfrac{32}{15} \end{aligned}
Por lo tanto, el volumen total es 32152.13\dfrac{32}{15} \approx 2.13.

Integrar sobre un disco

Ahora tratemos de hacer algo un poco más difícil: encontrar el volumen bajo la gráfica acotada por el disco unitario. El disco unitario en el plano xyxy comprende todos los puntos (x,y)(x, y) tales que
x2+y21x^2 + y^2 \le 1
Por ejemplo, el volumen bajo la gráfica
f(x,y)=3+yx2f(x, y) = 3 + y - x^2
acotado por el disco unitario se ve así:
De nuevo, considera rebanadas de este volumen que correspondan a valores constantes de xx.
Piensa en cómo se ve la base de cada rebanada en el plano xyxy. Cada una corresponde a una banda vertical en el disco unitario.
Por medio del teorema de Pitágoras, podemos encontrar los valores de yy que determinan los puntos inferior y superior de las rebanadas como función del valor xx que las describe.
Ahora podemos encontrar el área de una de estas rebanadas de valor xx constante al integrar f(x,y)f(x, y) con respecto a yy. De nuevo, la diferencia entre este y el caso rectangular es que los límites son ambos funciones de xx.
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales representa el área de una rebanada con valor constante xx del volumen que buscamos?
Resuelve el problema: este es un cálculo más complicado que los de los ejemplos previos, pero si te crees capaz, calcula esta integral para obtener una fórmula del área de una rebanada de valor constante xx como función de xx.
Los valores de xx en el disco unitario varían de x=1x=-1 a x=1x=1, por lo que, para encontrar el volumen que estamos buscando, integramos la expresión que acabas de encontrar con respecto a xx de 1-1 a 11. Como antes, puedes imaginar que sumas infinitos volúmenes, cada uno tan delgado como el papel.
Esta resulta ser una integral difícil, pero, por el bien del pragmatismo, podemos resolverla usando cualquier computadora o herramienta de integración numérica, como Wolfram Alpha.
Volumen total: 11(62x2)1x2dx=11π48.6394\qquad \begin{aligned} \int_{-1}^1 (6- 2x^2) \sqrt{1-x^2} \,dx = \dfrac{11\pi}{4} \approx 8.6394 \end{aligned}

Rebana en la otra dirección: región de aleta de tiburón

A veces es más fácil considerar rebanadas de valor yy constantes, que consisten en cortar nuestra región en bandas horizontales en el plano xyxy. Por ejemplo, considera la región del plano xyxy que satisface las siguientes propiedades:
  • xy2x \ge y^2
  • xy+2x \le y+2
  • y0y \ge 0
Esta región como que parece la aleta dorsal de un tiburón:
La esquina superior derecha de la región está en el punto de intersección entre la curva x=y2x = y^2 y la recta x=y+2x = y+2, es decir, el punto (4,2)(4, 2).
Encontremos el volumen de un sólido que tiene esta región como base, y cuya altura está dada por una función multivariable relativamente simple:
f(x,y)=x+2yf(x, y) = x + 2y
Así es como se ve el volumen:
Esta vez, imagina hacer rebanadas de valor yy constante. Este proceso nos dará el área sobre bandas horizontales de nuestra región de aleta de tiburón, tal como la que a continuación se muestra en rojo.
Verificación de conceptos: si una de estas bandas horizontales corresponde a un valor yy, ¿cuáles son los límites en el valor de xx para esta banda? Es decir, ¿cuáles son las coordenadas xx de los extremos izquierdo y derecho como funciones de yy?
Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales representa la rebanada de área comprendida entre una de estas bandas y la gráfica de f(x,y)=x+2yf(x, y) = x + 2y, como función de yy?
Verificación de conceptos: resuelve esta integral para encontrar el área de las rebanadas de valor yy constante para nuestro volumen.
Verificación de conceptos: cuando integramos esta función de yy para obtener el volumen total, ¿cuáles límites de integración debemos usar?
Termina el problema: resuelve esta integral para encontrar el volumen de la región definida en el comienzo de esta sección (usa una calculadora si así lo deseas).

Resumen

Cuando necesitas realizar una integral doble sobre una región que no es rectangular, sigue estos pasos.
  • Comienza por cortar tu región en rebanadas que correspondan a mantener constante una de las variables. Por ejemplo, mantener xx constante resultará en una banda vertical de tu región.
  • Encuentra cómo expresar los límites de integración de estas bandas como funciones de la otra variable. Por ejemplo, los extremos superior e inferior de una banda vertical serían expresados como alguna función de xx.
  • Cuando construyas la doble integral, la integral interior debe corresponder a integrar sobre una de estas bandas, y cada uno de sus límites debe ser una función de la variable exterior. Si la integral interior corresponde a valores constantes de xx, la doble integral completa puede verse así:
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x,y)dy)Evala alguna funcin de .uˊoˊydx\begin{aligned} \int_{x_1}^{x_2}\overbrace{\left( \int_{\blueE{y_1(x)}}^{\blueE{y_2(x)}} f(x, y)\,dy \right)}^{\text{Evalúa alguna función de $y$.}}dx \end{aligned}
    Alternativamente, si comenzaste con rebanadas horizontales de valor yy constante, la integral doble puede verse así:
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x,y)dx)Evala alguna funcin de uˊoˊx.dy\begin{aligned} \int_{y_1}^{y_2}\overbrace{\left( \int_{\redE{x_1(y)}}^{\redE{x_2(y)}} f(x, y)\,dx \right)}^{\text{Evalúa alguna función de $x$}.}dy \end{aligned}
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