Integrales dobles 2

con un poco de suerte ya entiendes algo de lo que está detrás de hacer una integral o bien de cómo encontrar el volumen debajo de una superficie entonces vamos a hacer un ejemplo concreto de cómo encontrar el área debajo de una superficie esto nos ayudará a fijar las ideas supongamos que tenemos z igual a x ye cuadrada esto de aquí es una superficie en tres dimensiones y lo que queremos es encontrar el volumen entre esta superficie y el plano xy recuerda que tenemos que tener una región para encontrar el volumen en este caso la región está dada por las restricciones cero menor o igual que x menor o igual que 2 y la restricción 0 menor o igual que ye menor o igual que 1 ahorita vamos a ver que estas restricciones nos dan un rectángulo déjame traer una gráfica en 3-d para que veamos a esta superficie se ve súper padre verdad observa como aquí abajo ya está determinada la región que nos interesa de 0 a 2 y de 0 a 1 entonces lo que nos pregunta el problema es encontrar el volumen debajo de esta sábana arriba del plano x va entonces déjame rotar un poquito para que para que entendemos para que entendamos un poco mejor esta figura quiere va a poner rotar a ver cómo se le separa usar esto así hasta entonces lo que queremos es este espacio que está debajo de aquí mira con un poquito de imaginación parece como pues como media tienda de campaña entonces lo que queremos es determinar el volumen del sólido que queda debajo de esta tienda de campaña vamos a regresar acá a las cuentas para ver cómo lo planteamos para empezar lo que voy a hacer es un dibujo que no está tan padre como el que vimos pero nos va a ayudar a trabajar ya entender qué es lo que estamos haciendo paso a paso voy a dibujar los ejes aquí tenemos el eje x por acá tenemos el eje y lo dibuje un poco más corto porque ya sólo llega hasta uno y aquí tenemos el eje z entonces les voy a poner sus flechas x iceta y entonces x va de 0 a 2 a quién va a poner 2 lleva de 0 a 1 achille aquí y aquí lo marcó y entonces a ver a lo que queremos es el volumen que esté sobre este rectángulo voy a intentar lo mejor posible dibujar la superficie entonces ahí va aquí al lado tengo el dibujo entonces lo voy a intentar copiar va más o menos por aquí y luego sube llega aquí se forma una esquina y luego baja en línea recta algo así entonces vamos a darle un poquito más de un poco más de volumen voy a sombrear por aquí a ver ahí te va no voy a sombrear por aquí esto de acá es la región de la cual queremos determinar el volumen entonces baja aquí sombreando voy a dibujar aquí arriba con amarillo la parte de arriba de la superficie y entonces creo que paso menos se ve se ve muy parecido verdad entonces lo que lo que nos interesa es encontrar el volumen fíjate más o menos más o menos me quedo bien verdad entonces ahí va entonces cómo le hacemos para hacer esto entonces lo que hicimos en el vídeo anterior es tomar una arbitraria y para eso vamos a fijarla eso nos va a dar un corte de las de un corte del sólido que queremos encontrar y con ese corte ya simplemente queremos encontrar un área entonces ahí te va esto de aquí es un corte entonces sobre esta y queremos ver dónde corta al sólido entonces más o menos quedaría una cosa de este estilo ahí va y ya teniendo una fija ya tenía una fija lo que queremos hacer es determinar cuánto vale el área que está debajo de esta curva sí es decir si hacemos un corte con un plano con una fija entonces nos determina un área después vamos a sumar todas esas áreas pero por el momento esto se convierte esto aquí se está bueno digamos con llegó a las cinco nos queda se está igual a 25 x y eso de ahí es una curva de la cual podemos encontrar sus como si fuera una integral normal y está entonces vamos a hacer eso vamos a ponerle aquí que tiene un cierto valor de x la base y la altura de cada uno de nuestros rectángulos va a ser una función una función zeta verdad que depende de dos variables de xy de gec entonces a ver el área de cada uno de estos rectángulos es nuestra función efe de quique que en este caso es zeta es decir x de cuadrada multiplicada por por el ancho que es de x entonces si queremos encontrar el área lo que hacíamos y lo que hemos estado haciendo desde hace un montón de tiempo es tomar la integral de dónde a dónde pues de dónde se mueva la equis desde 0 hasta 2 ya tenemos una expresión para el área de un corte esa es una área nada más ahora lo que queremos hacer es sumar todas las áreas conforme vamos cambiando el valor de compra vamos haciendo distintos cortes entonces ahí va el área de debajo de esta curva está dada por esta integral eso de ahí nos da una función de iu pero vamos a darle un poquito de profundidad al área que encontramos para que se vuelva ahora como una rebanada de pan delgada multiplicando la por de y entonces una cosa que era pues digamos una cosa que sólo tenía área ahora ya se convirtió en algo con volumen fíjate aquí teníamos una rebanada lo voy a multiplicar por un pequeño cambio en g y eso le da volumen va entonces vamos a multiplicar por d para darle un poco de volumen y si queremos encontrar todo el volumen debajo de la curva queremos sumar todas las áreas que ya las convertimos en volúmenes y entonces lo que queremos hacer es integrar a 0 hasta allí igual a 1 entonces aquí le ponemos 0 aquí le ponemos 1 si te quedan dudas todavía sería buena idea que checar as el vídeo anterior y cómo le hacemos para evaluar esto pues ya es muy muy fácil simplemente tenemos que ir evaluando desde adentro hacia afuera va entonces déjame marcar esta integral de aquí para indicar qué le vamos a hacer primero entonces hay que integrar pero con respecto a hechos es decir ya es una constante porque únicamente estamos en una integral con respecto a x cuál es la integral de xy cuadrada pensando allí como una constante pues a ver es una función muy fácil no te dejes engañar por la y simplemente nos queda x al cuadrado entre 2 y como llegó a través una constante nos queda aquí afuera ahora lo que hay que hacer es esto poner sus límites de integración y todavía nos falta poner la integral de 0 a 1 bella va entonces cuál es el valor de esto si ponemos x igualados tenemos 2 al cuadrado entre 2 2 al cuadrado entre 2 nos queda haber es 4 entre 2 que nos queda 2 entonces nos queda 2 cuadrada lo voy a poner por aquí todo se cuadrada y luego hay que restar la función evaluada en cero cuando x vale 0 pero 0 al cuadrado nos queda 0 entonces nos queda menos 0 que no lo voy a escribir ba y entonces ahora que nos queda fíjate que esta expresión nueva ahí te va esta expresión ya la podemos integrar con respecto al de 0 a 1 quiero poner de iu porque ya es una función de y es una integral de las facilitadas de las facilitadas facilitas que hemos hecho desde hace un buen de tiempo entonces fíjate esta superficie lo que ya obtuvimos es que para una fija el área de esta superficie el área que está debajo de la curva de aquí es 2 ye cuadrada eso es lo que nos dice la primera integral que hicimos entonces esto de aquí acabó siendo una función de iu lo cual tiene todo el sentido del mundo pues cada corte que hagamos nos va a ir dando un área diferente en el caso de esta superficie más o menos cómo va quedando esto pues si tomamos un corte muy cercano a un 1 entonces quedaría muy grande y un corte muy cercano a cero nos deja un área muy pequeña pero bueno ya teniendo una función de jett podemos hacer la integral con respecto a esta variable entonces vamos a hacerlo otra vez es una integral polinomio al que está muy fácil cual es la anti derivada de dos y cuadrada pues nos queda a ver ya el cubo entre tres por dos dos tercios del cúbica sale y eso de ahí tenemos que evaluar dos de cero a uno a ver cuando le ponemos ya igual a uno nos queda dos tercios por uno al cubo que es dos tercios y luego hay que restarle un cero entonces la respuesta final dos tercios listo con esto terminamos dos tercios es el volumen debajo de la superficie dos tercios que pues si fueran metros entonces serían dos tercios de metros cúbicos vale entonces este de aquí fue un ejemplo pues más o menos más concreto de cómo podemos encontrar el volumen debajo de una superficie ya después hablaremos de algunos ejemplos un poco más complicados nos vemos en el siguiente vídeo y hasta pronto