Integrales dobles 4

me parece que es muy importante tener varias formas de ver las cosas para resolver un mismo problema por esta razón te voy a contar otra forma de pensar las integrales dobles hay algunos que prefieren enseñar esta forma primero a mí me gusta más la que ya vimos porque ayuda a resolver los problemas pero bueno a veces resulta útil pensarlo como ahorita te voy a contar la diferencia es muy sutil entonces a lo mejor ni la nota o veas muy fácilmente porque es equivalente por cierto alguien me mandó un correo para decirme que estaría padre que las pantallas se pudieran recorrer y descubrí que esto es muy fácil de hacer de hecho justo acabo de mover la pantalla pero bah supongamos que tenemos una superficie en 3-d lo de siempre me das un punto en el plano aquí sí y entonces yo te puedo dar la altura queremos encontrar el volumen debajo de la superficie entonces la nueva idea es que podemos encontrar fácilmente el volumen de una columna que sea muy flaca y que esté debajo de la superficie entonces el volumen buscado va a ser la suma de todos estos volúmenes ya tienes algo de experiencia visualizando en estos dibujos así que con un poco de imaginación creo que puedes ver a lo que me refiero entonces vamos a esto de las columnas comencemos por la base ahora la base será una pequeña área en el plano xy por aquí a esta área le llamaremos de a supongamos que por aquí tenemos un pequeño rectángulo algo de este estilo y a sus lados les voy a llamar de xy deje el de acá el de acá le voy a llamar de x un cambio muy pequeño y del otro lado le voy a poner de iu como el rectángulo es pequeño sus lados también lo son así el área de este rectángulo va a ser de x multiplicada por d ella va eso de ahí se encarga del área de la base pero ahora como le hacemos a partir de ese área para encontrar el volumen de la columna que se hace entre esa área que está en el eje xy y la superficie pues podemos multiplicar el área por la altura que es simplemente fx y entonces lo que vamos a obtener es un valor aproximado para para el volumen de la columna y al final vamos a sumar todos esos para encontrar el volumen total déjame acabar de hacer mi dibujo para entender un poco más que está pasando esa de ahí es una de las aristas de la columna esta es la segunda arista esta de aquí es la arista frontal y esta de la izquierda es es la última arista y ahora déjame dibujar como intersecta la superficie se vería más o menos algo de este estilo algo así un poco inclinado y listo entonces el volumen de esta de esta columna no es muy difícil de calcular es igual a esta pequeña área que le vamos a llamar de a para entonces le voy a poner por aquí vea y eso hay que multiplicarlo porque pues eso tenemos que multiplicarlo por la altura la altura de esta columna está dada por el valor de la función es decir por efe de xy ahora hay otras formas de escribir esta expresión otra forma es exponer vea como de x x de g voy a escribirlo aquí arriba es decir podemos poner f de xy por de x por d y como en cierta forma aquí la multiplicación va a conmutar también podemos escribirlo de la siguiente forma como efe x x de x de hecho estas tres expresiones son todas equivalentes y representan el volumen de la columna que se forma entre el área que está en el eje y la superficie va entonces si quisiéramos encontrar todo el volumen que está debajo de la superficie hay algunas cosas que podemos hacer una de esas es sumar todos los volúmenes en la dirección x es decir fijamos una ye y sumamos todo lo de la x ahí obtenemos una hoja muy delgada pero ya tiene un poquito de profundidad porque está multiplicada por un d y sale entonces ya es una cosa con un volumen con un volumen muy muy delgado va a quedar déjame marcarlo por aquí para irnos imaginando todas esas columnas entonces lo que vamos a hacer es sumar todas las columnas de por aquí y si quisiéramos hacer eso qué expresión tenemos que hacer bueno tenemos que sumar primero con respecto a x entonces vámonos a estar acá y lo que tenemos que hacer es integrar podemos escribir aquí pero se va a ser un poco confuso porque fíjate que hay un dj que nos dice que el day está más adentro entonces no va a ser incorrecto pero va a estar un poco ambiguo de qué es lo que estamos haciendo pero aquí va a ser muy claro vamos a sumar todas las de x primero entonces lo que tenemos que hacer es integrar en todo el intervalo voy a escribir expresiones pero usualmente podemos simplemente escribir números ahorita va a ser para que sea más claro voy a poner x igualada como límite inferior y como el límite superior voy a poner x igual a b es decir aquí voy a escribir x igual a b eso lo que nos va a dar va uno va a ser un pequeño volumen dejando una fija que está paralelo al plano x z una vez que tenemos esa rebanada que ya tiene un poquito de volumen tenemos que integrar todas esas rebanadas para encontrar el volumen total ya se empieza a parecer mucho a lo que hicimos en los vídeos pasados es decir aquí le voy a poner de iu entonces ahora lo que tenemos que hacer es sumar todos todos los valores que obtenemos con respecto a y entonces voy a tomar la integral desde igual a este límite que ese entonces ya igual hace y el límite superior es de igual a d baja una vez que evaluemos toda esta expresión vamos a haber obtenido el volumen de este sólido de aquí ahora vamos a ver qué pasa si lo hacemos al revés es decir vamos a pensarlo primero fijando y vamos a empezar primero fijando un valor de x entonces en vez de en vez de sumar todos los valores con respecto a x y obtener una hoja vamos a sumar todos los valores de primero y vamos a encontrar vamos a encontrar otra vez una hoja con cierto volumen pero ahora es paralela al plano de z va a quedar algo de este estilo acuérdate que ya tiene un poco de profundidad porque ya está x de x entonces hay que integrar vamos a integrar primero con respecto a y es decir desde y igual a c hasta he igualado y luego eso nos va a dar el volumen así flaquito de esta área de aquí y lo que queremos hacer es sumar todas esas todas esas rebanadas que le hicimos al sólido y para eso ahora tenemos que mover los valores en x es decir ahora tenemos que integrar tenemos que hacer una nueva integral y nuestros límites inferiores y superiores cuáles van a ser pues saber aquí abajo va a ser x igual a a y tenemos que terminar en x b una vez más me va a dar el volumen entonces fíjate esto ya se parece mucho a lo que hicimos en los vídeos pasados otra vez tenemos de quite y entonces vamos integrando rebanadas del sólido pero ahora vamos a esta expresión de acá lo que pasa con de a es que es una abreviación entonces muchas veces en libros de física se usa esto fíjate se usa la doble integral sobre el dominio esta de indica que estamos integrando en el plano xy sobre una región que se llama d es una región que es de dos dimensiones y hay que integrar fx y x de a la razón por la cual quiero enseñarte esta anotación es que la usan en libros de física todo el tiempo a mí no me gusta mucho ok estoy de acuerdo que es una abreviación y se ve un poco más simple pero lo que me pasa es que cuando encuentro una expresión que no sé cómo evaluar entonces me puede ser un poco confusa déjame darte un poco más de detalles si la región d es un rectángulo entonces en el fondo el de a es lo mismo que esto o esto es decir de aes o un de equis de i o bien puede ser un de de x la única diferencia es que en las notaciones de acá tenemos un cierto orden aquí abajo es decir a qué me refiero con esto pues lo que dijimos hace rato primero fijamos una equis o bien primero fijamos una ye y hacemos integrales de superficies cuando usamos la anotación nueva lo que nos dice es que es una doble integral en una región de dos dimensiones pero esta región no tiene por qué ser un rectángulo a lo mejor de es un círculo o una región más rara esta es otra razón por la cual se use esta anotación nos da la libertad de integrar demás formas por ejemplo podemos usar coordenadas polares o podemos integrar de varias otras formas más pero bueno simplemente quería darte una nueva forma de agarrar la intuición a esto de hacer integrales dobles estas tres expresiones finalmente son lo mismo esta última se va a usar más en libros de física como nota algunas veces este d lo vas a ver como una s que quiere decir superficie estamos usando rectángulos todo el tiempo lo cual es muy fácil pero después se va a volver un poco más complicado saleh ya se me está acabando el tiempo nos vemos en el próximo vídeo