Integrales dobles 5

en todos los vídeos que hemos hecho hasta ahora de integración doble los límites de integración han sido números fijos en este vídeo quiero ver qué pasa cuando la región de integración no es un rectángulo y entonces los límites son variables la superficie que usaremos será la misma de los primeros vídeos ahora no lo voy a dibujar muy bien simplemente voy a dibujar una aproximación la superficie era bueno antes de escribirla el punto no va a ser enseñarte a cómo integrar sino cómo identificar la región integración para ser sincero esto suele ser la parte más difícil en este tipo de problemas una vez que encontremos los límites de integración resolver la integral no es tan difícil entonces tenemos la superficie zeta igual a xy cuadrada voy a dibujar mis ejes a ver lo voy a poner por acá el eje x por acá está el eje z y por acá está el eje y saleh déjame marcarlos esté aquí es x este de aquí ese este de aquí es z y bueno ya vimos cómo es esta superficie hace algunos vídeos sacamos el programa para graficar la vimos la rotamos y todo en esta ocasión no la volvería a dibujar sino que simplemente haría una superficie muy estándar y abstracta recordamos que el punto es encontrar los límites de integración antes incluso de dibujar la superficie voy a dibujar la región de integración la primera vez que resolvimos el problema teníamos que aquí se va de 0 a 2 y ahí va de 0 a 1 y con eso pudimos encontrar el volumen dentro de esta región restringida ahora haremos algo distinto supongamos que x va de 0 a 1 deja lo pongo aquí x va de 0 a 1 hasta ahora todo va igual pero la aie lo que va a pasar con lay es que va va a moverse dependiendo de la x a ver déjame marcar por aquí una línea en x igual a 1 y lo que pasa con la aie no es de una fija bueno creo que es más fácil dibujarlo a ver lo que vamos a tener aquí en el plano aquí se va a ser una curva va esta curva que nos queda la podemos pensar de dos formas una de las formas es que ya es una función de x igual a x cuadrada o bien podríamos poner x igual a raíz de y poniendo a x como una función de ya no tenemos que preocuparnos por el signo pues estamos en el primer cuadrante entonces esta es el área sobre la cual queremos calcular el volumen déjame acabar de sombrear la a ver ahí va está ya quedando más marcada para para realmente entender qué es lo que nos importa entonces esta va a ser el área sobre la cual queremos encontrar el volumen este va a ser en nuestra región de integración este punto de aquí es el 11 si le ponemos ya igual a 1 nos queda x es igual a 1 entonces aquí nos va a quedar igual a 1 voy a poner una línea punteada hacia allá y no voy a dibujar la superficie solo te voy a dar una idea de más o menos cómodo como como que estilo de cosas se va a ver supongamos que la parte superior de la superficie se ve más o menos algo de este estilo esto es una línea paralela al eje z aquí también voy a dibujar una línea paralela al eje zeta ipad y ahora esta curva cuando suba perpendicularmente va a actuar como una pared que va a limitar la superficie déjalo dibujo para que veas a qué me refiero esa pared la voy a sombrear un poco para que veas espero que le puedas ver un poco la perspectiva estoy haciendo mi mejor esfuerzo para que esto quede super padre entonces a ver ipad ya sé vamos a pintarlo con un color un poco más oscuro para que para que se entienda cómo va el dibujo y ahora déjame déjame dibujarla la región por aquí ahora bueno esta superficie no necesariamente va a ser plana podría ser un poquito curva depende de cómo sea la superficie esta superficie de aquí se llama xy cuadrada ahora si quisiéramos encontrar el volumen debajo de esta superficie y sobre el plano xy cómo le vamos a hacer para hacer eso bueno lo que vamos a hacer es pensar el problema con la intuición que vimos en el vídeo pasado esencialmente que vamos a tomar aquí abajo un pequeño cuadrado una pequeña región que le vamos a llamar de a esa de ahí tiene dos lados tiene a ver voy a marcarlo con un color un poco más fuerte tiene un lado que me de fx y tiene un lado que me desde ya y ahora lo que tenemos que hacer es multiplicar esa área por fx es decir por zeta finalmente tenemos que sumar todas esas cosas y eso nos va a dar el volumen debajo de la superficie tenemos que decidirnos y primero fijar x o primero fijar ya debes estar seguro de que entiendes la intuición déjame déjame déjame pasar por acá en el plano aquí para entender un poco mejor la región de integración eso es lo más importante del problema verdad una vez que encontramos la los límites de integración ya va a ser fácil hacer bueno evaluar la integral entonces la curva es igual a equis cuadrada entonces viene más o menos por aquí aquí es 1 llegó a la 1 aquí tenemos el eje x aquí esto de aquí le vamos a poner x igual a 1 bueno déjame respetar esta x más bien este aquí es el punto 1 en el eje x entonces lo que queremos determinar es como encontrar la suma de todos estas todas estas regiones que están sobre los pequeños rectángulos entonces vamos a dibujar lo vamos a pasar el pequeño rectángulo a nuestro dibujo del plano xy eso francamente es la parte más difícil entonces va nuestro rectángulo va a quedar una cosa de este estilo lo voy a dibujar aquí con color morado y entonces esta área estaría aquí es lo mismo que este rectángulo su base es de x su altura es de g y entonces ahora vamos a imaginarnos vamos a imaginarnos bueno lo que podemos hacer es imaginarnos que esta superficie es lo mismo que si viéramos nuestro sólido en 3-d desde arriba pero supongamos que queremos tomar la integral con respecto a x primero entonces lo que queremos hacer es sumar si queremos encontrar el volumen sobre esta columna hay que multiplicar esta área de equipo la altura entonces vamos a encontrar el volumen de una columna a la altura de la columna fíjate ahí estoy dibujando la columna entonces la altura es xy cuadrada y eso lo voy a multiplicar por de x b esta expresión nos da el volumen de una sola de las columnas pero ahora tenemos que recorrer en alguna dirección supongamos que primero queremos recorrer en el eje x más o menos así es decir tenemos varias columnas por aquí por aquí y lo que queremos hacer es determinar el volumen sobre sobre estos rectángulos cuál va a ser nuestro límite inferior de integración a ver esa es la pregunta interesante fíjate vamos a dejar una constante y entonces sí nos vamos yendo hacia la izquierda vamos a chocar contra la curva eso nos debería de dar la intuición de cuál es el límite inferior de x como esta curva es la curva igual a equis cuadrada también la podemos pensar como x es igual a raíz de y entonces para integrar con respecto a x si tenemos una eficaz tenemos que empezar tenemos que empezar en la curva es decir tenemos que empezar en la raíz cuadrada de y vamos a ponerle aquí x igual la raíz cuadrada de ella esto es interesante verdad a lo mejor es la primera vez que ves una variable en un límite de integración pero tiene todo el sentido estamos sumando vamos con el límite superior el límite superior está fácil x es igual a 1 pero lo que estamos haciendo es sumar desde x es igual a raíz de iu porque estamos chocando aquí con la curva y ya nada más tenemos que recorrer hacia la derecha muy bien una vez que encontramos el volumen que está sobre este rectángulo una vez que encontramos el volumen que está sobre ese rectángulo queremos integrar ahora con respecto al es decir queremos queremos ir sumando todos estos rectángulos acuérdate que hay volúmenes sobre estos rectángulos simplemente estamos dando la representación plana de la región de integración entonces va ahí está ahora lo estoy poniendo en 3-d para que ve para que entendamos un poco mejor qué pasa pero ahora si queremos encontrar el volumen de toda la región de todo el sólido que está debajo de la superficie tenemos que integrar ahora en el eje de la jr aquí tenemos un de yebra mide xy mide ya se parecen mucho pero pero hay que aprender a distinguirlos entonces cuál es el límite inferior para allí pues va ese ya está más fácil fíjate qué valores puede tomar y así cuáles son todos los valores que puede tomar pues ya puede empezar desde ya es igual a cero y a dónde tiene que llegar pues puede llegar a ser uno listo déjame reescribir esa integral aquí abajo para poder integrarla vamos a ponerle x igual a raíz de y en el límite inferior x igual a 1 en el límite superior x de cuadrada de x belle y luego aquí afuera hay que integrar desde cero hasta allí igual a 1 bueno vamos a dejarle hasta aquí en el siguiente vídeo evaluaremos la integral y experimentaremos cambiando el orden de integración