Contenido principal
Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4
Lección 14: El flujo en tres dimensiones (articulos)El flujo en tres dimensiones
También conocido como una integral de superficie en un campo vectorial, el flujo tridimensional mide cuánto líquido fluye a través de una superficie dada.
Antecedentes
No estrictamente necesario, pero útil para la analogía:
Qué vamos a construir
- Cuando tienes un fluido en el espacio tridimensional, y una superficie en ese espacio, el flujo a través de esa superficie es una medida de la velocidad con la que el fluido pasa a través de ella.
- El flujo se puede calcular con la siguiente integral de superficie:donde
Cambiar a la masa de un fluido en una gota
Piensa en algún campo vectorial tridimensional, representado por una función con valores vectoriales
Como nos gusta hacer con campos vectoriales, imagina que este describe algún fluido tridimensional. Y para este tema, ayuda a imaginar e cómo se vería este flujo n un instante. Tal vez imagines partículas que se mueven de la cola del vector a su punta en un tiempo corto
Ahora piensa en una gota tridimensional, con el fluido que pasa a través de su superficie.
Vamos a nombrar
Pregunta clave: ¿cuánto fluido sale/entra en esta gota conforme el fluido fluye a lo largo del campo vectorial definido por?
Para ser precisos, podríamos frasear esto en términos de la masa que entra o sale de la gota. En aras de la simplicidad (¿a quién no le gusta simplicidad, verdad?), supongamos que el líquido tiene densidad
Planteamiento más riguroso: ¿cuál es la razón de cambio de la masa dentro de la gota como función del tiempo? Supón que la velocidad de cada partícula de fluido está dada por el vector, donde son las coordenadas de la partícula. También supón que el fluido tiene una densidad uniforme de .
El flujo que atraviesa cada pequeño pedazo de la superficie
Aquí está la esencia de cómo resolver el problema:
- Paso 1 : corta la superficie
- Paso 2: ve cuánto líquido entra o sale de cada pedazo.
- Paso 3 : suma todas estas cantidades con una integral de superficie.
Paso 1: corta la superficie
En principio, debes pensar en cada pedazo como infinitesimalmente pequeño. Después de todo, es lo que nos gusta hacer con las integrales. Una notación común que se usa en las superficies es denotar el área infinitesimal de uno de estos pedazos como "
Además, puesto que cada pedazo es muy pequeño, y ya que estamos pensando que la superficie
Paso 2: mide el flujo a través de cada pedazo
Puesto que cada uno de estos pedazos es muy pequeño, todo el fluido que lo atraviesa básicamente tendrá la misma velocidad y dirección. Específicamente, si eliges un punto arbitrario
Esto significa que el fluido que lo atraviesa en un tiempo corto
El vector de desplazamiento de cada una de estas partículas será su velocidad por el cambio en el tiempo:
Ahora hagamos que
Verificación de conceptos: ¿cuál es el volumen de fluido que sale del pedazo pequeño en el tiempo
Nota: como suponemos que la densidad del líquido es
Nota: la orientación importa
Observa que si hubiéramos elegido el vector normal apuntando en la dirección opuesta, el signo de la expresión
Con las superficies cerradas, la convención es elegir un vector normal unitario que apunte hacia afuera. Esto significa que nuestra expresión para el flujo será positiva cuando el líquido fluya fuera de la región a través de un pedazo pequeño y negativa si el líquido fluye hacia dentro de la región.
Paso 3: poner todo junto con una integral
El objetivo es medir la tasa a la que el fluido a traviesa la superficie como un todo:
(Nota: en esta animación todo el líquido sale a través de la superficie. En general, puede que en algunos puntos de la región vaya hacia adentro).
Para obtener este flujo más global, suma la tasa a la cual la masa atraviesa cada pequeño pedazo de
Ahora ponlo en una integral de superficie:
Observa que hay dos funciones dentro de esta integral:
Ambas son funciones con valores vectoriales, y su producto escalar es una función con valores escalares.
Podrías escribir esto como la derivada negativa de la masa que fluye en
En el siguiente artículo, puedes revisar un ejemplo del cálculo de una de estas integrales. Involucra encontrar una expresión para el vector normal unitario, redefinir la integral en términos de una parametrización para
Flujo
A esta medida de cuánto líquido pasa a través de una superficie se le llama flujo. En el ejemplo anterior, esto se enmarcó en el contexto de una superficie cerrada que es el límite de una región, en ese caso el flujo era también una medida de la masa cambiante en esa región. Pero en principio, el flujo es algo que puedes calcular para cualquier superficie, cerrada o no.
En física muchas cosas pueden considerarse como un flujo de algún tipo, no solo los líquidos. El calor, y en algún sentido las fuerzas, también fluyen a través del espacio. Y como tal, no es poco frecuente que termines calculando el flujo a través de una superficie en un problema sobre calor, o, electromagnetismo.
Resumen
Dado un fluido tridimensional, la idea intuitiva para calcular su flujo a través de una superficie es la siguiente:
- Imagina cortar la superficie en muchos pedazos pequeños, lo suficientemente pequeños como para que cada uno pueda considerarse plano.
- Calcula cuánto líquido fluye a través de cada pedazo en función del área
- "Suma" todas estas tasas de flujo con una integral de superficie para obtener el flujo como un todo.
- Si cambias la orientación de tu superficie al elegir un vector normal unitario que apunte en la dirección opuesta, el signo de esta integra va a cambiar.
¿Quieres unirte a la conversación?
Cómo hago para calcular el flujo de un campo vectorial si no me dan el campo vectorial pero me dicen que tiene vector normal unitario saliente cuando F(x,y,z) = xy-z^2+2xy. La región sería z menor o igual a 4 y z mayor o igual a x+y en el primer octante(2 votos)
A que se refieren con gota? como la lluvia? Desde Chile! Salu2(1 voto)
También he tenido dificultades entendiendo eso, a mí parecer se referían a la "región" o "espacio" dentro de esa gota de agua.
Si eso es así pienso que es un ejemplo bastante absurdo porque vendría a suponer una gota de agua dentro de un líquido, ¿y cómo diferenciamos una gota sumergida en un líquido?(1 voto)