También conocido como una integral de superficie en un campo vectorial, el flujo tridimensional mide cuánto líquido fluye a través de una superficie dada.

Qué vamos a construir

  • Cuando tienes un fluido en el espacio tridimensional, y una superficie en ese espacio, el flujo a través de esa superficie es una medida de la velocidad con la que el fluido pasa a través de ella.
  • El flujo se puede calcular con la siguiente integral de superficie:
    SFn^dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
    donde
    • S\redE{S} denota la superficie a través de la cual estamos midiendo el flujo.
    • F(x,y,z)\blueE {F (x, y, z)} es un campo vectorial tridimensional, pensado como si describiera un líquido que fluye.
    • n^(x,y,z)\greenE{\hat{\textbf{n}}(x, y, z)} es una función que le asigna un vector unitario normal a cada punto de S\redE{S}.
    • dΣ\redE{d\Sigma} puede considerarse como una unidad pequeña del área de la superficie S\redE{S}.

Cambiar a la masa de un fluido en una gota

Piensa en algún campo vectorial tridimensional, representado por una función con valores vectoriales F(x,y,z)\blueE {F (x, y, z)} .
Como nos gusta hacer con campos vectoriales, imagina que este describe algún fluido tridimensional. Y para este tema, ayuda a imaginar e cómo se vería este flujo n un instante. Tal vez imagines partículas que se mueven de la cola del vector a su punta en un tiempo corto Δt\Delta t.
Ahora piensa en una gota tridimensional, con el fluido que pasa a través de su superficie.
Vamos a nombrar S\redE{S} a la superficie de esa gota.
Pregunta clave: ¿cuánto fluido sale/entra en esta gota conforme el fluido fluye a lo largo del campo vectorial definido por F(x,y,z)\blueE{F(x, y, z)}?
Para ser precisos, podríamos frasear esto en términos de la masa que entra o sale de la gota. En aras de la simplicidad (¿a quién no le gusta simplicidad, verdad?), supongamos que el líquido tiene densidad 1kg/m31 \, \text{kg}/\text{m}^3. Esta sería una forma más cuantificable de frasear la pregunta clave:
Planteamiento más riguroso: ¿cuál es la razón de cambio de la masa dentro de la gota como función del tiempo? Supón que la velocidad de cada partícula de fluido está dada por el vector F(x,y,z)\blueE{\textbf{F}(x, y, z)}, donde (x,y,z)(x, y, z) son las coordenadas de la partícula. También supón que el fluido tiene una densidad uniforme de 1kg/m31 \, \text{kg}/\text{m}^3.

El flujo que atraviesa cada pequeño pedazo de la superficie

Aquí está la esencia de cómo resolver el problema:
  • Paso 1 : corta la superficie SS en muchísimos pedazos pequeños.
  • Paso 2: ve cuánto líquido entra o sale de cada pedazo.
  • Paso 3 : suma todas estas cantidades con una integral de superficie.

Paso 1: corta la superficie

En principio, debes pensar en cada pedazo como infinitesimalmente pequeño. Después de todo, es lo que nos gusta hacer con las integrales. Una notación común que se usa en las superficies es denotar el área infinitesimal de uno de estos pedazos como "dΣd\Sigma".
Además, puesto que cada pedazo es muy pequeño, y ya que estamos pensando que la superficie SS es lisa, puedes tratar estos pedazos como si fueran planos.

Paso 2: mide el flujo a través de cada pedazo

Puesto que cada uno de estos pedazos es muy pequeño, todo el fluido que lo atraviesa básicamente tendrá la misma velocidad y dirección. Específicamente, si eliges un punto arbitrario (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) en este pedazo, las partículas del líquido que pasan a través de él tendrán un vector velocidad F(x0,y0,z0)\approx \blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0).
Esto significa que el fluido que lo atraviesa en un tiempo corto Δt\Delta t formará una especie de prisma inclinado:
El vector de desplazamiento de cada una de estas partículas será su velocidad por el cambio en el tiempo:
F(x0,y0,z0)ΔtVector que describe un prisma inclinado.\underbrace{\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \, \Delta t}_{\text{Vector que describe un prisma inclinado.}}
Ahora hagamos que n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} denote el vector unitario normal a nuestro pequeño pedazo de superficie:
Verificación de conceptos: ¿cuál es el volumen de fluido que sale del pedazo pequeño en el tiempo Δt\Delta t? (El pedazo pequeño tiene área dΣd\Sigma).
Escoge 1 respuesta:
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La segunda opción es correcta:
(F(x0,y0,z0)n^)(Δt)(dΣ)\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}
El prisma inclinado formado por el líquido que sale de nuestro pedazo pequeño tiene una base de área dΣd\Sigma. Para obtener su volumen, debemos multiplicar esta área de la base por la altura del prisma.
El desplazamiento F(x0,y0,z0)Δt\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t de una partícula de fluido no da exactamente la altura. Lo que queremos es el componente de ese vector que es perpendicular al pedazo pequeño, así que tomamos el producto punto entre este vector y el vector normal unitario:
(F(x0,y0,z0)Δt)n^(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}
Decidí cambiar esto en la expresión equivalente (F(x0,y0,z0)n^)Δt(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \Delta t porque la siguiente cosa a hacer tiene que ver con dividir esa Δt\Delta t.
Nota: como suponemos que la densidad del líquido es 11, esta expresión también da la masa de líquido que sale de este pedazo pequeño. Si lo divides entre el cambio de tiempo Δt\Delta t, puedes obtener la tasa a a que la masa atraviesa ese pequeño pedazo de área:
(F(x0,y0,z0)n^)(dΣ)Flujo de masa por unidad de tiempo.\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(d\Sigma\big) \quad \leftarrow \text{Flujo de masa por unidad de tiempo.} \end{aligned}

Nota: la orientación importa

Observa que si hubiéramos elegido el vector normal apuntando en la dirección opuesta, el signo de la expresión (F(x0,y0,z0)n^)(dΣ) \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big)\big(d\Sigma\big) hubiera cambiado.
Con las superficies cerradas, la convención es elegir un vector normal unitario que apunte hacia afuera. Esto significa que nuestra expresión para el flujo será positiva cuando el líquido fluya fuera de la región a través de un pedazo pequeño y negativa si el líquido fluye hacia dentro de la región.

Paso 3: poner todo junto con una integral

El objetivo es medir la tasa a la que el fluido a traviesa la superficie como un todo:
(Nota: en esta animación todo el líquido sale a través de la superficie. En general, puede que en algunos puntos de la región vaya hacia adentro).
Para obtener este flujo más global, suma la tasa a la cual la masa atraviesa cada pequeño pedazo de S\redE{S}. Ya que estamos sumando cantidades asociadas con pedazos pequeños de área sobre una superficie, la herramienta adecuada es una integral de superficie. Toma el resultado de la última sección:
(F(x0,y0,z0)n^)(dΣ)Flujo a travs de un pedazo pequeo.eˊn˜\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(d\Sigma\big) \quad \leftarrow \text{Flujo a través de un pedazo pequeño.} \end{aligned}
Ahora ponlo en una integral de superficie:
SFn^dΣ\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \, \redE{d\Sigma} \end{aligned}
Observa que hay dos funciones dentro de esta integral:
  • F(x,y,z)\blueE{\textbf{F}}(x, y,z), que da a velocidad de una partícula de fluido en un punto.
  • n^(x,y,z)\greenE {\hat {\textbf{n}}} (x, y, z) , que da los vectores normales unitarios que apuntan hacia afuera en cualquier punto arbitrario de la superficie.
Ambas son funciones con valores vectoriales, y su producto escalar es una función con valores escalares.
Podrías escribir esto como la derivada negativa de la masa que fluye en R\redE{R}; negativa porque la integral de superficie es positiva cuando el fluido sale de la región.
d(masa fluida en .R)dtTasa a a que el fluido sale de .R=SFn^dΣ\displaystyle \underbrace{ -\dfrac{d(\text{masa fluida en $\redE{R}$.})}{dt} }_{\text{Tasa a a que el fluido sale de $\redE{R}$.}} = \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\; \redE{d\Sigma}
En el siguiente artículo, puedes revisar un ejemplo del cálculo de una de estas integrales. Involucra encontrar una expresión para el vector normal unitario, redefinir la integral en términos de una parametrización para S\redE{S}, etc..

Flujo

A esta medida de cuánto líquido pasa a través de una superficie se le llama flujo. En el ejemplo anterior, esto se enmarcó en el contexto de una superficie cerrada que es el límite de una región, en ese caso el flujo era también una medida de la masa cambiante en esa región. Pero en principio, el flujo es algo que puedes calcular para cualquier superficie, cerrada o no.
En física muchas cosas pueden considerarse como un flujo de algún tipo, no solo los líquidos. El calor, y en algún sentido las fuerzas, también fluyen a través del espacio. Y como tal, no es poco frecuente que termines calculando el flujo a través de una superficie en un problema sobre calor, o, electromagnetismo.

Resumen

Dado un fluido tridimensional, la idea intuitiva para calcular su flujo a través de una superficie es la siguiente:
  • Imagina cortar la superficie en muchos pedazos pequeños, lo suficientemente pequeños como para que cada uno pueda considerarse plano.
  • Calcula cuánto líquido fluye a través de cada pedazo en función del área dΣ\redE{d\Sigma} de ese pedazo, el vector normal unitario n^\greenE{\hat{\textbf{n}}} a esa pedazo y la velocidad del fluido F\blueE{\textbf{F}} en esa región.
  • "Suma" todas estas tasas de flujo con una integral de superficie para obtener el flujo como un todo.
    SFn^dΣFlujo a travs de .eˊS\begin{aligned} \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{Flujo a través de $\redE{S}$.}} \end{aligned}
  • Si cambias la orientación de tu superficie al elegir un vector normal unitario que apunte en la dirección opuesta, el signo de esta integra va a cambiar.
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