Aprende a encontrar el vector que es perpendicular, o "normal", a una superficie.  Vas a necesitar esta herramienta para calcular el flujo en tres dimensiones.

Antecedentes

Qué vamos a construir

  • Si una superficie está parametrizada por una función v(t,s)\vec {\textbf{v}}(t, s), el vector normal unitario a esta superficie está dado por la expresión
    ±(vt(t,s))×(vs(t,s))(vt(t,s))×(vs(t,s))\begin{aligned} \pm \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \right| } \end{aligned}
  • Siempre tienes dos opciones para una función de vector unitario. Si una superficie es cerrada, como una esfera o un toro, esas opciones pueden interpretarse como vectores que apuntan hacia afuera o vectores que apuntan hacia adentro.
  • Esto es útil para la idea del flujo en tres dimensiones, que se aborda en el siguiente artículo.

Vector normal unitario

Digamos que tienes una superficie SS. Si un vector en algún punto de SS es perpendicular a su superficie en ese punto, se le llama un vector normal (de SS en ese punto). Más precisamente, podrías decir que es perpendicular al plano tangente de SS en ese punto, o que es perpendicular a todos los posibles vectores tangentes de SS en ese punto.
Cuando un vector normal tiene magnitud 11, se le llama un vector normal unitario. Ten en cuenta que siempre habrá dos vectores normales unitarios, cada uno apuntando en direcciones opuestas:
¿Por qué nos importa? Para calcular integrales de superficie en un campo vectorial, también conocido como flujo tridimensional, tendrás que encontrar una expresión para los vectores normales unitarios en una superficie dada. Esto tomará la forma de una función multivariable, una función con valores vectoriales, cuyas entradas viven en tres dimensiones (donde vive la superficie), y cuyas salidas son vectores tridimensionales.

Ejemplo: cómo calcular un vector normal unitario

Considera la superficie descrita por la siguiente función paramétrica:
v(t,s)=[t+1ss2t2+1]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}
En el rango donde 2t2-2 \le t \le 2 y 2s2-2 \le s \le 2, la superficie se ve así:
De aquí en adelante, estoy suponiendo que sabes que las dos derivadas parciales de una superficie paramétrica dan vectores que son cada uno tangentes a la superficie, pero en diferentes direcciones.

Paso 1: encuentra un vector normal (no necesariamente unitario)

Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes opciones dará un vector que es perpendicular a la superficie parametrizada por v\vec{\textbf{v}} en el punto v(1,2)\vec {\textbf{v}} (1, -2) ?
Esta es una expresión muy complicada, con dos derivadas parciales de valores vectoriales y un producto cruz. Si ya has calculado algunas integrales de superficie antes, estrás muy familiarizado con la expresión y lo feo que puede ser calcularla.
Una vez más, así es como se define v(t,s)\vec {\textbf{v}}(t, s):
v(t,s)=[t+1ss2t2+1]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}}(t, s) = \left[ \begin{array}{c} t + 1\\ s \\ s^2 - t^2 + 1 \end{array} \right] \end{aligned}
Verificación de conceptos: ahora calcula el producto cruz de las derivadas parciales de v\vec{\textbf{v}}. Haz esto para un punto general (t,s)(t, s), lo que significa que cada componente de tu respuesta será una función de tt y ss. Como se describió en el problema anterior, esto te dará una función de vectores normales a la superficie.
Por ejemplo, si sustituimos (t,s)=(1,2)(t, s) = (1, -2), obtenemos:
[2(1)2(2)1]=[241]\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2(1) \\ -2(-2) \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}
Esto es un vector perpendicular a la superficie en el punto v(1,2)\vec {\textbf{v}} (1, -2) . Sin embargo, no es un vector unitario, como puede verse al calcular su magnitud:
22+42+12=4+16+1=21\sqrt{2^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}

Paso 2: haz que el vector normal sea unitario

Así que tenemos esta expresión [2t2s1]\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} 2t \\ -2s \\ 1 \end{array} \right] \end{aligned}, que nos da un vector normal para cada punto v(t,s)\vec {\textbf{v}}(t, s). El siguiente paso es amasar esto un poco para obtener una expresión de un vector normal unitario.
Verificación de conceptos: ¿cuál es el vector unitario normal a la superficie en el punto v(1,2)\vec {\textbf{v}} (1, -2) ?
Verificación de conceptos: de manera más general, ¿cuál es el vector unitario normal a nuestra superficie en un punto arbitrario v(t,s)\vec {\textbf{v}}(t, s) en función de tt y ss?
Bada bum bada bang, ya te conseguiste un vector normal unitario.
Si sustituyes cualquier valor (t0,s0)(t_0, s_0) en esta expresión, obtendrás un vector que tiene magnitud 11 y es normal a la superficie parametrizada por la función v\vec{\textbf{v}} en el punto v(t0,s0)\vec {\textbf{v}}(t_0, s_0).

Elegir la orientación

Ten en cuenta que si multiplicas la función de un vector normal unitario por 1-1 , de todas formas tendrás vectores normales unitarios. Solo que van a apuntar en las direcciones opuestas. La elección de la dirección de los vectores unitarios normales a la superficie es a lo que se le llama la orientación de esa superficie.
Verás la importancia de esto en el siguiente artículo sobre el flujo tridimensional. En resumen, orientar tu superficie es análogo a darle una dirección a una curva unidimensional.
Cuando tu superficie es cerrada, como una esfera o un toro, las dos opciones de vectores normales unitarios son a menudo llamados vectores normales unitarios que apuntan hacia afuera o hacia dentro.

Resumen

  • Dada una superficie parametrizada por una función v(t,s)\vec {\textbf{v}}(t, s), para encontrar una expresión para el vector normal unitario a esta superficie hay que seguir los siguientes pasos:
  • Paso 1: encuentra un vector normal (no necesariamente unitario) tomando el producto cruz de dos derivadas parciales de v(t,s)\vec{\textbf{v}}(t, s):
    (vt(t,s))×(vs(t,s))\begin{aligned} \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \end{aligned}
  • Paso 2: convierte esta expresión vectorial en un vector unitario dividiéndolo entre su magnitud:
    (vt(t,s))×(vs(t,s))(vt(t,s))×(vs(t,s))\begin{aligned} \dfrac{ \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) }{ \left| \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \blueE{t}}(t, s) \right) \times \left( \dfrac{\partial \vec{\textbf{v}}}{\partial \redE{s}}(t, s) \right) \right| } \end{aligned}
  • También puedes multiplicar esta expresión por 1-1, y de todas formas tendrás vectores normales unitarios.
  • La razón principal para aprender esta habilidad es calcular el flujo tridimensional.
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