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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 2: Integrales de línea para funciones escalares (artículos)

Introducción a la longitud de arco de gráficas de funciones

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Por medio de cierta integral, podemos encontrar la longitud de una curva, conocida como "longitud de arco".

Antecedentes

Integrales y sumas de Riemann

¿Qué es la longitud de arco?

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Usualmente medimos la longitud con una línea recta, pero las curvas también tienen longitud. Un ejemplo familiar es la circunferencia de un círculo de radio

r

, cuya longitud es

2 π r

. En general, le llamamos a la longitud de una curva "longitud de arco". Pero, ¿cómo encuentras la longitud de arco de una curva arbitraria? Averigüémoslo.

Qué vamos a construir

Puedes encontrar la longitud de arco de una curva con una integral que se ve como algo así:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍
Los límites de esta integral dependen de cómo defines la curva.
Si la curva es la gráfica de una función, $y = f (x)$ ‍, reemplaza el término $d y$ ‍ en la integral con $f^{'} (x) d x$ ‍ y luego factoriza el término $d x$ ‍.

Calentamiento: aproximar la longitud de arco

Echemos un vistazo a la parábola definida por la siguiente ecuación:

$y = f (x) = x^{2}$ ‍

Considera la porción de la curva que está entre

x = - 2

x = 2

Pregunta clave: ¿Cuál es la longitud de arco de esta curva?

Solo para que quede clara la pregunta, imagina que la curva es un pedazo de cuerda, y que la estiras y mides su longitud con una regla.

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Si tuvieras que adivinar, podrías comenzar por aproximar esta curva con algunos segmentos de recta. Por ejemplo, así:

Un segmento de recta comprendido entre $(- 2, 4)$ ‍ y $(- 1, 1)$ ‍.
Un segmento de recta comprendido entre $(- 1, 1)$ ‍ y $(0, 0)$ ‍.
Un segmento de recta comprendido entre $(0, 0)$ ‍ y $(1, 1)$ ‍.
Un segmento de recta comprendido entre $(1, 1)$ ‍ y $(2, 4)$ ‍.

Sería tedioso, pero podrías calcular la longitud de cada segmento de recta con el teorema de Pitágoras y luego sumar cada una.

Verificación de conceptos: ¿Cuál es la longitud de el segmento de recta comprendido entre

(- 2, 4)

(- 1, 1)

Escribe la respuesta en forma exacta, con una raíz cuadrada:

Para un mejor estimado, podrías aproximar la curva con muchos segmentos pequeños.

Calcular todas sus longitudes y sumarlas sería dolorosamente soporífero, pero hagamos un desglose de cómo se vería. Haz un acercamiento a uno de los pequeños segmentos de recta.

Primero observa el cambio en el valor de

x

del principio del segmento a su fin; a este valor, llamémosle

Δ x

. Similarmente, digamos que el cambio en el valor de

y

Δ y

. Entonces, por medio del teorema de Pitágoras, podemos escribir la longitud del segmento como

$\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Nuestra aproximación para la longitud de la curva será la suma de las longitudes de todos estos pequeños segmentos. Cuando expresamos una idea como esta con símbolos, es común que seamos un poco laxos con la notación y escribamos algo así:

$\sum_{todos los pequeños segmentos} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Tal vez estés acostumbrado a leer sumas como esta:

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{100} n^{2} \end{array}$ ‍

A la variable $n$ ‍ le llamamos variable indicial.
Esta variable indicial tiene un rango específico, en este caso de $1$ ‍ a $100$ ‍.
Llamamos sumando a la expresión dentro de la suma, y lo escribimos en términos de $n$ ‍. En el ejemplo, el sumando es $n^{2}$ ‍.

En comparación, la suma que escribí para aproximar la longitud de la parábola no es nada rigurosa.

$\begin{array}{r} \sum_{todos los pequeños segmentos} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} \end{array}$ ‍

No tiene variable indicial.
No tiene un rango específico.
Ciertamente el sumando no está escrito en términos de una variable indicial (pues no hay ninguna).

Por pura flojera, te dejamos a ti, la criatura humana inteligente, entenderla en contexto. Es decir, en el contexto de nuestra discusión, había un montón de pequeños segmentos aproximando la parábola, por lo que escribí "todos los pequeños segmentos" debajo del símbolo

Σ

. También, debes entender que el valor del sumando

\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

depende del segmento específico en consideración. Por último, las expresiones

Δ x

Δ y

no están dadas con fórmula, sino con palabras.

Es importante ser capaz de leer notación laxa como esta y entender a qué se refiere. En el cálculo multivariable ocurre algo muy similar en relación a cómo escribimos las integrales, donde escribimos términos y límites de integración dentro del contexto de alguna discusión. De hecho, verás un ejemplo de esto en la siguiente sección.

Los matemáticos usamos notación poco rigurosa como esta cuando el punto clave es una idea conceptual más amplia, no un cálculo específico. Sin embargo, en el momento de hacer cuentas, reforzamos la notación hasta dejarla rigurosamente definida.

Traigamos las integrales

Hmm, veamos... Estamos aproximando una curva con pasos muy pequeños, y luego sumando un gran número de cosas muy chiquitas. Con pasos todavía más pequeños y una suma con un número todavía mayor de cosas muy chiquitas, obtendremos una mejor aproximación. ¿Te suena familiar?

Las integrales están hechas para problemas como este.

La mayoría de la gente aprende lo primero sobre integración al tratar de calcular el área bajo una curva. En este contexto, debes imaginar que aproximas esta área con un montón de rectángulos delgados, donde la base de cada uno mide

d x

, un cambio muy pequeño en el valor de

x

, y que, para ese valor de

x

, su altura es

f (x)

. Por lo tanto, el área de cada rectángulo es

$\overset{altura}{\overset{⏞}{f (x)}} \underset{base}{\underset{⏟}{d x}}$ ‍

El área completa bajo la curva entonces se expresa con la integral:

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ‍

Esta integral es una máquina poderosa, como una

Σ

en esteroides. Hace algo más que simplemente sumar los valores de

f (x) d x

para cierto valor pequeño de

d x

; en realidad, considera el límite de dicha suma conforme la pequeña base,

d x

, tiende a

0

, o, en otras palabras, conforme la aproximación de rectángulos se acerca más y más al área verdadera bajo la curva.

Pero podemos usar esta poderosa máquina en muchos otros contextos que nada tienen que ver con áreas bajo curvas. Siempre que tengas la sensación de que quieres sumar un gran número de cosas muy pequeñas, integrar te permitirá hacer el cálculo menos tedioso y más preciso.

Por ejemplo, nos da esta sensación cuando aproximamos la longitud de arco con la suma vagamente escrita como:

$\sum_{todos los pequeños segmentos} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

Así que la transformamos en una integral:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

Una cosa que esta notación no comunica muy bien es que

d y

, el cambio en la altura a través de uno de nuestros pequeños segmentos de recta, depende de

d x

, la componente horizontal de ese segmento. Específicamente, ya que la curva está definida por la relación

y = x^{2}

, podemos calcular la derivada de cada lado para ver cómo

d y

depende de

d x

$\begin{aligned} y & = x^{2} \\ d (y) & = d (x^{2}) \\ d y & = 2 x d x \end{aligned}$ ‍

Cuando sustituimos este resultado en nuestra integral, la expresión nos parece un poco más familiar.

$\begin{aligned} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} & = \int \sqrt{(d x)^{2} + (2 x d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{(1 + (2 x)^{2}) (d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{aligned}$ ‍

He sido flojo a propósito para escribir los límites de esta integral, pero ahora que la expresión dentro de ella está en términos de

x

, sin términos

d y

que la enturbien, tiene sentido definir los límites a través de los valores de

x

, que en este caso van de

- 2

2

$\begin{array}{r} \int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{array}$ ‍

Esta parece ser una expresión que podemos calcular. Bueno, de hecho, en este caso, resulta ser una integral bastante complicada, pero, hoy por hoy, de ser necesario podemos calcularla con una computadora. El punto es que hemos transformado la idea de aproximar longitudes de curvas con pequeños segmentos de recta, que al principio escribimos vagamente con una notación laxa, en una integral concreta y calculable.

Por ahora, en vez de molestarnos con los detalles de la integral (en el siguiente articulo hay más que suficientes), quiero recalcar algunos puntos con este ejemplo.

Puntos clave

La expresión central a recordar es $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍, que representa una pequeña unidad de longitud de arco en términos de $x$ ‍ y $y$ ‍.
La integral de longitud de arco con la que comienzas se ve como algo parecido a:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍
Antes de calcular la integral, tuvimos que escribir la diferencial $d y$ ‍ en términos de la diferencial $d x$ ‍. Para lograrlo, calculamos la derivada de la función que define la curva.
En general, solo podemos calcular una integral con respecto a una sola diferencial; para encontrar relaciones entre diferenciales, usamos la derivada.
Tal vez la lección más importante es que podemos usar integrales para muchas más cosas además de para calcular el área bajo una curva.

Practica

Para fortalecer tu comprensión, puedes practicar más problemas sobre longitud de arco en el siguiente artículo.

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Yoselinne Lizbeth Munayco Villalobos
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “Muy buena explicación....” de Yoselinne Lizbeth Munayco Villalobos
Muy buena explicación.
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