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Notación para integrar a lo largo de una curva

Hay una forma muy compacta de expresar integrales de longitud de arco, y establece los fundamentos para escribir integrales de línea.

Qué vamos a construir

  • La integral de longitud de arco
    dx2+dy2
    puede ser escrita de forma alternativa como
    Cds
    donde C representa la curva y ds es una forma compacta de escribir dx2+dy2, que representa la longitud de un pequeño paso sobre la curva.
  • Cuando una curva parametrizada está dada por una función vectorial r(t), donde atb, la integral de longitud de arco se ve como
    ab|r(t)|dt
    En otras palabras, el pequeño paso ds sobre la curva es igual a la magnitud de la derivada de r(t).
  • Esta es la notación estándar para integrales de línea, de las que hablaremos en el siguiente artículo.

Escribir la longitud de arco de forma compacta

dx2+dy2
en vez de escribir dx2+dy2 cada vez que queremos representar un pequeño cambio en la longitud de arco, es una convención común que lo expresemos como ds.
Piensa en ds como un pequeño paso sobre la curva en cuestión, de la misma manera que dx es un pequeño paso en la dirección x y dy es un pequeño paso en la dirección y.

Terminar con la ambigüedad de los límites de integración

A lo largo de los artículos anteriores, dejamos hasta el final escribir los límites de integración en
(dx)2+(dy)2
(que ahora sabemos que podemos escribir simplemente como ds).
Si escribimos todos los términos dentro de la integral en función de x, los límites de integración deben reflejar valores de x; si los escribimos en términos de t, los límites deben reflejar valores de t, etcétera.
Si te incomoda que tu integral se vea tan desguarnecida, pero no quieres hacer ningún compromiso sobre qué variable ha de determinar los límites, esto es debes decir:
"Sea C la curva definida por...",
y continuas con la definición de tu curva. Después escribes tu integral con una pequeña C bajo el signo de integración:
Cds
Esta expresión básicamente le dice a la persona que la está leyendo que averigüe dónde está definida la curva C y sustituya los límites de integración relevantes cuando sea tiempo de calcular la integral.
Por otro lado, esta notación es tan simple que casi carece de significado. La puedes leer en voz alta como
"La longitud de arco de C es la integral sobre C de pasos pequeñitos a lo largo de C".
Absurdo, ¿no? Esta notación esconde bajo la alfombra los detalles de lo que implica resolver el problema de la longitud de arco, expandir ds e incorporar la definición de C en la integral.
Pero, este es justo el punto. Parte de la razón por la que hablamos de las integrales de longitud de arco es sentar las bases para la idea más general de integral de línea. Cuando trabajes con integrales de línea, no siempre querrás que todos los detalles de la curva y del pequeño cambio en la longitud de arco, ds, se riegue sobre toda tu notación. Tendrás otros problemas por los que preocuparte. En este contexto, abstraer la longitud de arco a algo tan simple como Cds es una simplificación más que bienvenida.

En el lenguaje del cálculo vectorial

En el cálculo vectorial, nos alejamos de pensar las curvas parametrizadas como un conjunto de ecuaciones paramétricas; por ejemplo,
x(t)=tcos(t)
y(t)=tsin(t)
En vez de esto, pensamos estas curvas como salidas de funciones parametrizadas con un solo parámetro,
r(t)=[x(t)y(t)]
La derivada de una función vectorial como esta es otra función vectorial,
r(t)=[x(t)y(t)]
Esto nos da una buena manera de expresar ds, la longitud de un pequeño paso sobre la curva:
ds=|r(t)|dt
¿Por qué esto es verdad? Una manera es expandir la expresión |r(t)|dt y simplificarla. ¡Inténtalo!
Alternativamente, piensa en cómo interpretamos las derivadas de funciones vectoriales. Imagina que estás parado sobre un valor t0 en el espacio de entrada, también conocido como el espacio de parámetros, das un pequeño paso de magnitud dt y terminas en el punto t0+dt.
El vector derivada, r(t), es el "paso" resultante en el espacio de salida, que está sobre la curva. Cuando multiplicamos esa derivada por la pequeña cantidad dt para obtener
r(t)dt,
es útil pensar que este término es un pequeño paso sobre la curva.
Técnicamente, es un pequeño paso en la dirección tangente, que puede estar un poco fuera de la curva. Sin embargo, conforme dt se aproxima a 0, un paso en la dirección tangente y un paso sobre la curva son equivalentes.
La magnitud de este vector es el tamaño de nuestro pequeño paso sobre la curva, ds.
ds=|r(t)dt|=|r(t)|dt,
Esto significa que la integral de longitud de arco para una curva parametrizada definida por una función r(t) entre t=a y t=b podría verse como
ab|r(t)|dt
Calcular esta integral no será muy diferente de lo que hicimos cuando pensamos estas curvas como conjuntos de ecuaciones, pues |r(t)|dt siempre se verá como dx2+dy2. Sin embargo, la gente suele preferir esta notación. Por un lado, es compacta; por otro, su generalización a más dimensiones es muy natural.

¡Adelante hacia las integrales de línea!

Armado con esta notación y con la comprensión de cómo retrata pequeños pasos sobre una curva, ahora estás listo para aprender sobre integrales de línea en un campo escalar.

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