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Curso: Cálculo multivariable > Unidad 4

Lección 4: Integrales de línea en campos vectoriales (artículos)

Teorema fundamental de las integrales de línea

También conocido como el teorema del gradiente, este resultado generaliza el teorema fundamental del cálculo a integrales de línea en campos vectoriales.

Antecedentes

Solo lo necesitas si quieres entender la prueba:

Regla de la cadena multivariable

Qué vamos a construir

El teorema fundamental de las integrales de línea, también conocido como teorema del gradiente, establece que
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}$ ‍
La intuición detrás de esta fórmula es que cada lado representa el cambio en el valor de una función multivariable, $f$ ‍, conforme caminas por una trayectoria parametrizada por $\vec{r} (t)$ ‍.
Esta fórmula implica que los campos gradientes son independientes de la trayectoria, es decir, que las integrales de línea sobre dos trayectorias que conectan los mismos puntos inicial y final son iguales.

El teorema

Recuerda que el teorema fundamental del cálculo en una sola variable establece que

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} g^{'} (t) d t = g (b) - g (a) \end{array}

En un sentido, el teorema dice que la integración es lo opuesto de la diferenciación.

El teorema fundamental de las integrales de línea, también conocido como el teorema del gradiente, es una de muchas maneras de extender este teorema a dimensiones más altas. De alguna manera, establece que la integración de línea en un campo vectorial es lo opuesto a calcular gradiente. El teorema establece que

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

Donde

$f$ ‍ es alguna función escalar multivariable.
$\nabla f$ ‍ es el gradiente de $f$ ‍.
$\vec{r} (t)$ ‍ es una función vectorial que parametriza alguna trayectoria en el espacio de entradas de $f$ ‍.
$\vec{r} (a)$ ‍ y $\vec{r} (b)$ ‍ son los puntos inicial y final de la trayectoria.
${\vec{r}}^{'} (t)$ ‍ es la derivada de $\vec{r} (t)$ ‍, que, como siempre, calculamos componente a componente.

También podrás ver este teorema escrito sin referencia a la parametrización

\vec{r} (t)

de la manera siguiente:

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = f (B) - f (A) \end{array}

Donde

C

representa la trayectoria en el espacio, con

A

B

sus puntos inicial y final, respectivamente, y

d s

un pequeño paso a lo largo de

C

En resumen, el teorema establece que la integral de línea del gradiente de una función

f

es igual al cambio total en el valor de

f

del principio al final de la trayectoria.

La intuición

El significado detrás de esta fórmula es de hecho bastante sencillo, una vez que nos tomamos un poco de tiempo para digerir qué representa cada término. En este momento, hay dos actores principales en el escenario:

Una trayectoria deambulando por el espacio (digamos, por ahora, el espacio bidimensional).
Una función $f$ ‍ que toma como valores de entrada puntos de esa trayectoria y que devuelve números como valores de salida.

Piensa en cómo el valor de la función

f

cambia conforme caminamos alrededor de la trayectoria. El siguiente video muestra una forma de visualizar este proceso, donde la gráfica de la función

f

está en azul y la trayectoria en el plano

x y

y su proyección sobre la gráfica están en rojo.

Contenedor video de Khan Academy

Ver la transcripción del video

Piensa en la altura de esta gráfica en cada punto de la trayectoria y en cómo podrías matemáticamente dar seguimiento al cambio de esta altura conforme caminas por la trayectoria.

En vez de proyectar la trayectoria sobre la gráfica de

f

, podríamos superponerla al campo gradiente de

f

(el campo vectorial donde cada vector representa

\nabla f

Escribamos de nuevo el teorema del gradiente:

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (r (b)) - f (r (a)) \end{array}

Las siguientes preguntas te harán razonar sobre el lado izquierdo de esta expresión.

Verificación de conceptos 1: si pensamos en

d t

como un pequeño cambio en el parámetro

t

, ¿cómo puedes interpretar el vector

{\vec{r}}^{'} (t) d t

El vector

{\vec{r}}^{'} (t) d t

es un pequeño paso a lo largo de la trayectoria.

Este es el movimiento en el plano

x y

que resulta de un pequeño cambio

d t

en el parámetro

t

Alternativamente, puedes pensar que

{\vec{r}}^{'} (t)

es el vector de velocidad de una partícula cuya posición como función del tiempo está dada por

\vec{r} (t)

. Al multiplicar este vector de velocidad por un pequeño cambio en el tiempo

d t

obtenemos un pequeño cambio en la posición, que en este caso es un pequeño paso a lo largo de la curva.

Verificación de conceptos 2: ¿cómo puedes interpretar el producto punto

\nabla f (P) \cdot \vec{v}

donde

P

es algún punto en el espacio y

\vec{v}

es algún vector?

Verificación de conceptos 3: dados estos dos hechos, ¿cómo podemos interpretar el producto punto

\nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t)

De las dos preguntas anteriores, esta es la expresión para la derivada direccional de

f

en la dirección

{\vec{r}}^{'} (t)

También podemos interpretar la expresión como la razón de cambio de

f

(dada como función de

t

) con respecto a

t

Personalmente, me gusta pensarla como un proceso de tres pasos:

Cambiamos el parámetro $t$ ‍ por una pequeña cantidad $d t$ ‍.
Esto resulta en un pequeño paso a lo largo de la trayectoria, dado por el vector ${\vec{r}}^{'} (t) d t$ ‍.
Este, a su vez, provoca un cambio en el valor de $f$ ‍, que está dado por la derivada direccional $\nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t$ ‍.

También puedes pensar esto en términos de la regla de la cadena multivariable:

$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) = \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) \end{array}$ ‍

De hecho, los tres pasos mencionados simplemente describen la intuición que hay detrás de la regla de la cadena multivariable.

Verificación de conceptos 4: finalmente, ¿cómo puedes interpretar la siguiente integral?

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t \end{array}

La integral es igual al cambio de

f

del principio al final de la trayectoria.

Esto lo puedes pensar como sumar todos los pequeños cambios en

f

debidos a pequeños cambios en el parámetro

t

que nos mueven a lo largo de la trayectoria. El resultado final es el cambio total de

f

del principio al final de la trayectoria.

La interpretación del "área bajo la cortina" para una integral de línea solo aplica para integrales de línea en campos escalares. Por ejemplo, esa sería la interpretación de

$\begin{array}{r} \int_{C} f | d s | = \int_{a}^{b} f (\vec{r} (t)) | | {\vec{r}}^{'} (t) | | d t \end{array}$ ‍

En ese caso, el integrando es una función escalar multiplicada por la longitud de

d s

, no el producto punto de una función vectorial y

d s

Sin embargo, hay una manera mucho más sencilla de pensar en el cambio en el valor de

f

del principio al fin de la trayectoria: tan solo evalúa

f

en ambos extremos y resta la diferencia.

f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a))

En otras palabras, cada lado de la ecuación en el teorema del gradiente calcula el cambio en

f

a lo largo de la trayectoria, pero el lado izquierdo lo hace paso a paso, mientras que el lado derecho lo hace con una perspectiva global.

\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}

Una prueba rápida

Con la regla de la cadena multivariable, tenemos que

\begin{array}{r} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) = \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) \end{array}

Al sustituir esta expresión en el enunciado del teorema del gradiente, observamos que se transforma en el teorema fundamental del cálculo:

\begin{aligned} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t \\ = \int_{a}^{b} \frac{d}{d t} f (\vec{r} (t)) d t \\ = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{aligned}

¡Listo!

Esta prueba aprovecha el poderoso teorema fundamental del cálculo, junto con la regla de la cadena multivariable, y por lo tanto es engañosamente sencilla. Un buen ejercicio para entender este teorema es pensar detenidamente cómo esta corta demostración contiene la intuición de la que hablamos en la sección anterior para el teorema del gradiente.

No hay nada malo en utilizar teoremas poderosos para probar nuevos resultados. De hecho, evitar hacerlo sería estúpido. Sin embargo, caminar por tales pruebas a menudo no es suficiente para adquirir una comprensión más profunda, por lo que es saludable desentrañar el significado completo de los nuevos resultados y ver cómo se sostienen por sí mismos.

Ejemplo: una trayectoria sinusoidal

Definimos

f

como

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

Sea

C

la trayectoria parametrizada por

\begin{array}{r} \vec{r} (t) = [\begin{array}{c} t \\ \sin (t) \end{array}] \end{array}

para valores entre

t = 0

t = 2 π

Calcula la integral

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s \end{array}

Solución 1: la vieja manera

Podemos escribir la integral de línea completa y calcularla, pero, antes de eso, necesitamos evaluar el gradiente de

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

¿Cuánto vale

\nabla f

También necesitamos la derivada de

\vec{r} (t) = [\begin{matrix} t \\ \sin (t) \end{matrix}]

¿Cuánto vale

{\vec{r}}^{'} (t)

Finalmente, ¿qué obtienes cuando sustituyes estas expresiones y calculas la integral de línea?

\begin{array}{r} \int_{C} \nabla f \cdot d s = \end{array}

Solución 2: aplica el teorema fundamental de las integrales de línea

Si aplicamos el teorema fundamental de las integrales de línea, podemos saltarnos la mayoría de los pasos de la sección anterior, incluyendo el cálculo del gradiente de

f

y de la derivada de

\vec{r} (t)

Resuelve la integral anterior con el teorema del gradiente.

Si revisas el cálculo completo de la integral de línea en la solución 1, las cuentas que hicimos parecen bastante tontas. Calculamos la derivada de todo, incluyendo las derivadas parciales de

x^{2} + y^{2}

y las derivadas ordinarias de

t

\sin (t)

, y luego integramos esas derivadas para terminar donde comenzamos.

Trabajar estos ejemplos también debe ayudarte a construir intuición sobre cómo el teorema fundamental de las integrales de línea se deriva del teorema fundamental del cálculo.

Independencia de trayectorias

El teorema del gradiente tiene una consecuencia importante sobre los campos gradientes. Supón que tienes dos curvas distintas,

C_{1}

C_{2}

, donde cada una conecta los mismos dos puntos

A

B

. Digamos que las curvas deambulan a través del campo gradiente de una función escalar

f

De acuerdo con el teorema del gradiente, la integral de línea de

\nabla f

a lo largo de cada curva es igual, ya que la integral está completamente determinada por el valor de

f

A

B

\begin{array}{r} \int_{C_{1}} \nabla f \cdot d r = f (B) - f (A) = \int_{C_{2}} \nabla f \cdot d r \end{array}

Exploramos esta idea más a fondo en el siguiente artículo, que habla de campos vectoriales conservativos.

Resumen

El teorema fundamental de las integrales de línea, también conocido como teorema del gradiente, establece que
$\begin{array}{r} \int_{a}^{b} \nabla f (\vec{r} (t)) \cdot {\vec{r}}^{'} (t) d t = f (\vec{r} (b)) - f (\vec{r} (a)) \end{array}$ ‍
La intuición detrás de esta fórmula es que cada lado representa el cambio en el valor de una función multivariable, $f$ ‍, conforme caminas por una trayectoria parametrizada por $\vec{r} (t)$ ‍.
Esta fórmula implica que los campos gradientes son independientes de la trayectoria, es decir, que las integrales de línea sobre dos trayectorias que conectan los mismos puntos inicial y final son iguales.

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