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Integrales de línea sobre curvas cerradas de campos vectoriales conservativos

Transcripción del video

en el video anterior lo que vimos es que un campo vectorial en ocasiones puede ser escrito como el gradiente el gradiente de un campo escalar digamos efe ok y otra forma de decirlo es que esto sería igual a la parcial df mayúscula respecto de x x el vector y más la parcial df respecto de ye por el vector j y simplemente estoy escribiendo lo de múltiples formas para que recuerden lo que sé es lo que es el gradiente pero bien vimos que nuestro campo vectorial es el gradiente de un campo escalar y entonces loyo a lo llamamos conservativo efe es un campo vectorial conservativo correcto así es como también podemos llamarlo y también nos dice que esto fue la parte más importante respecto al video anterior que la integral de línea de efe entre dos puntos déjeme le dibujara cada dos puntos por ejemplo vamos a pintar los ejes bien este es el eje ye gx y ya tenemos el plano muy bien entonces si tenemos un punto digamos éste que pinte aquí y este otro punto y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos digamos es la trayectoria uno que pintó con amarillo y es que vamos a llamarles eeuu no hay que ponerle una dirección a ésta a esta curva y ahora tengo quizás no sé una verde c2 una curva c2 que va de esta forma en esa dirección lo importante es que los dos empiecen en el mismo lugar y terminen en el mismo lugar entonces vimos que la integral de línea es independiente de la trayectoria entre esos dos puntos así que en este caso la integral de línea a lo largo de c-1 df punto de rr es igual es igual a la integral de la línea ds 213 2 a lo largo de la trayectoria c2 de efe punto de rr es decir si tenemos un potencial en la región y podemos estar en todos los puntos entonces la integral de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria esto es lo bueno de tener un campo conservativo verdad en realidad es una extensión muy importante porque puede puede que les parezca obvio y ya escrito esto aquí pero voy a reordenar un poco la ecuación déjenme por ejemplo escribir esto es naranja tengo la integral de línea de efe sobre ese 1 punto de rr y ahora restamos lo que tenemos del lado derecho - la integral de línea a lo largo de ese 2 df punto de rr y por supuesto esto tiene que ser igual a cero ahora todo lo que hemos hecho es tomar lo más relevante del vídeo anterior y restamos esto en ambos lados de la ecuación ahora bien aprendimos también hacen los varios vídeos que si restamos una integral de línea de un campo vectorial no de un campo escalaré es de un campo vectorial en la dirección de cierta trayectoria entonces aprendimos que la integral de línea sobre digamos c2 df punto df punto de rr es igual a menos la integral de línea de menos de 2 d f punto de redondear menos de 2 denota la misma trayectoria que recorre c2 pero en dirección contraria por ejemplo c2 la script la menos c2 la escribiría algo así digamos que hay que hacerlo en este color - edos lo ponemos así es la misma línea pero con flechitas en la dirección contraria verdad así que ignoramos las las flechitas verdes y ahora nos fijamos en las flechitas de este nuevo color podríamos describir poniendo el menos del lado contrario como - la integral de línea a lo largo de c-2 de efe punto de rr igual a la integral de la línea a lo largo de menos de 2 de f1 de ver todo lo que hemos hecho es cambiar el menos al otro lado verdad multiplicando por -1 la ecuación así que si reemplazamos esto en la ecuación original que estoy marcando ok esta es la parte que queremos reemplazar así que permítanme hacer esto voy a escribir esta parte que ya teníamos la integral de c-1 df punto de rr y aquí vamos a sustituir con más la integral de línea sobre menos de 2 verdad esto es lo que lo que observamos en esta parte en verde y que estamos en marcando entonces sustituimos esta expresión por la integral de línea bueno vamos a ponerle más la integral de línea lo largo del camino inverso verdad entonces sumamos la integral de línea sobre menos de 2 de fp punto de r y esto es igual a cero perfecto ahora hay algo interesante miremos que la combinación de estos caminos porque dm de c-1 y menos de dos porque se uno empieza en este punto de ponerle morado bien se mueve de de ese punto a lo largo de c-1 y llega hasta este otro punto y ahora hacemos - c 2 que empieza en este punto donde terminó hace uno llega al punto original es decir se completa una vuelta a lo largo de una curva cerrada si combinamos estas dos suman o esta suma de dos suman 2 haciendo él y el trayecto inverso de c 2 entonces tenemos un camino cerrado verdad como ya observamos así que esto es equivalente a la integral de línea a lo largo de una curva cerrada de una curva cerrada y así es como la de notamos es decir podríamos llamar este camino se uno más - c 2 muy bien esto podría ser que señalamos hace uno y hace 2 como parte de nuestro recorrido donde se dos va en dirección contraria verdad por supuesto aquí la hipótesis es que efe es un campo conservativo y esto que escribimos como un camino cerrado en unidad es sólo una reescritura de lo que ya teníamos verdad aquí hay que agregar efe punto de ere y esto va a ser igual a cero y esto es nuestro resultado final de este video lo más importante podemos verlo como un corolario de de las conclusiones que ya hemos hecho en videos anteriores verdad así que ahora sabemos que sí tenemos un campo vectorial que tiene que es el gradiente de un campo escalar en alguna región o tal vez en todo el plano y llegué a esto es a lo que le llamamos el potencial df verdad el potencial de efe a menudo va a ser negativo pero bueno para fines de este vídeo no importa en realidad el gradiente es de un campo escalar y eso nos dice que efe es un campo conservativo un campo vectorial conservativo y entonces lo que nos dice es que la integral de línea df no depende de las trayectorias y por eso es que un una línea cerrada nos da como resultado que la integral sobre una línea cerrada en realidad no hay otra cosa más que sea cero la integral de línea de efe sobre esa sobre ese lazo cerrado verdad porque es independiente de la ruta eso es a lo que concluimos entonces si has visto algo como esto por ejemplo efe punto de resolver una línea cerrada y alguien te pide evaluar esta integral sabiendo que fes conservativo pues entonces es el gradiente de una función escalar y por supuesto ya sabes inmediatamente que cero lo cual simplifica muchísimo las cuentas