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Integrales de línea sobre curvas cerradas de campos vectoriales conservativos

En este video mostramos que la integral de línea a lo largo de cualquier curva cerrada de campos vectoriales conservativos es cero. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el vídeo anterior lo que vimos es que un campo vectorial en ocasiones puede ser escrito como el gradiente el gradiente de un campo escalar digamos efe ok y otra forma de decirlo es que esto sería igual a la parcial de f mayúscula respecto de x x el vector y más la parcial de f respecto de ye por el vector jota y simplemente estoy escribiendo lo de múltiples formas para que recuerden lo que es lo que es el gradiente pero bien vimos que nuestro campo vectorial es el gradiente de un campo escalar y entonces lo yo lo llamamos conservativo efe es un campo vectorial conservativo correcto así es como también podemos llamarlo y también nos dice que esto fue la parte más importante respecto al vídeo anterior que la integral de línea de f entre dos puntos déjenme déjenme dibujar a cada dos puntos por ejemplo vamos a pintar los ejes muy bien este es el eje y eje x y ya tenemos el plano muy bien entonces si tenemos un punto digamos este que pinte aquí y este otro punto y tengo dos trayectorias diferentes entre dichos puntos digamos esta es la trayectoria uno que pinto con amarillo y este vamos a llamarle c uno hay que ponerle una dirección a esta a esta curva y ahora tengo quizás no sé una verde c 2 una curva c 2 que va de esta forma en esa dirección lo importante es que los dos empiecen en el mismo lugar y terminen en el mismo lugar entonces vimos que la integral de línea es independiente de la trayectoria entre esos dos puntos así que en este caso la integral de línea a lo largo de c 1 d efe punto de r es igual es igual a la integral de línea de c 2 ps2 a lo largo de la trayectoria c 2 d efe punto de r es decir si tenemos un potencial en la región y podemos estar en todos los puntos entonces la integral de línea entre dos puntos es independiente de la trayectoria esto es lo bueno de tener un campo conservativo verdad en realidad es una extensión muy importante porque puede puede que les parezca obvia y ya escrito esto aquí pero voy a reordenar un poco la ecuación déjenme por ejemplo es reescribir esto en naranja tengo la integral de línea de f sobre c 1 punto de ere y ahora restamos lo que tenemos del lado derecho menos la integral de línea a lo largo de c 2 d efe punto de r y por supuesto esto tiene que ser igual a 0 ahora todo lo que hemos hecho es tomar lo más relevante del vídeo anterior y restamos esto en ambos lados de la ecuación ahora bien aprendimos también hace unos varios vídeos que si restamos una integral de línea de un campo vectorial no de un campo escalares de un campo vectorial en la dirección de cierta trayectoria entonces aprendimos que la integral de líneas sobre digamos c2 de f punto de f punto de r es igual a menos la integral de línea de menos de 2 efe punto de r donde menos de 2 denota la misma trayectoria que recorre c 2 pero en dirección contraria por ejemplo c 2 la escrita la menos c 2 le escribiría algo así digamos hay que hacerlo en este color - c 2 lo ponemos así es la misma línea pero con flechitas en la dirección contraria verdad así que ignoramos las las flechitas verdes y ahora nos fijamos en las flechitas de este nuevo color podríamos reescribir poniendo el menos del lado contrario como menos la integral de línea a lo largo de c 2 d efe punto de ser igual a la integral de de línea a lo largo de menos c 2 d efe punto de r todo lo que hemos hecho es cambiar el menos al otro lado verdad multiplicando por menos 1 la ecuación así que si reemplazamos esto en la ecuación original que estoy marcando ok esta esta es la parte que queremos reemplazar así que permítanme hacer esto voy a escribir esta parte que ya teníamos la integral de c-1 de f punto de r y aquí vamos a sustituir con más la integral de línea sobre menos 2 verdad esto es lo que lo que observamos en esta parte en verde y que estamos en marcando entonces sustituimos esta expresión por la integral de línea bueno vamos a ponerle más la integral de línea a lo largo del camino inverso verdad entonces sumamos la integral de línea sobre menos c 2 de f punto de r y esto es igual a 0 perfecto ahora hay algo interesante miremos qué es la combinación de estos caminos porque de m de c 1 y menos de dos porque si uno empieza en este punto déjenme ponerle en morado muy bien se mueve de de ese punto a lo largo de c 1 y llega hasta este otro punto y ahora hacemos menos c 2 que empieza en este punto donde terminó c 1 y llega al punto original es decir se completa una vuelta a lo largo de una curva cerrada si combinamos estas dos suma o esta suma de dos sumandos haciendo el el trayecto inverso de c 2 entonces tenemos un camino cerrado verdad como ya observamos así que esto es equivalente a la integral de línea a lo largo de una curva cerrada de una curva cerrada y así es como la denotamos es decir podríamos llamar a este camino c 1 más menos c 2 muy bien esto podría ser que señalamos hace uno y hace dos como parte de nuestro recorrido donde se dos va en dirección contrario verdad por supuesto aquí la hipótesis es que es un campo conservativo y esto que escribimos como un camino cerrado en realidad es sólo una reescritura de lo que ya teníamos verdad aquí hay que agregar efe punto de r y esto va a ser igual a cero y esto es nuestro resultado final de este vídeo lo más importante podemos verlo como un corolario de de las conclusiones que ya hemos hecho en vídeos anteriores verdad así que ahora sabemos que si tenemos un campo vectorial que tiene que es el gradiente de un campo escalar en alguna región o tal vez en todo el plano xy ya esto es a lo que le llamamos el potencial de f verdad el potencial de f a menudo va a ser negativo pero bueno para fines de este vídeo no importa en realidad el gradiente es de un campo escalar y eso nos dice que es un campo conservativa un campo vectorial conservativa y entonces lo que nos dice es que la integral de línea de f no depende de las trayectorias y por eso es que un una línea cerrada nos da como resultado que la integral sobre una línea cerrada en realidad no hay otra cosa más que sea cero la integral de línea de f sobre esa sobre ese lazo cerrado verdad porque es independiente de la ruta eso es a lo que concluimos entonces si has visto algo como esto por ejemplo efe punto de r sobre una línea cerrada y alguien te pide evaluar esta integral sabiendo que es conservativa pues entonces es el gradiente de una función escalar y por supuesto ya sabes inmediatamente que es cero lo cual simplifica muchísimo las cuentas