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Integral de línea sobre una curva cerrada de un campo conservativo. Ejemplo

Transcripción del video

veamos si podemos aplicar alguna de nuestras nuevas herramientas para resolver integrales así que vamos a decir que tenemos de integral de línea lo largo de una curva cerrada que ya veremos cuáles de x cuadrada massieu cuadrada y esto lo multiplicamos por de x + + 2 x llegue por the eye muy bien ahora nuestra curva se va a estar definida por vamos a ver la parametrización de esta curva será x iguala coseno dt y vamos a poner allí igual hacen o dt y esto será válido para t entre 0 de entre 0 y 2 fi y bueno esto es básicamente un círculo verdad un círculo de radio uno en el plano x llegue ahora vamos a ver si podemos utilizar nuestros descubrimientos de de los videos anteriores para simplificar este proceso lo primero que vamos a ver es bueno esto parece si una integral de línea pero hay dx deie yo no veo la f ni el de rr no está claro que sea realmente una integral de línea verdad así que lo que queremos hacer en este primer ejercicio y que realmente es el objetivo del ejemplo es reescribir esto como una integral de línea para mostrar que uno puede tener otras formas de escribir la verdad así que empecemos con nuestra curva r dt que no voy a poner las las funciones simplemente pondré x dt por y más allá de té por jota que es nuestra parametrización de la curva y hemos visto que de rr dt es decir la deriva de r respecto dt simplemente derivar cada una de las entradas de x dt por y más de jette por j ahora también hemos visto que si uno quiere obtener el diferencial de rr entonces multiplicamos todo por dt verdad entonces uno se deshace del adt del lado izquierdo y multiplica por dt del lado derecho por lo tanto las de tres se van a cancelar verdad verdad realmente tratamos de té como como así fue un número así que nos queda de x por i + d ye por j y esto ya es la diferencia ya podremos ver algún patrón por ahí verdad ahora si definimos nuestro campo vectorial fd quille como x cuadrada massieu cuadrada y esto lo multiplicamos por el vector y y ahora sumamos 12x gge x j por el vector j pues qué es esto qué es lo que tenemos aquí bien pues efe punto de r qué es lo que tenemos en la fórmula de las integrales de línea pues será x cuadrada más de cuadrada que multiplica dx verdad eso multiplica dx ahora vamos a obtener esta componente x cuadrada massieu cuadrada que multiplica como ya lo dije a dx y ahora sumamos el resultado de multiplicar las segundas componentes verdad que en este caso es 12 quille por the eye y ese es el resultado del producto punto ahora esta cosa de la derecha que estoy subrayando es idéntica al integrando de nuestra integral de línea verdad así que ya lo podemos poner como como en un formulario ya estamos ahora pues familiarizados con esta anotación verdad donde cise esta curva esto es la integral de línea de este campo vectorial efe cgm escribirlo en otro color de nuestro campo efe punto de r en efecto así que esto es una integral de línea simplemente que reescrito de otra forma muy bien si ya en un futuro vez esta forma pues puedes decir o kate bush es una forma de escribir una de escribir un integral de línea perfecto donde pues cada una de éstas serán nuestras componentes verdad ahora bien inmediatamente lo que lo que se sabe del campo vectorial es que estamos tomando una integral de línea donde cada una de ellas las funciones representa las componentes nos podemos preguntar bueno ife es conservativo porque si efe es el gradiente de algún campo escalar este mayúscula como ya vimos en él en el vídeo anterior pues podemos resolver este integral de línea fácilmente verdad si encontramos esta función efe cuyo gradiente sea el campo vectorial entonces efes conservativo y como estamos haciendo un integral de línea sobre una curva cerrada pues entonces éste integral de línea sería cero verdad sería simplemente cero se anula así que una vez que si es que podemos demostrar que es un campo conservativo es más ni siquiera necesitamos saber quién es la curva verdad así que vamos a tratar de ver si encontramos esta efe mayúscula que cumple esta condición que su gran dientes sea esta función efe muy bien eso significaría que en la derivada parcial de nuestra función efe mayúscula respecto de x tiene que ser la primera coordenada del campo vectorial que en este caso es x cuadrada massieu cuadrada y también nos dice que la derivada parcial de esta efe mayor busca la respecto de ye tiene que ser igual a la segunda componente del campo vectorial que en este campo acaso es 2xl ahora nada más como repasó el gradiente df recordemos que es la derivada parcial df respecto de x por el vector y más la derivada parcial df respecto de ye por el vector j perfecto así que si queremos hacer que sean iguales pues tenemos que hacer iguales entrada por entrada como la parcial de fe respecto de x con x cuadrada marche cuadrada y la parcial de fe respecto de ye con 12 x llegue es justo lo que escribimos aquí abajo vamos a ver si podemos encontrar una efe que satisface a ambas ecuación es así que primero podremos tomar la integra al respecto de x de esta ecuación de la izquierda así que si integramos respecto de x en ambos lados consideramos a la aie como una constante verdad así que tendríamos efe igual la cual es la primitiva de x cuadrada pues es x al cubo entre 3 y ahora la primitiva de cuadrada respecto de x por supuesto en realidad de cuadra puede ser cualquier número cada cinco lo que ustedes quieran así que esto nos queda como equis o ye cuadrada verdad ahora a continuación podría haber alguna función que dependa sólo de ye digamos una g d ye porque de haber una función que sólo dependa exclusivamente de llegue al tomar la derivada parcial respecto de x desaparece se aceró verdad por lo tanto si podríamos agregar esta función sabemos que hay que agregar una constante pero una constante pues es una función de ye para fines de derivar respecto de x dejan de poner que depende explícitamente de estas dos variables ahora pasemos al otro lado para ver si podemos conciliar las dos expresiones digamos si aquí integramos respecto de ye entonces nuestra efe la integral de 12 x chile respecto de ye por lo tanto la x pues es una constante verdad sobre su número así que la integral de 210 en realidad es de cuadrada por lo tanto este integral nos queda xd cuadrada y cómo integramos respecto de de ye pues tenemos que agregar una constante pero una constante para para fines de derivar respecto de ye puede ser cualquier función de x vamos a ponerle efe minúscula dx perfecto ahora vamos a tratar de coincidir ambas ambas ecuaciones estas dos estos dos datos entonces vamos a ver qué tienen de parecido esencialmente lo que podemos ver es que esta xl cuadrada coinciden ambas expresiones muy bien se ve bien y aquí tenemos una f que depende exclusivamente de x no hay es y aquí tenemos esta función que es xq ubica entre tres que sólo depende de x por lo tanto podemos pensar que es la misma aquí tenemos una g d ye pero del otro lado no encontramos una función que dependa de ye bueno no tan así así que podríamos pensar que es una 010 verdad en realidad un agente igual a cero es una función que depende explícitamente deie y que puede ser cero entonces a continuación concluimos que nuestra efe mayúscula es xq ubica entre tres más xd cuadrada ahora vamos a ver nada más vamos a comprobar que el gradiente de esta función es nuestro campo vectorial original sólo si no me creen lo que hice anteriormente tomamos el gradiente df y esto es la derivada parcial respecto de x por cierto algunas personas le ponen le cheat al al operador del gradiente pero bueno cuál es la parcial df respecto de x bueno la derivada parcial de la primera parte es simplemente x cuadrada verdad esto será x cuadrada más ye cuadrado es una constante y al derivar x es uno por lo tanto nos queda x cuadrada massieu cuadrada y multiplica al vector y ahora la deriva parcial respecto de llegue la primera parte sólo depende de x por lo tanto se anula y ahora al derivar de cuadrada tenemos dos por equis o ye porque quizá era constante y esto multiplica j qué es exactamente nuestro campo vectorial original que teníamos así que efe en realidad sí puede describirse como el gradiente de un campo escalar efe mayúscula muy bien así que efe ess conservativa este campo vectorial es conservativo y eso nos dice que la integral de línea sobre esta curva cerrada va a ser cero ya no importa cuál fue la curva y ya terminamos podríamos ignorar la parametrización de la curva incluso