Parametrización de una trayectoria en sentido contrario

lo que quiero hacer en estos vídeos es intentar ver qué le sucede a una integral de línea ya sea sobre un campo escalar o bien sobre un campo vectorial cuando recorremos la trayectoria en dirección contraria déjame hacer un dibujo para explicar esto supongamos que tomamos una trayectoria hace dada de la siguiente forma voy a dibujar el plano xy aquí vamos a poner el eje y aquí abajo el eje x la trayectoria comienza en este punto de aquí conforme se mueve empieza a recorrer algo en el plano y al final llega a este punto de acá la trayectoria está recorriendo se en esta dirección ahora a lo que me refiero con recorrer en el sentido contrario es que vamos a tomar una curva - que se ve más o menos así este de aquí es el eje de este lado tenemos el eje x y menos se va a empezar al final entonces va a empezar aquí arriba y va a empezar a recorrer en el sentido contrario hasta llegar al punto inicial es decir es exactamente la misma curva pero como trayectoria le estamos recorriendo en el otro sentido lo que voy a hacer en el resto del vídeo es ver cómo podemos pasar parametrización original a la parametrización de la inversa después en los siguientes dos vídeos veré cómo afecta este cambio a las integrales de línea de campos escalares y de campos vectoriales va entonces vamos a pasar a la parametrización de la curva c vamos a ponerlo en la forma en la cual lo ponemos siempre vamos a escribir x es igual a x dt perdón de t y es igual al dt y vamos a poner que se mueve en un cierto intervalo desde te iguala no déjame escribirlo con desigualdades mejor te empiecen a o sea a menor o igual que t y llega hasta b va vámonos al dibujo este punto de aquí es el punto inicial entonces es para t iguala a vamos a escribir el punto con coordenadas este punto corresponde a x de a coma idea ahora vámonos al punto final cuando te des igual ave estamos en este punto de aquí déjame recorrer un poco la pantalla para tener espacio entonces este punto de aquí es para t igual a b y cuáles son sus coordenadas pues sus coordenadas son x debe coma dv sale hasta ahorita nada nuevo ahora dada esta parametrización cómo podemos construir una nueva que tenga exactamente la misma curva pero que comience aquí o sea aquí queremos que déjame mejor cambiar de colores para que nos quede un poco más claro esto entonces aquí este punto rosa mexicano va a ser te iguala entonces conforme te aumenta queremos llegar hasta aquí hasta de igual ave fíjate en la diferencia queremos movernos en la dirección contraria entonces párate igual a lo que queremos es que las coordenadas sean de todas formas x debe como htv es decir cuando te es igualada quiero que aquí aparezca un ave en cada una de estas funciones y párate igual ave quiero lo contrario quiero que nos quede el punto x de a coma idea fíjate cómo esto invierte los papeles con respecto a lo que pasaba antes entre igualada teníamos estos puntos y aquí entre igual a ver tenemos estos mismos puntos ahora vamos a pasar a cómo hacer esto algebraica mente pero antes vamos a pensar un poquito fíjate para cuando te sea igualada queremos que aquí aparezca una vez o sea que xy estén devaluadas en b entonces vamos a definir x de la siguiente forma vamos a ponerle x es igual a x de esta misma x es más de hecho voy a ponerlo con el mismo color que lo puse antes x es igual a x de y entonces en vez de poner te vamos a hacer lo siguiente para cambiar la dirección vamos a poner más b menos te ok entonces cerramos el paréntesis y ahora pasemos allí entonces también tenemos es igual a head y vamos a poner lo mismo vamos a escribir a más ve - de ojo los tonos de amarillo son muy parecidos se va vamos a ver qué le sucede a estas expresiones cuando las evaluamos en los extremos vamos a pasar te iguala entonces aquí le voy a escribir t igual no espérame tantito antes dejar de poner que esta parametrización también empieza en nada y te es menor o igual que be ok entonces vamos a confirmar que en efecto queda esta misma curva pero recorrida en dirección contraria hagamos las cuentas para los extremos entonces vamos a escribir qué pasa cuando te es igual a para cuando te es igual a a tenemos lo siguiente tenemos que x va a ser igual a x d v - a verdad aquí tenemos menos t y t es igual a entonces tenemos menos a lo cual es igual a que puede saber a con menos a se cancelan y simplemente nos queda x dv listo de modo similar para cuando te es igual a desigual h de amas ve - a las se cancelan y esto nos queda igual dv ok entonces estoy aquí funciona para cuando te es igual a nuestra parametrización nos queda x debe como may rv entonces para t iguala estamos en este punto de aquí vale veamos si podemos hacer lo mismo para cuando usted es igual a b déjame organizar un poquito esto de aquí voy a poner una línea de este lado y voy a recorrer un poco la pantalla para seguir con esta parte entonces lo voy a escribir para cuando te des igual ave por aquí entonces para cuando te es igual a b que tenemos tenemos que x es igual a x d b - b verdad además ve - t pero te es igual a b entonces eso de ahí es igual a equis de a y que suceden y pues igual es igual al de b b y eso de ahí es igual a que de ahí sale entonces los puntos extremos funcionan y si lo piensas intuitivamente conforme te se mueve para cuando te es igualada nos quedan los valores x dvi que debe que es lo que hicimos aquí abajo conforme te aumenta entonces esta expresión a más ve menos te va a empezar a decrecer desde donde pues desde b empieza en b y luego empieza a decrecer poco a poco hasta llegar a lo voy a poner así empieza en b y llega hasta a por supuesto la primera empieza en a y llega hasta b ya después con un argumento extra se puede justificar que en efecto se recorre toda la curva y en sentido contrario sale salvo quizás lo del argumento extra espero que me creas que esta parametrización en efecto nos da la misma curva pero en la cual la trayectoria está recorrida en dirección contraria es decir empieza donde termina y termina donde empieza saleh ya teniendo esto lo que quiero hacer en el siguiente vídeo es comparar la integral de línea sobre ce de fx y de ese con a ver déjame aclarar un poquito aquí tenemos la integral de línea de un campo escalar efe sobre esta curva de acá verdad o más bien sobre esta trayectoria entonces lo que quiero hacer es comparar con la integral sobre exactamente el mismo campo escalar fx y de ese pero sobre la nueva trayectoria menos eso lo vamos a hacer en el siguiente vídeo y en el que le sigue vamos a ver qué pasa si f es un campo vectorial