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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es establecer un criterio razonablemente poderoso que nos permita concluir que un campo vectorial tiene integrales de línea que son independientes de la trayectoria que se elija pero claro antes dejan explicar a qué me refiero supongamos que queremos tomar la integral de línea sobre la curva se dé efe punto de rr.ii que la curva se ve más o menos así voy a dibujar el plano ekije haber ahí va está un eje otro eje voy a etiquetarlos ye aquí es x y supongamos que la trayectoria empieza en este punto y empieza a recorrer algo y llega a este punto final ok a esta curva de aquí vamos a ponerle se va entonces está íntegra la estamos evaluando sobre la trayectoria c ok entonces vamos a decir qué efe es un campo conservativo o bien que la integral es independiente de la trayectoria sí a ver déjame escribirlo por aquí si es igual a la integral de línea df punto de rr sobre cualquier otra trayectoria que tenga los mismos extremos a la primera trayectoria le vamos a llamarse 1 y a la segunda le vamos a llamarse 2 entonces este campo es conservativo sí empezando en este mismo punto a ver aunque nos movamos en otra trayectoria si llegamos también al mismo punto que la trayectoria original digamos de dos de todas formas tenemos el mismo valor de la integral de línea es decir que lo único que nos importa es el punto inicial y el punto final no nos importa qué es lo que pasa en medio de la trayectoria o sea para determinar el valor de la integral de línea no nos importa cómo llegamos de un lugar a otro sino simplemente de donde salimos y a dónde llegamos va una vez más cuando pasa esto decimos que efe es un campo conservativo o bien que la integral es independiente de la trayectoria va antes de que se pruebe el criterio que te comenté al inicio del video vamos a añadir una herramienta más a nuestro arsenal puede ser que hayas escuchado o tal vez no acerca de la regla de la cadena para varias variables la regla de la cadena para varias variables debo advertir de que no la voy a demostrar en este vídeo pero lo que sí haré en un rato es intentar convencerle de que dice algo muy intuitivo lo que dice es que si tenemos una función de dos variables digamos fx y llegué pero a la vez x y están en función de la tercera variable té o sea fd xd te coma 7 entonces podemos derivar efe con respecto a 'the de la siguiente forma ya que df aquí es de té es igual a aquí tenemos dos variables verdad entonces vamos a ponerle es igual a la parcial df con respecto a x delta efe delta x x la derivada de x con respecto a t ojo la deriva de x con respecto a test normalita porque sólo de una variable entonces nos queda de equis entre dt es derivada normal y esto es derivada parcial porque fe es una función de dos variables pero todavía no acabamos hay que sumar cuánto cambia a efe con respecto a ayer o sea delta efe del talle x la derivada de ye con respecto a t entonces por the eye entre dt bueno no voy a demostrar que esta regla pero déjame explicarte la intuición que está detrás conforme tenemos un cambiante entonces efe cambia lo que nos dice esta regla de la cadena es que podemos partir este cambio en una componente mx y en una componente pero no podemos simplemente sumar estas dos no que además hay que considerar los cambios con respecto a t otra forma de pensar lo es que si cancelamos este delta x con éste de x y este detalle con este detalle entonces nos va a quedar un cambio de efe con respecto a ted el lado de x y nos va a quedar un cambio de efe con respecto a t en el lado de las cosas va entonces eso de ahí nos va a dar el cambio total df con respecto a este puesto está muy informada y argumentó verdad pero al menos a mí sí me convence esta es una forma muy intuitiva de pensarlo esta va a ser la herramienta ha dejado poner un asterisco para acordarnos de ellas después pero ahora vamos a pasar a un campo vectorial efe pero no es ésta misma efe de hecho déjame cambiar de color vamos a ponerle fede x-com h ahora supongamos que por casualidad efe el gradiente de un campo escalar es decir que fcc el gradiente de un campo escalar que vamos a llamar pues efe mayúscula va esto de aquí el gradiente vamos a escribir que quiere decir efe déjame escribir efe digamos aquí abajo no mejor no no quiero usar un nuevo renglón lo voy a poner por aquí en medio y entonces efe también es una función de xy ya verdad y el gradiente df lo que quiere decir es que efe el campo vectorial efe xh es igual a la derivada parcial df mayúscula con respecto a x x el vector unitario y más la parcial df con respecto ayer x j el vector unitario vertical esto de aquí es simplemente la definición de gradiente estaré aquí vamos a la geometría vamos a suponer que la superficie que define fcb más o menos así ok déjame ponerlo aquí arriba efe mayúscula de x com allí entonces el gradiente tiene un cierto significado geométrico lo que nos dice es en qué dirección la función disminuyen más rápidamente déjame mejor dibujar el plano xl para explicar esto un poco mejor entonces aquí está el eje z por aquí está el plan o equis o ye entonces para cada punto el gradiente asigna un vector queda la dirección en la cual fd crece más rápidamente de hecho más bien va a quedar algo como de este estilo en este punto va a quedar hacia esta dirección aquí hacia acá aquí hacia abajo verdad porque aquí tenemos una cuenta en la cual defendemos pero bueno no me quiero meter en muchos detalles con esta superficie en particular más bien sólo quería darle un poquito de la interpretación geométrica del gradiente pero si aún te quedan dudas puedes ver los otros videos que tengo del tema regresando a la pregunta original lo que queremos es un criterio para que una integral se ande pendiente por trayectorias a pues fíjate resulta que sí estoy aquí existe es decir sí efe es el gradiente de una función escalar voy a poner aquí sí efe es igual el gradiente de alguna función escalar entonces efe ess conservativo esto es justo lo que queremos que sea conservativo es precisamente que las integrales de línea no dependen de qué trayectoria tomemos sino simplemente del extremo inicial y del extremo final va vamos a demostrar que este criterio funciona entonces vamos a empezar con la suposición de que efe en efecto puede ser descrito como el gradiente es decir efe minúscula puede ser descrito como el gradiente de una f mayúscula ok entonces ahora vamos a tomar la integral bueno no sabes que te hame borrar esto y déjame poner primero la parametrización de la trayectoria que vamos a recorrer entonces tenemos una erre dt dada por equis dt x y más 7 x j para a menor o igual que te menor o igual que ve simplemente es una parametrización común y corriente que nos permite definir cualquier trayectoria en dos dimensiones va ahora vamos a suponer que efe minúscula efe minúscula de x com aie es igual a esto es decir la parcial df con respecto a x o sea estamos suponiendo que se cumplen las hipótesis verdad esto x y más la parcial de efe con respecto a ye x j para entonces dado esto da esta información lo que queremos hacer es encontrar la integral de efe minúscula punto de rr sobre la trayectoria hace este de aquí verdad o sea se está dado por esta parametrización ok entonces esto de aquí va a ser igual a pues tenemos que hacer un producto junto verdad entonces lo primero que necesitamos es encontrar the air a ver vamos a ponerle por aquí dejan escribir de rr entre dt estoy aquí por definición es igual a la de equis entre dt por y más de ye aquí me quedo muy grueso el que the yeah con respecto a t por j ok esto de aquí es de rd t si queremos encontrar cuánto vale de rr nada más entonces podemos multiplicar por dt siendo prácticos pero no rigurosos y entonces pues nos queda si de equis entre dt por bt y más de ye entre vete por dt j para entonces si tomamos el producto punto df con de rr entonces simplemente tenemos que multiplicar coordenada coordenada entonces nos va a quedar igual a haber dejado poner la igualada integral sobre la trayectoria sé si por el momento lo voy a dejar así y ya después pongo todo en términos de te va entonces tenemos la integral sobre ese df punto de rr y esto que nos queda a ver a eva a ponerle la parcial de efe con respecto a x por eso de acá lo voy a poner con amarillo de equis entre dt y éste te lo voy a poner de un tercer color color verde dt más la parcial de f mayúscula con respecto a g x este término de aquí en color amarillo para entonces primeras jornadas por primeras coordenadas y luego hay que sumarles según las coordenadas por segundas coordenadas entonces nos queda de fede llegue y hay que multiplicar por vámonos al amarillo deie entre dt y luego por el dt que también lo voy a poner con verde de te sale entonces podemos factorizar dt déjame inscribir la nueva integral aquí abajo a ver qué podemos agrupar por aquí a vernos que da igual a la integral de pues ahora sí vamos a pasarnos a términos de t entonces le voy a poner desde a hasta bbb de la vez nos queda la parcial df mayúscula con respecto a x por de equis entre dt más estos 27 los voy a factorizar después la parcial df con respecto a ye yé yé entre vete y todo eso x de de ba entonces nos queda esta expresión es una conocida y verdad por eso fue por lo que hablé de la regla de la cadena de varias variables mira vamos para arriba fíjate en esta expresión aquí tenemos exactamente lo mismo sólo que lo tenemos con efe minúscula es más déjame copiar y pegar esta expresión para que podamos apreciar mejor que pasa me voy a dar aquí copiar voy a bajar y lo voy a pegar por aquí va entonces esto de aquí es lo que nos dice la regla de la cadena de varias variables y esto cómo se compara con nuestra integral a ver aquí tenemos una efe minúscula verdad de fe de test de fede x x de temas df belle de jour dt pero aquí que tenemos aquí tenemos delta efe con respecto a xd xd temas delta efe detalle por detalle entre dt entonces estas dos son idénticas y cambiamos efe minúscula por efe mayúscula va entonces sustituyendo estadio azul nos queda la integral de aa a b de haber entonces tenemos que poner efe mayúscula en vez de efe minúscula entonces vamos a ponerlo en azul vamos a poner la derivada de efe mayúscula con respecto a t de t simplemente lo sustituí con la regla de la cadena deja poner el dt con otro color a esta bt entonces por la regla de la cadena estas dos integrales son iguales pero ahora qué pasa con esta integral pues aquí tenemos la de iba de una función con respecto a una variable y estamos integrando con respecto a esa misma variable como estamos sacando la anti derivada de una derivada entonces estas operaciones se cancelan y nos queda simplemente efe entonces queda efe dt y déjame hacer una aclaración a ver la voy a escribir por aquí a bajit o teníamos que efe mayúscula era una función de x ideye pero x y ya son funciones dt entonces nos queda fd xd te coma yeguete pero también podemos reescribir esto como efe mayúscula dt porque a final de cuentas pues efe es una función que simplemente depende de té y bueno esa la metemos a una x y unai y luego nos quedan ciertas cosas evaluadas pero todas estas tres expresiones son equivalentes entonces la derivada de efe con respecto a terrenos que da esta cosita de aquí pero cuando tomamos o anti derivadas simplemente nos queda efe dt vamos a evaluar la vamos a evaluar la desde aa hasta b para ver cuánto nos queda la integral estoy aquí es igual a y este es el punto clave es efe db - efe de a bueno si quiere pensarlo en esta anotación podemos reescribirlo como efe dx debe coma se debe saber si se retoma los paréntesis sí - efe de xd a con mallea vale estas dos expresiones de aquí son equivalentes efe mayúscula lo tenemos que evaluar en un punto del plano aquí llegué es decir si tomamos un cierto punto digamos aquí nos da una cierta altura y entonces esta expresión nada más nos está diciendo que efe lo tenemos que evaluar en x debe como ayer debe va pero regresemos al integral de línea original déjame copiarla aquí abajo lo que obtuvimos es igual a la integral de línea sobre ese df punto de rr entonces recapitulemos efe minúscula es un campo vectorial estamos suponiendo que es el gradiente df mayúscula un capo escalar es decir efes el gradiente de bah esta fue la hipótesis con la que empezamos a partir de esta hipótesis hicimos un poquito de álgebra o cálculo como quieras llamarlo pero finalmente a lo que llegamos fue a que para determinar el valor de la integral basta con evaluar efe mayúscula en taiwán la b ya eso restará efe mayúscula evaluar entre iguala pero esto justo lo que nos dice es que el valor de ésta integral de línea depende únicamente del punto inicial para te iguala a o sea éste de aquí es el punto xd a coma idea y del punto final es decir de este punto de acá x debe coma le debe piénsalo tantito si vamos a la integral de acá abajo lo único que nos está pidiendo es poder evaluar esta función de aquí en los puntos extremos en la respuesta final no nos importa qué trayectoria seguimos ok recapituló todo con palabras entonces tenemos que sí efe es el gradiente de a veces también se dice que efe minúscula en la función potencial df mayúscula bueno con otro signo pero es la misma idea si efe minúscula es el gradiente de un campo escalar efe mayúscula entonces podemos concluir que efe ess conservativo o bien que la integral de la línea sobre sede efe punto de rr es independiente de la trayectoria es decir que depende únicamente de sus puntos extremos que resultado tan bonito nos vemos en los próximos videos para ver algunos de sus ejemplos y sus consecuencias